lim
→
′
일 때,
′의 값을 구하시오.
[4점][2006(가) 6월/평가원 23]
와 ′
의 관계식이 주어진 경우07
미분을 이용한 다항식의 나머지 구하기
08
1 접선의 방정식
접선의 기울기와 미분계수
01
접점이 주어질 때, 접선의 방정식
02
229.229.두 다항함수 ,
가 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나)lim
→
곡선
위의 점 에서의 접선의 방정식이
일 때,
의 값을 구하시오. (단,
,
는 상수이다.) [4점][2016(A) /수능 28]기울기가 주어질 때, 접선의 방정식
03
230.230.곡선
( )위의 점에서 그은 접선 중에서
기울기가 최소인 접선과축, 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시
오.[4점][2013(B) 4월/교육청 28]
기울기가 주어질 때, 접선의 활용
04
231.231.닫힌구간
에서 정의된 함수
에 대하여 곡선
와 직선 의 교점 중 원점 O
가 아닌 점 을A라 하자. 점 P
가 원점으로부터 점A
까지 곡선 위를
움직일 때, 삼각형O AP
의 넓이가 최대가 되는 점P
의
좌표가
이 다. 상수
의 값은?[4점][2012(나) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
2. 도함수의 활용
Ⅲ 다항함수의 미분법 곡선 밖의 점이 주어진 경우의 접선05
232.232.그림은 삼차함수
의 그래프이다.원점을 지나고 곡선
에 접하는 직선은 두 개이다.
두 접선과 곡선
의 교점 중 원점이 아닌 점들의
좌표의 합 을
라 하자. 이때,
의 값을 구하시오.[4점][2007(가) 10월/교육청 25]
233.233.양수
에 대하여 점 에서 곡선
에 그은 접선과 점 에서 곡선
에 그은 접선이 서로 평행할 때,
의 값을 구하시오.[3점][2007(가) 6월/평가원 20]
곡선과 직선이 접할 때, 미정계수 결정
06
234.234.두 함수
과
에 대하여 곡선
위의 점P
에서의 접선을 이라 하자.직선
에 곡선
가 접할 때의 접점을Q, 곡선
와축
이 만나는 두 점을 각각R
,S라 할 때, 삼각형 Q RS의 넓이는?
[4점][2015(A) 7월/교육청 14]
O
①
②
③
④
⑤
접선의 방정식의 활용
07
235.235.좌표평면에서 두 함수
,
의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수
의 값의
합은?[4점][2012(나) 9월/평가원 21]
①
②
③
④
⑤
2 함수의 극대와 극소
다항함수의 증가와 감소
01
236.236.삼차함수
가 구간 ∞ ∞
에서 증가 하도록 하는 실수
의 최댓값을
이라 하고, 최솟값을
이라 할 때,
의 값은?[4점][2011(나) 6월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
237.237.함수
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수
값의 제곱의 합을 구하시오.[4점][2015(A) 10월/교육청 27]
(가) 구간
에서
′
이다.(나) ′
′ 다항함수의 극대와 극소
02
238.238.실수
에 대하여 곡선
위의 점
과 직선
사이의 거리를 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른
것은?[4점][2013(B) 6월 평가원 16]
ㄱ. 함수
는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
ㄴ. 함수
는 이 아닌 극솟값을 갖는다.
ㄷ. 함수
는 에서 미분가능하다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
239.239.삼차함수
와 일차함수
의 그래프가 그림과 같 고,
′
′
이다.함수
는
와
에서 극소이다. 다음 중 옳은 것 은? (단,
)[4점][2016(나) 6월/평가원 18]
①
이고
②
이고
③
이고
④
이고
⑤
이고
2. 도함수의 활용
Ⅲ 다항함수의 미분법 극대․극소를 이용한 미정계수 결정
03
240.240.함수
≥
의 극댓값이
일 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.)
[4점][2013(A) 6월 평가원 21]
①
②
③
④
⑤
축에 접하는 다항함수의 그래프 04
241.241.최고차항의 계수가
인 삼차함수
가
,
,
′
이고 함수
가 다음 두 조건을 만족시킬 때,
의 값은? (단,
는 양수이다.)[4점][2013(A) 7월/교육청 21]
(가)
′
′
(나)
의 극댓값이
이고 극솟값이
이다.①
②
③
④
⑤
삼차함수가 극값을 가질 조건
05
242.242.함수
이 극값을 갖도록 하는 모
든 정수 의 개수는?[3점][2014(B) 4월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
243.243.직선
가 곡선
의 극대가 되는
점과 극소가 되는 점 사이를 지날 때, 정수의 개수를 구하시오.
[3점][2009(가) 7월/교육청 19]
3 함수의 그래프
도함수의 그래프와 극값
01
244.244.최고차항의 계수가 양수인 사차함수
의 도함수
′
의 그래프가 그림과 같다.
′
O
′
양수
에 대하여
′
이고
이다. 함수
를
라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것
은? (단, 함수
′
는
에서 극소이다.)[4점][2015(가) 11월/교육청(고2) 20]
ㄱ.
′
ㄴ. 함수
는 열린구간 에서 감소한다.ㄷ. 방정식
은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
도함수 그래프의 활용
02
245.245.서로 다른 두 실수
, 가 사차방정식
의 근일 때, 옳은
것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010(가) 6월 평가원 12]
ㄱ.
′
이면 다항식
는
으로 나누어떨어진다.ㄴ.
′
′
이면 방정식
은 허근을 갖지 않는다.
ㄷ.
′
′
이면 방정식
은 서로 다른 네 실근을
갖는다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
246.246.
에서 극댓값을 갖는 모든 다항함수 에 대하여 옳은 것
만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[3점][2009(가) 6월/평가원 14]
ㄱ. 함수 ∣ ∣은
에서 극댓값을 갖는다.
ㄴ. 함수
∣∣ 은 에서 극댓값을 갖는다.
ㄷ. 함수
∣∣은 에서 극댓값을 갖는다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
2. 도함수의 활용
Ⅲ 다항함수의 미분법247.247.함수
가 모든 실수에서 연속이고, ≠
인 모든
의 값에 대하여 미분계수
′ 가
′
일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) 수능(홀) 9]
ㄱ. 함수
는
에서 극값을 갖는다.ㄴ. 모든 실수
에 대하여
이다.ㄷ.
이면 ＞
이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
248.248.세 실수
에 대하여 사차함수
의 도함수
′
가
′ 일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2004(가) 6월/평가원 15]
ㄱ.
이면, 방정식
은 실근을 갖는다.ㄴ.
≠
이고 ＜
이면, 방정식 은 서로 다 른 두 실근을 갖는다.ㄷ.
＜＜이고 ＜
이면, 방정식
은 서로 다른 두 실근을 갖는다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
두 다항함수의 도함수의 극대
․극소 03
249.249.그림과 같이 두 삼차함수 ,
의 도함수
′ ,
′의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의
좌표는
,
( )이다. 함수 를
라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
단,
′ ,
′ [4점][2016(나) 7월/교육청 18]
O
′
′
ㄱ. 함수
는
에서 극댓값을 갖는다.ㄴ.
이면 방정식
의 서로 다른 실근의 개수는
이다.ㄷ.
인 두 실수,
에 대하여 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
250.250.삼차함수
의 도함수의 그래프와 이차함수
의 도함수의 그래프가 그림과 같다. 함수를
라 하자.
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2011(나) 6월/평가원 19]
< 보 기 >
대칭성을 갖는 함수의 극대․극소
04
251.251.최고차항의 계수가
인 삼차함수
가 모든 실수
에 대하 여
를 만족시킨다. 방정식
의 서로 다른 실근의 개수가
일 때,
의 값은?[4점][2012(나) /수능 21]
①
②
③
④
⑤
252.252.사차함수
이 다음 조건을 만족시
킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2007(가) 6월/평가원 21]
(가) 모든 실수 에 대하여
이다.
(나) 함수
는 극솟값
을 갖는다.253.253.최고차항의 계수가
인 삼차함수
에 대하여 함수
가 다음 조건을 만족시킨다.(가)
≤ 일 때, ≤
≤
이다.(나) 모든 실수
에 대하여 이다.
(다) 함수
는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
라 할 때,
의 값을 구하시오. (단,
와
는 서로 소인 자연수이다.)[4점][2014(B) 10월/교육청 29]
254.254.모든 계수가 정수인 삼차함수
는 다음 조건을 만족시킨
다.(가) 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) (다) ＜′
＜
함수
의 극댓값은
이다.
의 값을 구하시오.[3점][2008(가) 6월/평가원 23]
2. 도함수의 활용
Ⅲ 다항함수의 미분법255.255.
과
을 제외한 모든 실수
에서 미분가능한 함수
가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 모든 실수
에 대하여
이다.(나)
lim
→
이고lim
→
이다.(다)
≠
인 모든 양수
에 대하여′
이다.<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2014(B) 3월/교육청 21]
ㄱ. 함수
의 그래프는 직선
와 한 점에서 만난다.ㄴ. 함수
의 그래프는 축과 세 점에서 만난다.ㄷ.
′
인 실수
가 적어도 두 개 존재한다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
256.256.최고차항의 계수가
이고
인 사차함수
가 모든 실수
에 대하여
를 만족시킨다. 방정식
의 서로 다른 실근의 개수가
일 때, 함수
의 극댓값은?[4점][2014(A) 7월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
절댓값을 포함한 함수의 미분가능
05
257.257.다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수
에 대하여
′
의 최댓값을
, 최솟값을
이라 하자.
의 값은?[4점][2016(A) /수능 21]
(가) 함수
는
에서만 미분가능하지 않다.(나) 방정식
은 닫힌구간 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.①
②
③
④
⑤
258.258.좌표평면에서 삼차함수
와 실수 에 대하여
곡선
위의 점
에서의 접선이 축과 만나는 점을 P
라 할 때원점에서 점P
까지의 거리를g
라 하자. 함수
와 함수g
는 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나) 함수
g
는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
의 값은? (단 는 상수이다.)[4점][2014(A) /수능 21]
①
②
③
④
⑤
에서 미분가능06
다항함수의 그래프 활용
07
259.259.삼차함수
가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 에서 극댓값을 갖는다.
(나) ′
′
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(나) 9월/평가원 20]
ㄱ. 도함수
′
는 에서 최솟값을 갖는다.
ㄴ. 방정식
는 서로 다른 두 실근을 갖는다.
ㄷ. 곡선
위의 점 에서의 접선은 점
를 지난다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
260.260.함수
과 실수에 대하
여, ≤ 에서
의 최댓값을
라 하자. 함수
가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는의 최댓값은?
[4점][2010(가) 9월/평가원 16]
①
②
③
④
⑤
다항함수의 최대
․최소 08
261.261.미분가능한 두 함수
와 의 그래프는
와
에서 만나고,
＜＜인
에서 두 함숫값의 차가 최대가 된다.다음 중 항상 옳은 것은?
[3점][2004(가) 6월/평가원 6]
①
′
′ ②
′ ′
③
′
′
④
′ ′
⑤
′
′
262.262.양수
에 대하여 함수
가 닫힌구간
에서 최댓값
, 최솟값
를 갖는다.
의 값을 구하 시오.[4점][2016(나) 6월/평가원 28]
2. 도함수의 활용
Ⅲ 다항함수의 미분법 최대․최소의 활용
09
263.263.[그림 1]과 같이 가로의 길이가
cm
, 세로의 길이가 cm
인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모 양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값 을 cm
이라 할 때,
의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.)[4점][2011(가) 4월/교육청 28]
cm
cm
[그림 1]
[그림 2]
264.264.그림과 같이 좌표평면 위에 네 점
O , A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 O ABC와 한 변의 길이가 이고
네 변이 좌표축과 평행한 정사각형P Q RS가 있다. 점 P
가 점 에서 출발하여 포물선
를 따라 움직이도록 정
사각형P Q RS를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 O ABC
가 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을
라 할 때,
의 값을 구하시오. (단,와
는 서로소인 자연수이다.)[4점][2007(가) 6월/평가원 22]
265.265.좌표평면 위에 점
A 가 있다.
일 때, 원점O
와 직선 위의 점 P 를 잇는 선분 O P
의 수직이등분선과축
의 교점을B
라 하자. 삼각형ABP
의 넓이를 라 할 때, 의 최
댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연
수이다.)[3점][2009(가) 6월/평가원 20]
266.266.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정사각형 ABCD
에서 선분BC
와 선분CD
의 중점을 각각E
,F라 하자. 점 E
를 꼭짓점으로 하고 두 점A
,D
를 지나는 포물선과 선분AF가 만나는 점을 G
라 하자. 선분AG 위를 움직이는 점 P
를 지나고 직선AB
와 평행한 직선이 포물선 과 만나는 점을Q라 할 때, 삼각형 AQ P
의 넓이의 최댓값은? (단, 점P는 점 A
와 점G가 아니다.)
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 21]
A
B C
D
E
G F P
Q
①
②
③
④