2. 나무 심기 문제
2.1 수학적 과정 하위 요소로 분석한 나무 심기 문제
배수는 다음과 같이 정당화하였기 때문에 2점, 7의 배수는 제시는 하였 으나 정당화는 하지 못했기 때문에 1점을 받았다. 이것은 수학적으로 추 측하는 능력과 그것을 정당화하는 능력을 평가하는 것으로 이 부분 역시 선행 학습의 영향이 없었다. 다음은 두 학생의 답안이다.
P02 무응답
N11
[그림 Ⅳ-5] 암호 문제 채점코드 05, 06 학생답안
- 수학적 추론에 근거한 정당화 능력(R4)
- 추론과정과 결과를 해석하거나 평가하는 능력(R6) - 수학적 표현을 이해하고 사용하는 능력(C1)
- 자신의 문제해결 또는 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력(C2) - 문제해결 또는 추론 과정을 수학적인 언어로 표현하는 능력(C5)
이를 해결 과정에 따라 제시하면 다음 표와 같다.
[논제 1] (1)
번호 해결과정 예시답안에서의 표현 하위
요소
01
두 직선이 일치한다고 가 정하여 모순을 이끌어내는 방법으로 증명하려고 하기
논제의 조건을 만족하는 k,l,k',l'에 대하여 두 직선 y=k
l x와 y=k'
l' x이 일치한다고 가정하자.
P 7
02
과 ′ ′이 서로소임 을 이용하여 모순을 이끌 어내기
그러면 k l = k'
l' 이므로 kl'=k'l이 다. 따라서 k'l은 k의 배수이다. 그 런데 가정에 의해 k와 l은 서로소이 므로 k'이 k의 배수가 된다. 가정에 의해 k=/ k'이므로 1보다 큰 자연수 a에 대하여 k'=ak가 성립한다.
이것을 kl'=k'l에 대입하여 정리하 면 kl'=k'l= (ak)l 이므로 l'=al 이다. 가정에 의해 k',l'은 서로소 인데, 1보다 큰 자연수 a에 대하여
k'=ak,l'=al이므로 모순이다.
P 5, 6 R 4 C 1, 2
03 두 직선이 일치할 수 없음 을 정당화함
따라서 논제의 조건을 만족하는 k,l,k',l'에 대하여 두 직선 y=k
l x와 y=k'
l' x은 일치할 수 없다.
C 3
<표 Ⅳ-20> 나무심기 문제 논제1(1)의 해결과정과 수학적 과정 하위요소
해결과정 01에서는 귀류법의 문제해결 전략을 사용하는 것을 볼 수 있으므로 P7, 해결과정 02에서는 두 직선이 일치한다를
′
′ 으로 변형 하는 능력을 보므로 P5, 서로소와 기울기가 일치한다의 연결성을 파악하 는 능력을 보므로 P6, 수학적 추론에 근거한 정당화 능력을 보므로 R4, 추론 과정에서 올바른 기호를 사용했는가를 보므로 C1, 추론 과정에서 논리적으로 설명하는가를 보므로 C2가 드러난다. 채점과정 03에서는 자 신의 문제 해결 과정을 반성적으로 표현하는 능력을 볼 수 있으므로 C3 이 드러난다. 이를 표로 정리해보면 다음과 같다.
번호 하위
요소 하위 요소를 구체적으로 제시
01 P 7 귀류법이라는 문제해결 전략을 활용하여 문제를 해결하는 능력
02
P 5 두 직선이 일치한다를
′
′ 으로 변형하는 능력
P 6 서로소와 기울기가 일치하는 것의 연결성을 파악하는 능력 R 4 수학적 추론에 근거하여 정당화하는 능력
C 1 예시문항의 와 같은 새로운 기호를 정의하고 사용했는가 등 의 수학적으로 바른 표현을 사용하는 능력
C 2 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력
03 C 3 자신의 문제 해결 과정을 반성적으로 표현하는 능력
<표 Ⅳ-21> 나무심기 문제 논제1(1)의 하위요소
[논제 1](2)
번호 해결과정 예시답안에서의 표현 하위
요소 04 8개의 점에 나무를 심을
수 있음을 보이기 아래 참고10)
P 6, 7 R 4 C 1, 2 05 그 외의 점에 나무를 심을
수 없음을 보이기 아래 참고11)
P 6 R 3, 4 C 1, 2
<표 Ⅳ-22> 나무심기 문제 논제1(2)의 해결과정과 수학적 과정 하위요소
10) ≥ 일 때, 번째 날의 나무를 심을 수 있는 점의 좌표는 와 서로소인 양의 정수 (단,
≤ )에 대하여 ,
뿐임을 에 수 학적 귀납법을 적용하여 보이자. 편의상 위의 개의 점을 ‘의 서로소인 점들’이라고 부 르자.
먼저 일 때 위의 명제가 참임을 보이자.
의 서로소인 점, 즉 각각은 직 선
중 하나 위에 있다. 첫째 날에 심은 점의 좌표
각각은 모두 직선 위에 있고, 2의 서로소인 점들은 이 직선 위에 있지 않다. 따라서 2의 서로소인 점들은 원두막의 중심인 에서 보았을 때 첫째 날
심은 나무들에 의해 가려지지 않는다. 나머지 격자점인
은 직선
중 하나 위에 있으므로 이 점의 좌표에는 나무를 심을 수 없다. 따라서 일 때 성립한다.
이제 ≤ ≤ 인 모든 자연수 에 대하여 위의 명제가 참이라고 가정하자. 그
러면 가정에 의하여 ≤ ≤ 인 에 대하여 의 ‘서로소인 점들’은 와 서로소이 면서 보다 작은 양의 정수 에 대하여 직선
위에 있다. 반면에 번째 날에 의 서로소인 점들은 과 서로소이면서
보다 작은 양의 정수 에 대하여 직선
위에 있고, 이들 직선의 기울기는
≤ ≤ 인 에 대하여 의 서로소인 점들이 있는 직선의 기울기와 일치하지 않는
다. 왜 그런지 보기 위하여 과 서로소이면서 보다 작은 양의 정수 에 대
하여
가 와 서로소이면서 보다 작은 양의 정수 ′에 대하여
′
′
′
′ 중의 하나와 일치한다고 가정하자. 그러면
이므로
와 일치할 수 있는 것은 ′
또는
′ 중의 하 나 이다. 그런데 [논제 1](1)의 결과에 의하여 이것은 모두 불가능하다. 나머지 경우 도 비슷하게 증명할 수 있다. 따라서 의 서로소인 점들에 심은 나무는 원두막의
중심인 에서 보았을 때 그 전에 심은 나무들에 의해 가려지지 않는다.
11) 이제 절댓값이 이하이고 과 서로소가 아닌 정수 을 택하자. 그러면
이고 인 2이상인 정수 , 절댓값이 서로소인 정수 가 존재한다(이 때 는 과 의 최대공약수이다). 그러면 은 직선
위에 있다 귀납적 가정에 의해
의 좌표에 이미 나무를 심게 되므로 은 이 점에 가려 보이지 않는다. 나머지
해결과정 04에서는 [논제 1](1)의 결과와 나무의 위치와의 연결성을 볼 수 있으므로 P6, 수학적 귀납법이라는 문제해결 전략으로 문제를 해 결하는 능력을 볼 수 있으므로 P7, 수학적 추론에 근거하여 정당화하는 능력을 보는 R4, 수학적으로 올바른 표현을 사용하는가를 볼 수 있으므 로 C1, 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력을 볼 수 있으므로 C2가 드러난다. 해결과정 05에서는 서로소가 아니다와 나무를 심을 수 없음의 연결성을 파악하는 능력을 볼 수 있으므로 P6, 서로소가 아니라면을 수 학적으로 추측하는 R3, 추측을 수학적 추론에 근거하여 정당화하는 R4, 수학적으로 바른 표현을 사용하는가의 C1, 추론 과정을 논리적으로 설명 하는가의 C2가 드러난다. 이를 표로 정리해보면 다음과 같다.
번호 하위요소 하위 요소를 구체적으로 제시
04
P 6 [논제1](1)의 결과와 이전에 심은 나무의 위치와의 연결성을 파악하는 능력
P 7 수학적 귀납법이라는 문제해결 전략을 활용하여 문제를 해결 하는 능력
R 4 수학적 추론에 근거하여 정당화하는 능력 C 1 수학적으로 바른 표현을 사용하는 능력 C 2 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력
05
P 6 서로소가 아니다와 나무를 심을 수 없다의 연결성을 파악하는 능력
R 3 서로소가 아니라면을 가정하여 수학적으로 추측하는 능력 R 4 수학적 추론에 근거하여 정당화하는 능력
C 1 수학적으로 바른 표현을 사용하는 능력 C 2 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력
<표 Ⅳ-23> 나무심기 문제 논제1(2)의 하위요소
경우도 비슷하게 증명할 수 있다. 이것으로 위의 명제가 참이라는 결론을 내릴 수 있다.
[논제 1](3)
번호 해결과정 예시답안에서의 표현 하위
요소
06
[논제 1](2)의 결과를 바탕 으로 ≥ 인 경우 나무 의 수를 으로 표현하 기
위의 논의에 따라 n≥2일 때, n번 째 날 나무를 심을 수 있는 점의 좌 표는 l≤n이고 n과 서로소인 자연
수 l에 대하여 정확히
이므로 번째 날에는 그루의 나무를 심을 수 있다.
P 6 C 2
07 인 경우 나무의 수 를 으로 표현하기
또한 n= 1인 경우, f(1) = 1이고 첫째 날 심는 나무의 수는 8이므로 첫 번째 날 심는 나무의 수도
8f( 1)로 쓸 수 있다.
P 4, 5 C 2
<표 Ⅳ-24> 나무심기 문제 논제1(3)의 해결과정과 수학적 과정 하위요소
해결과정 06에서는 [논제 1](2)의 결과와 과의 연결성을 파악하는 능력을 볼 수 있으므로 P6, 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력을 볼 수 있으므로 C2가 드러난다. 해결과정 07에서는 [논제 1](2)의 결과가
≥
인 경우에만 한한 것을 인지하고
일 때를 따로 보여야 함을파악할 수 있으므로 P4, 첫째날 심은 나무의 수를
로 변환할 수 있는 가를 볼 수 있으므로 P5, 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력을 볼 수 있으므로 C2가 드러난다. 이를 표로 정리해보면 다음과 같다.번호 하위
요소 하위 요소를 구체적으로 제시
06 P 6 [논제1](2)의 결과와 과의 연결성을 파악하는 능력 C 2 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력
07 P 4 [논제1](2)의 결과가 ≥ 인 경우에 한하며 인 경우는 따로 보여야 함을 인지하는 능력
P 5 첫째날 심은 나무의 수를 로 바꾸어 표현하는 능력 C 2 추론 과정을 논리적으로 설명하는 능력
<표 Ⅳ-25> 나무심기 문제 논제1(3)의 하위요소
[논제 2]
번호 해결과정 예시답안에서의 표현 하위
요소
08
[논제 1]의 결과를 바탕으 로 열흘간 심은 나무의 총 수를 의 형태로 표현 하기
[논제 1]의 결과에 의하여 열흘간
심은 나무의 총 수는
⋅ ⋅ ⋯ ⋅
이다.
P 5, 6
09
이 한 소수의 거듭제곱 꼴( )인 경우에 대하 여 의 값을 찾아내기
그런데 제시문 (가)의 성질(2)에 의 하여 소수 , 자연수 에 대하여
이면 이므 로 다음이 성립한다.
P 6, 7 R 4 C 5
10
이 서로 다른 두 소수의 곱 꼴( )인 경우에
의 값을 찾아내기
또한 제시문 (가)의 성질(1)에 의하 여 서로소인 두 자연수 에 대하 여 이므로 다음이 성립한다.
⋅
⋅
P 6, 7 R 4 C 5
11
앞의 결과와 의 값를 바탕으로 열흘간 심은 나 무의 수를 정확히 구하기
또한 이므로 열흘간 심은 나 무의 총 수는 그루이다. R 6
<표 Ⅳ-26> 나무심기 문제 논제2의 해결과정과 수학적 과정 하위요소
해결과정 08에서는 열흘간 심은 나무의 수를