특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)를 이용한 다중 집속 방법

5. Robust focusing in Time-Reversal Mirror with Virtual Source Array

5.2 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)를 이용한 다중 집속 방법

Fig 5.9를 통해 시간영역에서의 집속 신호를 확인해 본 결과 (c)와 (d)와 같이 VPS1 및 VPS2의 위치에서 음파의 집속이 이루어지지 않음을 알 수 있다. 만약 Fig 5.7 및 Fig 5.9 경우의 각각의 구속치 벡터사이의 상관계수(correlation coefficient)를 Fig 5.10과 같이 비교해 보았을 때, Fig 5.7의 경우(파랑) VPS1과 VPS2에 의한 구속치 벡터 사이의 상관계수가 낮은 반면에, Fig 5.9의 경우(빨 강) 즉, VPS1과 VPS2가 너무 근접할 때 두 가상음원 사이의 상관계수가 1에 가 까움을 알 수 있다. 또한 VSA와 VPS사이를 균일매질(homogenous medium)이 아닌 실제 해양 도파관환경을 고려하였을 경우(검정) 상관계수가 균일매질이라 고 가정한 환경보다 낮음을 알 수 있다.

Figure 5.10. Correlation Coefficient between the case of Fig 5.7, Fig 5.9 and waveguide.

가상 음원배열의 개념을 적용하기 위해서는 실제 해양도파관 환경이 아닌 균일 매질 환경을 가정해야하기 때문에 이러한 문제점을 완화할 수 있는 방법이 필 요하며 이러한 문제점은 다음절에서 설명한 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)에 의해 완화될 수 있다. 자세한 내용은 다음절에서 설명하 였다.

5.2 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)를 이용한 다중 집속 방법

여 음파의 다중 집속을 수행 하였다. 하지만, 두 가상음원 VPS1과 VPS2가 너무 근접할 경우 두 구속치 벡터 사이의 상관계수가 너무 높아 집속성능이 매우 안 좋아 짐을 확인할 수 있었다. 이러한 문제점을 해결하기 위해 본 절에서는 특 이값 분해 개념에 대해 설명하고 다중 집속을 위한 가상 음원배열 개념에 적용 방안에 대해 살펴보도록 한다.

신호벡터로 이루어진 행렬 M은 식(5.1)과 같이 다음과 같이 분해될 수 있 다.

MUV^ (5.1)

여기서 ^_^{ }_^는 위상공액(hermitian transpose)를 의미한다. U는  ×  직교행렬 로써 행렬 M의 left singular vector라고 하며, 는 대각행렬이 특이값으로 이 루어진  ×  대각행렬을 나타낸다. V는  ×  직교행렬로 행렬 M의 right singular vector라고 정의한다. 여기서 는 TRM의 개수를 나타내며 은 구속치 벡터 즉, 가상의 음원(VPS) 개수를 나타낸다. 식(5.1)을 통해 분해된 행렬 U의 첫 번째 열벡터는 특이값으로 이루어진 대각행렬 중 가장 큰 값과 상관성이 있으며 이러한 가장 우세한(dominant) 벡터만을 이용하여도 안정적인(stable) 음 파의 집속이 가능하다[17].

특이값 분해를 통해 가장 우세한 벡터를 구했다면, 적응 시역전처리에서의 신호벡터 w를 구하는 식(2.11)은 식(5.2)와 같이 수정될 수 있다[].

wK^{ }UU^†K^{ }U^{ }^{ }V^c c   ^T

(5.2)

즉, Fig 5.9와 같이 근접한 두 가상음원 사이의 상관관계가 너무 높을 경우, 두 신호벡터로 이루어진 행렬의 특이값 분해를 통해 가장 우세한 벡터만을 추출하 여 식(5.2)를 통해 재전파하는 원리이다.

Fig 5.11 및 Fig 5.12는 특이값 분해를 통한 다중 집속 시뮬레이션 결과를 나타내며, 결과 비교를 위해 5.1절 Fig 5.9의 해양 도파관 환경 및 두 가상음원 VPS1( ), VPS2()의 위치 모두 동일한 조건을 적용 하였다.

Figure 5.11. Multiple focusing for SVD at VSA1 and VSA2.

(a). Depth stack for VPS1. (b). Depth stack for VPS2.

(c). Focused signal at (2275m,25m). (d). Focused signal at (2300m,25m).

Figure 5.12. Multiple focusing for SVD with long VSA in time domain.

Fig 5.9와 같이 적응 시역전처리 기법을 적용하였을 때 두 신호벡터간의 상관 관계가 너무 높아 음파의 집속성능이 현저히 저하되는 경우에 비해, 특이값 분 해를 통해 가장 우세한 벡터만을 추출하여 재전파하게 되면 Fig 5.12와 같이 음파의 집속성능이 상당히 좋아짐을 확인할 수 있다.

Fig 5.13 및 Fig 5.14는 두 가상음원 VPS1과 VPS2를 각각  및

 에 위치한 결과이며, 특이값 분해기법을 적용한 가상 음원배열 개념

을 이용해 해저면 근처까지도 음파의 다중 집속이 가능함을 알 수 있다.

Figure 5.13. Multiple focusing for SVD at VSA1 and VSA2.

(a). Depth stack for VPS1. (b). Depth stack for VPS2.

(c). Focused signal at (2275m,98m). (d). Focused signal at (2300m,98m).

Figure 5.13. Multiple focusing for SVD with long VSA in time domain.