개념편

(1)

개 념 편

개념편

Ⅰ.통계

풀이 참조

∴ (턱걸이 횟수의 평균)= = (회)

⑴5 ⑵15분, 45분, 75분, 105분

⑶30, 225, 750, 315 ⑷66분

⑴ A=20-(2+10+3)=5

⑵ =15(분), =45(분),

=75(분), =105(분)

⑶ 15_2=30, 45_5=225, 75_10=750, 105_3=315

⑷ (평균)= = =66(분)

⑴A=6, B=11 ⑵63점 ⑶60점 ⑷ 그렇다.

⑴ A=20-(2+9+3)=6, B=20-(3+5+1)=11

⑵ (남학생들의 평균)=

= =63(점)

⑶ (여학생들의 평균)=

= =60(점)

⑷ 남학생들의 수학 성적의 평균은 63점으로 여학생들의 평 균인 60점보다 높으므로 남학생들의 수학 성적이 여학생 들보다 더 우수하다고 말할 수 있다.

1200 20

30_3+50_5+70_11+90_1 20

1260 20

30_2+50_6+70_9+90_3 20

3

1320 20 30+225+750+315

20 90+120

2 60+90

2

30+60 2 0+30

2 2

15 10.2

1

개념플러스 P. 8

턱걸이 횟수(회) 0^이상~ 6^미만 6 ~12 12 ~18 18 ~24 합계

학생 수(명) 3 7 4 1 15

계급값(회) 3 9 15 21

(계급값)_(학생 수) 3_3=9 9_7=

15_ = _1=

153 21 21

60 4

63

153

20^이상~ 40^미만 40 ~ 60 60 ~ 80 80 ~100 합계

30 50 70 90 2

A 9 3 20

3 5 B 1 20 학생 수(명)

남자 여자

수학 성적(점) 계급값(점)

6

11

1 ^{대푯값과 산포도} ⁰¹ ^대푯값

⑴ 평균：5, 중앙값：4, 최빈값：3

⑵ 평균：14, 중앙값：15, 최빈값：16

⑴ (평균)= = =5

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 4, 7, 8이므로 (중앙값)=4

3의 도수가2로 가장 크므로 (최빈값)=3

⑵ (평균)= = =14

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 11, 11, 14, 16, 16, 16이므로

(중앙값)= =15

16의 도수가3으로 가장 크므로 (최빈값)=16 52kcal

(평균)= = =52(kcal)

17.5권

(평균)= =

=17.5(권)

140 8 5+10+13+17+21+22+24+28

8 유제1

260 5 56+80+74+20+30

5 1

필수`예제

14+16 2

84 6 16+14+11+16+16+11

6 25

5 4+8+3+3+7

5 개념확인

P. 9

중앙값：245 mm, 최빈값：250 mm 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 230, 235, 235, 240, 250, 250, 250, 255이므로 (중앙값)= =245 (mm)

250 mm의 도수가3으로 가장 크므로 (최빈값)=250 mm 중앙값：9시간, 최빈값：9시간

중앙값은5번째와 6번째 도수가 각각 속하는 계급의 계급값 의 평균이므로 (중앙값)= =9(시간)

도수가4로 가장 큰 계급의 계급값이9시간이므로 (최빈값)=9시간

43 kg

학생 B의 몸무게를xkg이라 하면 평균이49 kg이므로

=49, 202+x=245 ∴x=43 따라서 학생B의 몸무게는43 kg이다.

39+x+52+46+65 5

필수`예제3

9+9 2 유제2

240+250 2 필수`예제2

P. 10

(2)

정답과해설_ 개념편

P. 11 개념누르기한판

1 ²³ 2 ⁰ 3 ^{x=4, y=4}

4 3개 5 ㄱ

(평균)= = =7(개)

∴a=7

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 3, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 9, 10이므로 (중앙값)=8개 ∴b=8 8개의 도수가3으로 가장 크므로 (최빈값)=8개 ∴c=8

∴a+b+c=7+8+8=23

중앙값은 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 8 번째 자료의 값이므로 (중앙값)=5시간 ∴a=5 5시간의 도수가5로 가장 크므로 (최빈값)=5시간

∴b=5

∴a-b=5-5=0 도수의 총합이 20명이므로

2+x+9+y+1=20 ∴ x+y=8 y㉠ 3

2

63 9 10+6+8+9+5+3+8+8+6 1 9

02 산포도

평균：13,

편차：-1, 1, 2, 0, -2

(평균)= = =13

(편차)=(자료의 값)-(평균)이므로 각 자료의 값의 편차는-1, 1, 2, 0, -2

⑴-1 ⑵1명

⑴ 편차의 합은0이므로

1+x+2+(-1)+(-1)=0 ∴x=-1

⑵ (편차)=(자료의 값)-(평균)이므로 -1=(B가구의 자녀 수)-2

∴ (B가구의 자녀 수)=1(명) 36개

승우가 암기한 영어 단어의 개수를x개라 하면 평균이40개이고 편차가 -4개이므로 x-40=-4 ∴x=36

따라서 승우가 암기한 영어 단어의 개수는 36개이다.

57

편차의 합은0이므로

1+a+0+2+(-1)+(-6)=0 ∴a=4

이때 형욱이의 몸무게의 편차가 0 kg이므로 평균은 59 kg 이고, 서우의 몸무게의 편차가-6kg이므로

-6=b-59 ∴ b=53

∴a+b=4+53=57 2

유제 유제1

1 필수`예제

65 5 12+14+15+13+11

5 개념확인

P. 12 4

주어진 자료의 최빈값이4이므로 a=4

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 4, 4, 5, 8이므로

(중앙값)= =4

평균：119분, 중앙값：85분, 중앙값 (평균)

=

= =119(분)

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 10, 65, 70, 75, 80, 90, 95, 100, 105, 500이므로 (중앙값)= =85(분)

이 자료에는 10, 500과 같이 극단적인 값이 있으므로 자료 의 중심 경향을 더 잘 나타내어 주는 것은 중앙값이다.

최빈값, 95호

가장 많이 판매된 크기의 티셔츠를 주문해야 하므로 대푯값 으로 적절한 것은 최빈값이다.

이때95호의 도수가5로 가장 크므로 (최빈값)=95호 유제4

80+90 2 1190

10

70+65+95+10+90+100+75+105+500+80 10

필수`예제4

4+4 2

유제3 또 평균이2.9권이므로

=2.9 2x+4y=24 ∴x+2y=12 y㉡ 따라서 ㉠, ㉡`을 연립하여 풀면x=4, y=4

중앙값이 90점이므로 시험 점수를 작은 값에서부터 크기순 으로 나열하면85점,88점, 92점,x점이다.

∴xæ92 y㉠

또 평균이90점 미만이므로

<90 ∴ x<95 y㉡

따라서 ㉠, ㉡`에서 92…x<95이므로 x의 값이 될 수 있는 자연수는92, 93, 94의3개이다.

ㄱ. 다른 자료의 값과 비교해서 100은 극단적인 값이므로 평 균을 대푯값으로 하기에 적절하지 않다.

5

92+88+85+x 4 4

1_2+2_x+3_9+4_y+5_1 20

(3)

∴ (평균)= = (회), (분산)= = , (표준편차)="√ 회

분산：64, 표준편차：8분

∴ (평균)= =21(분), (분산)= =64, (표준편차)='ß64=8(분)

'3ß.2개

주어진 히스토그램에서 계급값과 도수를 구하면 오른쪽 표와 같으므로

(평균)=

= =5(개) (분산)

= = =3.2

∴ (표준편차)='ß3.2(개)

32 10 (-2)¤ _3+0¤ _5+2¤ _1+4¤ _1

10 50

10

3_3+5_5+7_1+9_1 10

유제5

1280 20 420

20 필수`예제3

46

920 46 13 20

260 20 개념확인

P. 14

개 념 편

Ⅰ.통계

⑴ 10 ⑵ 2 ⑶ '2

⑴ (평균)= = =16이므로

{(편차)¤의 합}=(-1)¤ +1¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ =10

⑵ (분산)= =2

⑶ (표준편차)='2

⑴ 12 ⑵ 3 ⑶'3회

⑴ 평균이10회이므로

=10에서48+x=60

∴x=12

⑵ (분산)= = =3

⑶ (표준편차)='3회 43g, 'ƒ20.4 g

-2+(-6)+x+3+7=0 ∴ x=-2 (편차)=(자료의 값)-(평균)이므로

-2=(달걀C의 무게)-45 ∴ (달걀 C의 무게)=43(g)

(분산)= = =20.4

∴ (표준편차)='∂20.4 (g)

학생A가 받은 점수의 표준편차：10'2점, 학생B가 받은 점수의 표준편차：5'2점, 학생B

학생 A가 받은 점수에서

(평균)= = =70(점)이므로

(분산)= = =200

∴ (표준편차)='∂200=10'2(점) 학생 B가 받은 점수에서

(평균)= = =70(점)이므로

(분산)= = =50

∴ (표준편차)='∂50=5'2(점)

따라서 표준편차가 작을수록 점수가 고르다고 할 수 있으므로 학생 B의 점수가 학생A의 점수보다 더 고르다.

250 5 (-10)¤ +10¤ +(-5)¤ +5¤ +0¤

5

350 5 60+80+65+75+70

5

1000 5 (-20)¤ +0¤ +20¤ +10¤ +(-10)¤

5

350 5 50+70+90+80+60

5 유제4

102 5 (-2)¤ +(-6)¤ +(-2)¤ +3¤ +7¤

5 유제3

18 6 0¤ +2¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +0¤ +2¤

6 10+12+9+7+10+x

6 2

필수`예제

10 5

80 5 15+17+14+16+18

5 개념확인

[다른 풀이]

형욱이의 몸무게의 편차가 0 kg이므로 평균은59 kg이다.

a=63-59=4

-6=b-59, b=53 ∴a+b=57

P. 13

계급값(분) (계급값)_(도수) 편차(분) (편차)¤ _(도수)

5 15_1=511 -16 (-16)¤ _1=256

15 15_9=135 -6 (-6)¤ _9=324

25 25_7=175 4 4¤ _7=112

35 35_3=105 14 14¤ _3=588

420 1280

계급값(회) (계급값)_(도수) 편차(회) (편차)¤ _(도수)

5 1 5_7=351 _7=

_10= _10=

_3= _3=

920 260

432 12¤

12 75 25 25

40 2¤

2 150 15

15

448 (-8)¤

-8

계급값(개) 3 5 7 9 합계

도수(명) 3 5 1 1 10

1 x=1, 표준편차：2점 2 ⑤

3 ⑴ ④ ⑵'6권 4 평균：7, 표준편차：3 5 ⑴B반 ⑵ C반

-2+3+x+(-3)+0+1=0 ∴ x=1

(분산)= = =4

∴ (표준편차)='4=2(점)

24 6 (-2)¤ +3¤ +1¤ +(-3)¤ +0¤ +1¤

6 1

(4)

평균이7이므로

=7에서 x+y=12 y㉠ 또 분산이3.8이므로

=3.8 x¤ +y¤ -14(x+y)+108=19 y㉡

㉡`에 ㉠`을 대입하면

x¤ +y¤ -14_12+108=19, x¤ +y¤ -60=19

∴x¤ +y¤ =79

⑴ ①A=-2 ②B=4 ③C=32 ④D=0 ⑤E=48

⑵ (분산)= =6 ∴ (표준편차)='6(권) a, b, c, d의 평균이5이므로

=5에서a+b+c+d=20

∴ (a+2, b+2, c+2, d+2의 평균)

=

= = =7

또a, b, c, d의 표준편차가3이므로

=3¤

∴ (a+2, b+2, c+2, d+2의 분산)

=

= =3¤

∴ (a+2, b+2, c+2, d+2의 표준편차)="ç3¤ =3 [다른 풀이]

(구하는 평균)=5+2=7 (구하는 표준편차)=1_3=3

[참고] n개의 변량x¡, x™, x£, y, x«의 평균이m이고, 표준 편차가 s일 때, ax¡+b, ax™+b, ax£+b, y, ax«+b에 대 하여

(평균)=am+b, (표준편차)=|a|s

⑴B반의 평균이 가장 높으므로 성적이 가장 높다.

⑵C반의 표준편차가 가장 작으므로 성적이 가장 고르다.

5

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤

4

(a+2-7)¤ +(b+2-7)¤ +(c+2-7)¤ +(d+2-7)¤

4 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤

4

20+8 4 a+b+c+d+8

4

(a+2)+(b+2)+(c+2)+(d+2) 4

a+b+c+d 4 4

120 20 3

(-1)¤ +3¤ +(x-7)¤ +(y-7)¤ +0¤

5 6+10+x+y+7

5 2

책의 수(권) 1^이상~ 3^미만 3 ~ 5 5 ~ 7 7 ~ 9 9 ~11 합계

(편차)¤ _(도수) (-4)¤ _2=32 (-2)¤ _6=24 0¤ _5=0 2¤ _4=16 4¤ _3=48

120 학생 수(명)

2 6 5 4 3 20

계급값(권) 2 4 6 8 10

편차(권) -4 -2 0 2 4

교과서 확인과 응용 P. 16~17

1 ⑤ 2 ② 3 A반 4 ^e

5 6 6 40 7 ⑤ 8 ⑤

9 ① 10 ③ 11 ^{x=3, y=4}

12 88점, 과정은 풀이 참조 13 (8, 8), 과정은 풀이 참조

< 에서

44+4x<63+3x ∴ x<19 y㉠

< 에서

63+3x<64+4x ∴ x>-1 y㉡

㉠, ㉡`에서-1<x<19

따라서 정수x의 최댓값은18이다.

(평균)=

= =8.3(점)

∴a=8.3

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때,10번째와 11번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로

(중앙값)= =8.5(점) ∴b=8.5 9점의 도수가8로 가장 크므로 (최빈값)=9점

∴c=9

∴a+b-c=8.3+8.5-9=7.8

세 반A, B, C의 최빈값과 평균을 각각 구하면 A반 : (최빈값)=3점

(평균)=

= =3.2(점) A반 : ∴ (최빈값)<(평균) B반 : (최빈값)=4점

(평균)=

= =3.4(점) B반 : ∴ (최빈값)>(평균) C반 : (최빈값)=3점

(평균)=

= =2.8(점) C반 : ∴ (최빈값)>(평균)

따라서 세 반 중 최빈값이 평균보다 작은 반은 A반이다.

42 15

1_3+2_3+3_5+4_2+5_2 3+3+5+2+2

51 15

1_1+2_3+3_3+4_5+5_3 1+3+3+5+3

48 15

1_2+2_1+3_6+4_4+5_2 2+1+6+4+2

3

8+9 2 166

20

6_1+7_4+8_5+9_8+10_2 2 20

6+x+10 3 5+6+x+10

4

5+6+x+10 4 5+6+x

1 3

(5)

개 념 편

Ⅰ.통계

주어진 문장에 사용된 모음의 수는 다음과 같다.

따라서 모음의 최빈값은e이다.

x의 값에 관계없이7시간의 도수가 가장 크므로 최빈값은 7 시간이고 평균도 7시간이다.

=7 50+x=56 ∴x=6

최빈값이 14 æ이므로a, b, c중 적어도 2개는14이다.

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 4번째와5번 째 자료의 값의 평균이 중앙값인 13æ이므로

a, b, c중 14가 아닌 값과14의 평균이13이다.

즉, a, b, c중 14가 아닌 값은 12이다.

∴ a+b+c=12+14+14=40

⑤ 분산이 클수록 자료의 값들이 평균에서 멀리 흩어져 있고, 분산이 작을수록 자료의 값들이 평균에 모여 있다.

① 편차가 음수이므로 B지역의 출동 시간은 5개의 지역의 출동 시간의 평균보다 짧다.

② C지역의 편차를 x분이라 하면 1+(-2)+x+5+(-3)=0

∴x=-1

③ A지역에서 6-(평균)=1이므로 (평균)=5(분)

④ 5개의 지역의 출동 시간의 평균보다 출동 시간이 더 긴 지 역은 편차가 양수인A, D지역2군데이다.

⑤ (분산)= =8

⑤ ∴ (표준편차)='8=2'2(분) a+9+12+5+3=30이므로a=1 (분산)=

=1

따라서 표준편차는1시간이므로b=1

∴ a+b=1+1=2

① 두 반 A, B의 성적의 평균이 같으므로 A반의 성적이 B반의 성적보다 우수하다고 할 수 없다.

② A반의 표준편차가 B반의 표준편차보다 작으므로 A반 의 분산은B반의 분산보다 작다.

③, ⑤A반의 표준편차가 B반의 표준편차보다 작으므로 A 반의 성적이B반의 성적보다 고르다고 할 수 있다.

④ 두 반 A, B의 학생 수를 알 수 없으므로 두 반의 수학 성 적의 총합은 알 수 없다.

10

(-2)¤ _1+(-1)¤ _9+0¤ _12+1¤ _5+2¤ _3 30

9

1¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +5¤ +(-3)¤

5 8

7 6

6+9+10+7+x+7+4+7 8

5

4 _평균이_{6장이므로} ₌₆

29+x+y=36 ∴x+y=7 y㉠ 또 분산이 8이므로

=8 (x-6)¤ +(y-6)¤ =13 y㉡

㉠`에서y=7-x이므로 이를 ㉡`에 대입하면 (x-6)¤ +(1-x)¤ =13, x¤ -7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3또는x=4 x=3을 ㉠`에 대입하면y=4

x=4를 ㉠`에 대입하면y=3 그런데x<y이므로x=3, y=4

지원이가 92점을 받은 과목의 점수를 x점으로 잘못 보았다 고 하고 나머지 7과목의 점수의 총합을S점이라 하자.y ⁄ 평균이0.5점 작게 나왔으므로

= -0.5 y ¤

S+x=S+92-4 ∴x=88

따라서 지원이는 92점을88점으로 잘못 보았다. y ‹

평균이7점이므로aæ7, bæ7 즉, 편차는 각각

1점,0점,-1점,-2점,(a-7)점,(b-7)점이다.

이때 편차의 합은0이므로

1+0+(-1)+(-2)+(a-7)+(b-7)=0

∴ a+b=16 y㉠ y ⁄

표준편차가 최소가 되려면 분산이 최소이어야 하므로 편차의 제곱의 합이 최소이어야 한다.

(편차의 제곱의 합)

=1¤ +0¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +(a-7)¤ +(b-7)¤

=(a-7)¤ +(b-7)¤ +6 y㉡ y ¤

㉠`에서b=16-a이므로 이를 ㉡`에 대입하면

(a-7)¤ +(9-a)¤ +6=2(a-8)¤ +8 y ‹ 즉, a=8일 때, 표준편차는 최소가 된다.

∴ b=16-a=16-8=8

따라서 구하는 순서쌍 (a, b)는(8, 8)이다. y › 13

S+92 8 S+x

8 12

3¤ +1¤ +4¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(-3)¤

6

9+7+10+x+y+3 11 6

⁄ 잘못 본 점수를x점으로 놓기 채점 기준

¤ 잘못 구한 평균과 실제 평균을 이용하여 식 세우기

‹ 잘못 본 점수 구하기

20%

배점

40%

⁄ 편차의 합을 이용하여a, b에 대한 식 세우기 채점 기준

¤ 편차의 제곱의 합을 이용하여a, b에 대한 식 세우기

› 순서쌍(a, b)구하기

30%

배점

30%

‹ ⁄, ¤의 식을 한 문자에 대한 식으로 나타내기 20%

20%

a e i o

2 3 2 1

(6)

ㄱ. 도수가8로 가장 큰 계급의 계급값이7일이므로 (최빈값)=7일

ㄴ. 10번째와 11번째 도수가 각각 속하는 계급의 계급값의 평균이 중앙값이므로

(중앙값)= =6(일) ㄷ. (평균)=

= =5.7(일) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

누락된2명의 성적이 평균보다 크므로 2명의 성적을 반영하 여 계산하면 평균은 커진다.

또 누락된 2명의 성적이 중앙값보다 크므로 2명의 성적을 반영하여 계산하면 중앙값은 변하지 않거나 커진다.

따라서 옳은 것은 ①, ④이다.

A, B,C 3개의 도시에 있는 천연기념물의 수의 총합은 7_3=21(개)

D, E를 포함한5개의 도시에 있는 천연기념물의 수의 총합 은5_5=25(개)이므로 D,E 2개의 도시에 있는 천연기념 물의 수의 총합은25-21=4(개)이다.

∴ (2개의 도시에 있는 천연기념물의 수의 평균)= =2(개)

합격자 수를 a명, 불합격자 수를 b명이라 하면 전체 응시자 의 평균이71점이므로

=71 80a+68b=71a+71b 9a=3b ∴3a=b

∴ (합격률)= _100= _100

= _100=25(%)

세 수2, 5, a의 중앙값이5이므로aæ5 세 수10, 16, a의 중앙값이10이므로a…10

∴5…a…10

따라서 자연수a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤11이다.

ㄱ. 자료A에는 최빈값이 없고, 극단적인 값100이 있으므로 중앙값을 대푯값으로 정하는 것이 가장 적절하다.

ㄴ. 자료B에는 최빈값이 없고, 극단적인 값이 없으므로 평균 이나 중앙값을 대푯값으로 정하는 것이 적절하다.

ㄷ. 자료C의 중앙값과 최빈값은13으로 서로 같다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

9 8

1 4

a a+3a a

a+b 80a+68b

a+b 7

4 2 6

5

114 20

1_1+3_3+5_6+7_8+9_2 20

5+7 2 4

1 ③ 2 ① 3 0.1, 과정은 풀이 참조

4 ③ 5 ①, ④ 6 ② 7 ③

8 ⑤ 9 ④ 10 ② 11 ④

12 ④ 13 '∂54.2 dB 14 ^a<b 15 '4ß.8권, 과정은 풀이 참조 16 ④

17 16분,14분, 과정은 풀이 참조 18 ①

19 ²'2å1개, 과정은 풀이 참조 20 ²'2 21 ④

22 ④ 23 ③ 24 ③

P. 19~22 기출문제로단원마무리

(평균)= = =22(일)

액션의 도수가 16으로 가장 크므로 최빈값은 액션이다.

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때,8번째 자료의 값이 중앙값이므로 (중앙값)=0.9 y`⁄

1.0의 도수가3으로 가장 크므로 (최빈값)=1.0 y`¤

따라서 중앙값과 최빈값의 차는 1.0-0.9=0.1이다. y`‹

3 2

132 6 27+15+11+31+21+27 1 6

⁄ 중앙값 구하기

채점 기준

¤ 최빈값 구하기

‹ 중앙값과 최빈값의 차 구하기

40%

배점

40%

20%

B선수

(A선수의 평균)= = =8(점)

(A선수의 분산)

= = =3

∴ (A선수의 표준편차)='3(점)

(B선수의 평균)= = =8(점) (B선수의 분산)

= =

∴ (B선수의 표준편차)=æ = (점)

이때 B선수의 표준편차가 A선수의 표준편차보다 작으므 로B선수의 점수가 더 고르다.

따라서B선수를 선발해야 한다.

'3 3 1 3

1 3 0¤ +(-1)¤ +0¤ +0¤ +0¤ +1¤

6

48 6 8+7+8+8+8+9

6

18 6 (-2)¤ +2¤ +2¤ +1¤ +(-1)¤ +(-2)¤

6

48 6 6+10+10+9+7+6

6 답

P. 18 시험에 나오는 스토리텔링

(7)

개 념 편

Ⅰ.통계

ㄱ. 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있고 산포도에는 분산, 표준편차 등이 있다.

ㄴ. 1, 2, 3, 6의 평균은3, 중앙값은2.5로 같은 값이 아니다.

ㄷ. 중앙값은 자료의 개수가 짝수이면 자료를 작은 값에서부 터 크기순으로 나열할 때, 중앙에 있는 두 자료의 값의 평 균이므로 자료에 없는 값이 될 수도 있다.

ㄹ. 자료의 값이 모두 같으면 편차가 0이 되므로 분산은0이 다. 즉, 분산은 음수가 아닌 수이다.

ㅁ. (표준편차)='ƒ(분산)이므로분산이클수록표준편차도크다.

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅁ이다.

(분산)= = =6

∴ (표준편차)='6(초)

ㄱ. (평균)= = =4

ㄴ. 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 4번째와 5번째 자료의 값의 평균이 중앙값이므로

(중앙값)= =4.5

ㄷ. 5의 도수가 3으로 가장 크므로 (최빈값)=5 ㄹ. (분산)

=

=3.25

ㄹ. ∴ (표준편차)='∂3.25

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ의3개이다.

(평균)=

= =82(dB) (분산)

=

= =54.2

∴ (표준편차)='ƒ54.2 (dB) 자료 A: 1, 2, 3, 4, 5

(자료 A의 평균)= = =3

(자료 A의 분산)=

= =2

∴ a=2

자료 B: 1, 3, 5, 7, 9

(자료 B의 평균)= =25=5

5 1+3+5+7+9

5 10

5

(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤

5 15

5 1+2+3+4+5

5 14

542 10

(-13)¤ +(-6)¤ +(-4)¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +4¤ +11¤ +13¤

10 820

10

69+76+78+79+80+81+83+86+93+95 13 10

(-1)¤ +0¤ +1¤ +(-3)¤ +1¤ +(-2)¤ +1¤ +3¤

8 4+5

2

32 8 3+4+5+1+5+2+5+7 12 8

30 5 9+4+0+16+1 11 5

10 _{∴ (자료}_{B의 분산)}₌

= =8

∴ b=8

따라서a=2, b=8이므로a<b

(-3)_2+(-2)_6+0_5+a_4+1_2+4_1=0

-12+4a=0 ∴ a=3 y ⁄

(분산)

=

= =4.8 y ¤

∴ (표준편차)='∂4.8(권) y ‹

(도수의 총합)=5+5+9+7+4=30(명) (평균)=

= =50(분)

∴ a=50 (분산)

=

= =640

(표준편차)='6ß40=8'1å0(분)

∴ b=8'1å0

∴ ab=400'1å0

분산이8이므로

=8 y ⁄

2x¤ +38=40, x¤ =1 ∴x=—1

그런데 월요일의 등교 시간이 금요일보다 더 오래 걸렸으므

로 x=1 y ¤

이때 등교 시간의 평균이 15분이므로 (월요일의 등교 시간)-15=1에서

(월요일의 등교 시간)=16(분) y ‹ (금요일의 등교 시간)-15=-1에서

(금요일의 등교 시간)=14(분) y › x¤ +(-5)¤ +3¤ +2¤ +(-x)¤

5 17

19200 30

(-40)¤ _5+(-20)¤ _5+0¤ _9+20¤ _7+40¤ _4 30

1500 30

10_5+30_5+50_9+70_7+90_4 30

16 96 20

(-3)¤ _2+(-2)¤ _6+0¤ _5+3¤ _4+1¤ _2+4¤ _1 20

15

40 5

(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤

5

⁄ a의 값 구하기

채점 기준

¤ 분산 구하기

‹ 표준편차 구하기

40%

배점 40%

20%

(8)

-2+3+a+1+b=0, a+b=-2 y㉠ 또 표준편차가 '7이므로

=('7 )¤

a¤ +b¤ =21 y㉡

이때a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로 ㉠, ㉡을 대입하면 21=(-2)¤ -2ab ∴ ab=-

쿠키가70개 이상 80개 미만 팔린 날의 수를 x일이라 하면

1+x+3+2=10 ∴x=4 y ⁄

(분산)=

= =84 y ¤

∴ (표준편차)='∂84=2'∂21(개) y ‹

평균이1이므로

=1

∴x+y=-3 y㉠

x, y를 제외한 5개의 수를 작은 것부터 크기순으로 나열하면 -1, 0, 2, 4, 5

이때 중앙값이 1이므로 7개의 수를 작은 것부터 크기순으로 나열할 때,4번째 수가1이어야 한다.

즉,x, y중 하나는1이고, 다른 하나는 1보다 작은 수이다.

그런데x<y이므로y=1

이를 ㉠에 대입하면 x+1=-3 ∴x=-4 (분산)=

= =8

∴ (표준편차)='8=2'2 a, b, c의 평균이10이므로

=10에서a+b+c=30 a+b+c

3 21

56 7

(-2)¤ +4¤ +(-5)¤ +(-1)¤ +1¤ +3¤ +0¤

7 (-1)+5+x+0+2+4+y

7 20

840 10

(-16)¤ _1+(-6)¤ _4+4¤ _3+14¤ _2 10

19

17 2 (-2)¤ +3¤ +a¤ +1¤ +b¤

5 18

(3a, 3b, 3c의 평균)= =

= =30

∴m=30

또a, b, c의 표준편차가 6이므로

=6¤

(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ =108 (3a, 3b, 3c의 분산)

=

= =324

∴ (3a, 3b, 3c의 표준편차)='∂324=18 ∴n=18

∴m-n=30-18=12

①, ②, ③, ⑤ 평균과 표준편차만으로는 각 자료의 값이나 도 수의 총합 등은 알 수 없다.

④B반의 표준편차가 가장 작으므로 성적이 가장 고르다.

5명의 학생의 점수를 각각a, b, c, d, e점이라 하자.

평균이8점이므로

=8 ∴ a+b+c+d+e=40

∴ (5명의 평균)= = =8(점) 또 분산이3이므로

=3

∴(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ =18

∴ (5명의 분산)

=

= =3.6

∴ (5명의 표준편차)='∂3.6(점)

실제4개의 수의 총합은 변함이 없으므로 평균은 변함이 없다.

∴ (실제 평균)=2

한편 잘못 본4개의 수를a, b, 6, 2라 하면 (잘못 본4개의 수의 분산)=

=30

∴(a-2)¤ +(b-2)¤ =104

∴ (실제 분산)=

=104+10=28.5 4

(a-2)¤ +(b-2)¤ +3¤ +1¤

4

(a-2)¤ +(b-2)¤ +4¤ +0¤

4 24

18 5

(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤

5

(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +0¤

6

40 5 a+b+c+d+e

5 a+b+c+d+e+8

6 23

22

9_108 3

9{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤} 3

(3a-30)¤ +(3b-30)¤ +(3c-30)¤

3

(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤

3

3_30 3

3(a+b+c) 3 3a+3b+3c

⁄ x에 대한 식 세우기 3 채점 기준

¤ x의 값 구하기

‹ 월요일의 등교 시간 구하기

› 금요일의 등교 시간 구하기

25%

배점

25%

⁄ 쿠키가70개 이상80개 미만 팔린 날의 수 구하기 채점 기준

¤ 분산 구하기

‹ 표준편차 구하기

40%

배점 40%

20%

(9)

개 념 편

Ⅱ.피타고라스정리

개념편

01 ^{피타고라스 정리`⑴}

⑴5 ⑵2'5

⑴ x¤ =4¤ +3¤ =25

그런데x>0이므로x=5

⑵ x¤ =6¤ -4¤ =20

그런데x>0이므로x=2'5 x=5, y='4å1 x¤ =13¤ -12¤ =25 그런데x>0이므로x=5 y¤ =4¤ +x¤ =4¤ +5¤ =41 그런데y>0이므로y='ß41

⑴x=2'2, y='∂17 ⑵x=2'∂37, y=11

⑴ △ABC에서x¤ =2¤ +2¤ =8 그런데x>0이므로x=2'2

△ACD에서y¤ =x¤ +3¤ =(2'2 )¤ +3¤ =17 그런데y>0이므로y='∂17

⑵ △ABD에서x¤ =10¤ +(4'3)¤ =148 그런데x>0이므로x=2'∂37

△BCD에서y¤ =x¤ -(3'3)¤ =(2'3å7)¤ -(3'3)¤ =121 그런데y>0이므로y=11

20cm

△ADC에서 AC” ¤ =13¤ -5¤ =144 그런데AC”>0이므로AC”=12 (cm)

△ABC에서AB” ¤ =(11+5)¤ +12¤ =400 그런데AB”>0이므로AB”=20 (cm) 유제2

유제1 필수`예제1 개념확인

1 ^{피타고라스 정리}

P. 27

⑴'2cm ⑵'3cm ⑶2cm

⑴ △AOB에서BO”="√1¤ +1¤ ='2(cm)

⑵ △BOC에서CO”="√('2 )¤ +1¤ ='3 (cm)

⑶ △COD에서DO”="√('3 )¤ +1¤ ='4=2(cm) '3cm

BE”=BD”="√1¤ +1¤ ='2 (cm)

∴ BG”=BF”="√('2 )¤ +1¤ ='3 (cm) 유제3

필수`예제2

P. 28

⑴5cm ⑵25cm¤

△ABC™△EAD™△GEF™△BGH(SAS 합동) 이므로 AEGB는 정사각형이다.

⑴ △ABC에서 ∠C=90˘이므로

AB”="√4¤ +3¤ =5 (cm)

⑵ AEGB는 한 변의 길이가 5cm인 정사각형이므로 AEGB=5¤ =25 (cm¤ )

68cm

AEGB는 정사각형이므로AB”='∂169=13 (cm)

△ABC에서 BC”="√13¤ -12¤ =5 (cm)

따라서 CDFH는 한 변의 길이가 12+5=17 (cm)인 정사각형이므로 그 둘레의 길이는

4_17=68 (cm)

90˘, 직각이등변, ;2!;c¤ , a¤ +b¤

△ABC™△CDE(SSS합동)이므로

∠ACE=180˘-(∠ACB+∠ECD)

=180˘-(∠ACB+∠CAB)

=180˘-90˘=90˘

또AC”=CE”이므로 △ACE는 ∠ACE= 인 삼각형이다.

직각이등변

90˘

유제6 유제5 필수`예제4

P. 29 6'3

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을H라 하면 HC”=AD”=6이므로

BH”=9-6=3

△ABH에서AH”="√6¤ -3¤ =3'3

∴ DC”=AH”=3'3

따라서 △BCD에서BD”="√9¤ +(3'3 )¤ =6'3 2'8å5 cm

오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 H,I라 하면 HI”=AD”=9 cm이므로 BH”= _(19-9)=5 (cm)

△ABH에서AH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)

따라서 △AHC에서AC”="√(9+5)¤ +12¤ =2'8å5 (cm) 1

2

A

B H I C

D 13 cm

9 cm

5 cm 9 cm 5 cm 유제4

3 6 6

A 6

B C

D

H 필수`예제3

(10)

⑴ ② ⑵32cm¤

⑴EA”// CB”이므로 △ABE=△ACE

△ABE™△AFC이므로 △ABE=△AFC AF”// C’L”이므로 △AFC=△AFL=△LFM 따라서 △ABE와 넓이가 같은 삼각형이 아닌 것은

② △ABC이다.

6 필수`예제

P. 31

⑴BC”, 10 ⑵100, 100 ⑶=, 10, 직각

④

④ 가장 긴 변의 길이가12cm이고6¤ +9¤+12¤이므로 직각삼각형이 아니다.

①, ③

① 가장 긴 변의 길이가 '5cm이고 ('2)¤ +('3)¤ =('5)¤

이므로 직각삼각형이다.

③ 가장 긴 변의 길이가4cm이고 ('7)¤ +3¤ =4¤이므로 직각삼각형이다.

;6&;

x+3이 가장 긴 변의 길이이므로 4¤ +x¤ =(x+3)¤

6x=7 ∴ x=;6&;

3

x+7이 가장 긴 변의 길이이므로 (x+3)¤ +(x+5)¤ =(x+7)¤

x¤ +2x-15=0, (x+5)(x-3)=0 그런데x+3>0이므로x=3

'∂119 , 13

⁄ a가 가장 긴 변의 길이일 때, 12¤ +5¤ =a¤ , a¤=169 그런데a>0이므로a=13

¤ 12가 가장 긴 변의 길이일 때, 5¤ +a¤ =12¤ , a¤ =119 그런데a>0이므로a='∂119 따라서⁄,¤에서a의 값은'∂119, 13 유제12

11 유제

8 필수`예제 유제10 필수`예제7 개념확인

P. 32 ABDE=;2!;_(AB”+DE”)_BD”

ABDE=;2!;(a+b)(a+b)=;2!;(a+b)¤ y㉠

△ABC+△ACE+△CDE=;2!;ab+;2!;c¤ +;2!;ab y㉡

이때 ㉠=㉡이므로

;2!;(a+b)¤ =;2!;ab+ +;2!;ab

;2!;a¤ +ab+;2!;b¤ =ab+;2!;c¤ , ;2!;a¤ +;2!;b¤ =;2!;c¤

∴ a¤ +b¤ =c¤

;2!;c¤

⑵ △AFL=△ACE= ACDE

= _64=32 (cm¤)

⑴4cm¤ ⑵2'2cm¤

⑴ ACDE+ BHIC= AFGB이므로 ACDE+8=12

∴ ACDE=4 (cm¤ )

⑵BC”='8=2'2 (cm)이고 AC”='4=2 (cm)이므로

△ABC=1_2_2'2=2'2 (cm¤ ) 2

유제9

1 2

⑴ 정사각형 ⑵1cm¤

⑴ △ABC™△BDF™△DEG™△EAH이므로 CF”=FG”=GH”=HC”,

∠HCF=∠CFG=∠FGH=∠GHC=90˘이다.

따라서 CFGH는 정사각형이다.

⑵ △ABC에서AC”="√5¤ -3¤ =4 (cm)이므로 CH”=AC”-AH”=AC”-BC”=4-3=1 (cm)

∴ CFGH=1¤=1 (cm¤ ) 24('3-1)

△ABC에서BC”="√12¤ -6¤ =6'3이므로 CF”=BC”-BF”=BC”-AC”=6'3-6=6('3-1)

∴ ( CFGH의 둘레의 길이)=4_6('3-1)

=24('3-1)

④

④ △ABC=;2!;ab

④ CFGH=(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤에서

④2 CFGH=2a¤ -4ab+2b¤

④∴ △ABC+2 CFGH 8

유제 7 유제 필수`예제5

P. 30

(11)

개 념 편

02 ^{피타고라스 정리`⑵}

⑴ 예각삼각형 ⑵ 직각삼각형 ⑶ 둔각삼각형

⑴9¤ <6¤ +8¤이므로 예각삼각형이다.

⑵10¤ =6¤ +8¤이므로 직각삼각형이다.

⑶11¤ >6¤ +8¤이므로 둔각삼각형이다.

⑴ 예각삼각형 ⑵ 직각삼각형

⑶ 둔각삼각형 ⑷ 예각삼각형

⑴8¤<6¤ +7¤이므로 예각삼각형이다.

⑵25¤=7¤ +24¤이므로 직각삼각형이다.

1 필수`예제 개념확인

P. 35

△ABC™△CDE이므로 △ACE는 직각이등변삼각형이다.

이때 AB”=CD”=2 cm, DE”=BC”=4 cm이므로 AC”=CE”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm)

∴ △ACE=;2!;_2'5_2'5=10 (cm¤ )

⑴ ADEB=△EBA=△EBC

=△ABF=△BFL= BFML

⑵ AB”="√10¤ -6¤ =8 (cm)이므로

ADEB=8¤ =64 (cm¤ )

∴ △ABF=△EBC=△EBA= ADEB

= _64=32 (cm¤ )

⑶ ADEB+ ACHI= BFGC이므로 ACHI=25-16=9 (cm¤ )

∴AC”='9=3 (cm)

ㄱ. 2¤ +3¤+4¤이므로 직각삼각형이 아니다.

ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ. 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같으므로 직각삼각형이다.

따라서 직각삼각형은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의4개이다.

새로운 막대의 길이를 xcm라 하면

⁄ xcm가 가장 긴 막대의 길이일 때, x¤ =6¤ +8¤ =100

그런데x>0이므로x=10 (cm)

¤ 8 cm가 가장 긴 막대의 길이일 때, x¤ =8¤ -6¤ =28

그런데x>0이므로x=2'7 (cm)

따라서⁄,¤에서 새로운 막대의 길이로 가능한 것은 2'7cm, 10 cm이다.

10 9

1 2

1 2 1 2 1

8 2 P. 33~34 7

개념누르기한판

1 ⑴13 ⑵8 ⑶1 2 ⑴'ß65 ⑵8'5 ⑶2'1å3 3 ⑴'1å1 ⑵'5 4 ^{200 m} 5 ^{120 cm¤}

6 ⑴20 ⑵32(2-'3 ) 7 10 cm¤

8 ⑴ ⑤ ⑵32cm¤ ⑶3cm 9 4개 10 ②, ③

⑴ x¤ =12¤ +5¤ =169 그런데x>0이므로x=13

⑵ x¤ +x¤ =(8'2 )¤ , x¤ =64 그런데x>0이므로x=8

⑶ x¤ =2¤ -('3 )¤ =1 그런데x>0이므로x=1

⑴ △ADC에서AD”="√5¤ -3¤ =4 따라서 △ABD에서x="√7¤ +4¤ ='∂65

⑵ △ADC에서AD”="√6¤ +8¤ =10 BD”=AD”=10이므로BC”=10+6=16 따라서 △ABC에서x="√16¤ +8¤ =8'5

⑶ △ABC에서BC”="√10¤ -6¤ =8이므로 DC”=;2!;BC”=;2!;_8=4

따라서 △ADC에서x="√4¤ +6¤ =2'∂13

⑴ BO”='3,CO”='5, DO”='7,EO”=3이므로 x="√3¤ +('2 )¤ ='1å1

⑵ BE”=BD”='2,BG”=B’F”='3, BI”=BH”=2이므로 x=BJ”="√2¤ +1¤ ='5

(민이가 이동한 거리)="√400¤ +300¤=500 (m) (솔이가 이동한 거리)=400+300=700 (m) 따라서 두 사람이 이동한 거리의 차는 700-500=200 (m)

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

DH”=AB”=8 cm이므로

△DHC에서HC”="√10¤ -8¤ =6 (cm) BC”=12+6=18 (cm)

∴ ABCD= _(12+18)_8=120 (cm¤ )

⑴ CF”=DG”=4, CG”=6-4=2이므로 EFGH=FG” ¤ = CF” ¤ +CG” ¤ =4¤ +2¤ =20

⑵ CF”="√8¤ -4¤ =4'3, CG”=BF”=4이므로 FG”=CF”-CG”=4'3-4

∴ EFGH=FG”¤ =(4'3-4)¤ =32(2-'3 ) 6

1 2

A 12 cm

12 cm

10 cm 8 cm

B H C

5 D

4 3 2 1

(12)

⑶12¤>5¤+10¤이므로 둔각삼각형이다.

⑷('ß13 )¤<('5 )¤+(2'3 )¤이므로 예각삼각형이다.

'∂41<a<9

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서 5-4<a<4+5 ∴ 1<a<9 이때a>5이므로5<a<9 y㉠ 둔각삼각형이 되려면 a¤ >4¤ +5¤ , a¤ >41 이때a>0이므로a>'ß41 y㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서'ß41<a<9

예각삼각형

삼각형의 세 변의 길이를 각각 4k, 5k, 6k (k>0)라 하면 (6k)¤<(4k)¤+(5k)¤이므로 예각삼각형이다.

유제2 1 유제

⑴16cm ⑵8'5cm ⑶4'5cm

⑴AD” ¤ =BD”_CD”이므로8¤ =BD”_4

∴ BD”=16 (cm)

⑵AB” ¤ =BD”_BC”이므로AB” ¤ =16_(16+4)=320 그런데AB”>0이므로AB”=8'5 (cm)

⑶AC” ¤ =CD”_BC”이므로AC” ¤ =4_(16+4)=80 그런데AC”>0이므로AC”=4'5 (cm)

⑴x=5, y=:¡5§: ⑵x=2'∂10, y=2'6

⑴ △ABC에서 x="√4¤ +3¤ =5

⑴AB” ¤ =BD”_BC””이므로

⑴4¤ =y_5 ∴ y=;;¡5§:

⑵AC” ¤ =CD”_BC””이므로 x¤ =4_(4+6)=40

그런데x>0이므로x=2'ß10

⑴AD” ¤ =BD”_CD””이므로 y¤=6_4=24

그런데y>0이므로y=2'6

;;£5§;;cm

△ABC에서AB”="√15¤ -12¤ =9 (cm)이고 AB”_AC”=AD”_BC”이므로

9_12=AD”_15 ∴ AD”=;;£5§;;(cm)

㈎AB”¤ ㈏AC”¤ ㈐BC”¤

△ABE에서BE”¤ =AE”¤ +AB”¤ y㉠

△ADC에서CD”¤ =AD”¤ +AC”¤ y㉡ 필수`예제3

유제4 3 유제 필수`예제2

P. 36

3'2 cm

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤이므로 4¤ +CD” ¤ =5¤ +3¤ , CD”¤ =18

그런데CD”>0이므로CD”=3'2 (cm) 58

AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤ =3¤ +7¤ =58

'∂11 cm

A’P” ¤ +CP”¤ =B’P”¤ +DP” ¤이므로 2¤ +4¤ =3¤ +DP” ¤ , DP” ¤=11

그런데DP”>0이므로DP”='ß11(cm) 28

AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤이므로

8¤ +y¤ =6¤ +x¤ ∴x¤ -y¤ =8¤ -6¤ =28 유제6

필수`예제5 5 유제 필수`예제4

㉠, ㉡`을 변끼리 더하면

BE”¤ +CD”¤ =(AE”¤ + )+(AD”¤ + )

=(AE”¤ +AD”¤ )+( + )

=DE”¤ + BC”¤

AC”¤

AB”¤

AC”¤

AB”¤

P. 37

S™, S£, S£

32pcm¤

S¡+S™=(BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이) S¡+S™=;2!;_p_8¤ =32p(cm¤ )

10 cm

BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이를 S£이라 하면 S£=S¡+S™=8p+;2(;p=:™2∞:p(cm¤ )이므로

;2!;_p_{ }

¤=:™2∞:p, BC”¤=100

그런데BC”>0이므로BC”=10 (cm) 30 cm¤

(색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_5_12=30 (cm¤ ) 필수`예제7

BC”

2 7

유제 6 필수`예제 개념확인

P. 38

(13)

개 념 편

교과서 확인과 응용 P. 42~44

1 ²'7 cm 2 ② 3 ⁸'5 cm¤ 4 ⁴'5m

5 ^{81 cm¤} 6 ¹⁶ 7 ②, ④ 8 ④

9 ② 10 27 11 x=3'5,y=6 12 ¹²⁵ 13 ²'3 cm 14 ② 15 ¹² 16 ⁴'3 cm¤ 17 ⁵

18 ∠C=90˘인 직각삼각형, 과정은 풀이 참조 19 7 cm, 과정은 풀이 참조

5 P. 39~40

개념누르기한판

1 ④ 2 4<a<5 3 ③ 4 ⁶'2 cm¤

5 ^cm 6 ²'5 7 ⁴¹ 8 ³'5

9 ^16p^cm¤ 10 ⁵⁰'5 cm¤

48 5

④ 9¤ <6¤ +7¤이므로 예각삼각형이다.

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서 4-3<a<3+4 ∴1<a<7 이때 a>4이므로4<a<7 y㉠ 예각삼각형이 되려면 a¤ <3¤ +4¤ , a¤ <25 이때 a>0이므로0<a<5 y㉡ 따라서 ㉠, ㉡에서 4<a<5

ㄱ. △ABC에서 ∠C>90˘이므로c¤ >a¤ +b¤

ㄴ. △ACH에서 ∠H=90˘이므로b¤ =x¤ +y¤

ㄷ. c¤ >b¤ =x¤ +y¤

ㄹ. △ABH에서 ∠H=90˘이므로

c¤ =(a+x)¤ +y¤ =a¤ +2ax+x¤ +y¤ >a¤ +x¤ +y¤

(2'3 )¤ +(2'6 )¤ =6¤이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이 가 6 cm인 직각삼각형이다.

∴ (넓이)= _2'3_2'6=6'2 (cm¤ )

△ABC에서BC”="√16¤ +12¤ =20 (cm)이고 AB”_AC”=BC”_AD”이므로

12_16=20_AD” ∴AD”= (cm)

BE” ¤ +CD” ¤ =DE” ¤ +BC” ¤이므로 10¤ +8¤ =DE” ¤ +12¤ , DE”” ¤ =20 그런데DE”>0이므로DE”=2'5

△DOC에서CD”="√3¤ +(2'3 )¤ ='2å1

∴ AD” ¤ + BC” ¤ =AB” ¤ + CD” ¤ =(2'5 )¤ +('2å1)¤ =41 AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤이므로

4¤ + CP” ¤ =5¤ +6¤ , CP”¤ =45 그런데CP”>0이므로CP”=3'5 S¡+S™=S£=;2!;_p_4¤ =8p(cm¤ )

∴ S¡+S™+S£=S£+S£=2S£=2_8p=16p(cm¤ )

△ABC에서AC”="√15¤ -10¤ =5'5 (cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=2△ABC

∴ (색칠한 부분의 넓이)=2_{;2!;_10_5'5}=50'5 (cm¤ ) 10

9 8 7 6

48 5 5

1 2 4

3 2 1

△ABH에서 AH”="√10¤ -8¤ =6 (cm)이므로

△AHC에서 CH”="√8¤ -6¤ =2'7 (cm)

△ABC에서AC”="√13¤ -5¤ =12 (cm)

△ACD에서CD”="√15¤ -12¤ =9 (cm)

∴ △ACD=;2!;_9_12=54 (cm¤ ) AB”=xcm라 하면

AC”='2xcm, DC”='3xcm, EC”='4x=2x(cm), FC”='5xcm, GC”='6xcm

즉, '6x=4'6이므로x=4 (cm)

∴ △CGF=;2!;_FC”_FG”

∴ △CGF=;2!;_4'5_4=8'5 (cm¤ )

오른쪽 그림과 같이A나무의 밑부분 을 C, 꼭대기를 F, B 나무의 밑부 분을 D, 꼭대기를 E라 하고 점E에 서 FC”에 내린 수선의발을H라 하면 F’H”=10-6=4 (m),

HE”=CD”=8 m이므로

△FHE에서

FE”="√8¤ +4¤ =4'5 (m)

따라서 새는 4'5 m를 날아가야 한다.

EFGH는 정사각형이므로EH”='4å5=3'5 (cm)

△AEH에서 AH”=øπ(3'5 )¤ -3¤ =6 (cm)

따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 6+3=9 (cm)이 므로 ABCD=9¤ =81 (cm¤ )

△ABC에서AB”="√5¤ -3¤ =4이므로 ADEB=4¤ =16

∴ BFMN= ADEB=16

② 8¤ +15¤ =17¤

④ 1¤ +('2 )¤ =('3 )¤

7 6 5

C 10 m

8 m 6 m D E H

4 F

3 2 1

(14)

직각삼각형의 나머지 한 변의 길이를 xcm라 하면

⁄ xcm가 가장 긴 변의 길이일 때, x ="√4¤ +3¤ =5 (cm)

¤ 4 cm가 가장 긴 변의 길이일 때, x ="√4¤ -3¤ ='7 (cm)

따라서⁄,¤에서 나머지 한 변의 길이가 될 수 있는 것은 '7cm또는5 cm이다.

②c가 가장 긴 변의 길이라는 조건이 없으면 예각삼각형이

아닐 수도 있다.

② a=14, b=8, c=7일 때, 7¤ <14¤ +8¤에서

∠C<90˘이지만 14¤ >7¤ +8¤이므로

∠A>90˘(둔각삼각형) 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서 6-5<b<5+6 ∴1<b<11 이때b>6이므로6<b<11 y㉠

∠B>90˘이므로 둔각삼각형이 되려면 b¤ >6¤ +5¤ , b¤ >61

이때b>0이므로b>'ß61 y㉡

따라서 ㉠, ㉡에서'ß61<b<11이고, 이를 만족하는 자연수 b의 값은8, 9, 10이므로 구하는 합은

8+9+10=27

AB” ¤ =BD”_BC”이므로x¤ =5_(5+4)=45 그런데x>0이므로x=3'5

AC” ¤ =CD”_BC”이므로y¤ =4_(5+4)=36 그런데y>0이므로y=6

두 점D, E는 각각 AC”, BC”의 중점이므로 삼각형의 두 변 의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

DE”= AB”= _10=5

∴AE” ¤ +BD” ¤ =DE” ¤ +AB” ¤ =5¤ +10¤ =125

AD”는 ∠A의 이등분선이므로 삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의해AB” : AC”=BD” : CD”

따라서AC”=xcm라 하면

AB” :x=4 : 2이므로AB”=2x (cm)

△ABC에서(4+2)¤ +x¤ =(2x)¤ , x¤ =12 그런데x>0이므로x=2'3 (cm)

△AOD에서AD”="√3¤ +4¤ =5 (cm)이고 AB” ¤ + CD” ¤ =AD” ¤ + BC” ¤이므로

7¤ +8¤ =5¤ +BC” ¤ , BC” ¤ =88

그런데BC”>0이므로BC”=2'ß22 (cm) 14

13

1 2 1

2 12

11 10

7 A 8

B 14 C

9

8 ^△BCD에서

BD”="√(4'2)¤ +(4'2)¤ =8 BP”=x라 하면 DP”=8-x이고 AP” ¤ + CP” ¤ =BP” ¤ + DP” ¤이므로 (2'5 )¤ +(2'5 )¤ =x¤ +(8-x)¤

x¤ -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0

∴x=2 또는x=6

따라서BP”=2, DP”=6 또는BP”=6, DP”=2이므로 BP”_DP”=12

_p_{ }¤ =p이므로AB” ¤ =8 그런데AB”>0이므로AB”=2'2 (cm) 이때BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 4p-p=3p(cm¤ )이므로

_p_{ }¤ =3p, BC” ¤ =24 그런데BC”>0이므로BC”=2'6 (cm)

∴ △ABC= _2'2_2'6=4'3 (cm¤ )

AQ”=AD”=10이므로

△ABQ에서 BQ”="√10¤ -8¤ =6

QC”=BC”-BQ”=10-6=4 PQ”=x라 하면 PD””=x이므로 PC”=8-x

따라서 △PQC에서 4¤ +(8-x)¤ =x¤

∴x=5

AC” ¤ +BC” ¤ =(n¤ -1)¤ +(2n)¤

=n› -2n¤ +1+4n¤

=n› +2n¤ +1

=(n¤ +1)¤

=AB” ¤ y ⁄

따라서 △ABC는 ∠C=90˘인 직각삼각형이다. y ¤

△ABC에서BC”="√8¤ +6¤ =10 (cm)이므로

MC”=;2!;BC”=;2!;_10=5 (cm) y ⁄ AC”¤ =CH”_BC”이므로

6¤ =CH”_10 ∴CH”=18(cm) y ¤ 5

19 18

A D

B 8

6 4

10

x x 8-x

C P Q

17

1 2 BC”

2 1

2

AB”

2 1

16 2 15

⁄ AC” ¤ +BC”¤ =AB” ¤임을 설명하기 채점 기준

¤ △ABC가 ∠C=90˘인 직각삼각형임을 알기

60%

배점

40%

(15)

개 념 편

⑴'∂11cm ⑵5'∂11cm¤

⑴ B’H”=;2!;BC”=;2!;_10=5 (cm)

⑴ 따라서 △ABH에서 AH”="√6¤ -5¤ ='ß11(cm)

⑵ (△ABC의 넓이)=;2!;_10_'ß11=5'ß11(cm¤ ) 필수`예제4

P. 48

01 평면에서의 활용

⑴10 ⑵3'2

⑴ (대각선의 길이)="√8¤ +6¤ =10

⑵ (대각선의 길이)="√3¤ +3¤ =3'2 9'3cm¤

(세로의 길이)="√6¤ -3¤ =3'3 (cm)이므로 (넓이)=3_3'3=9'3 (cm¤ )

5'2cm

정사각형의 한 변의 길이를 acm라 하면 대각선의 길이가 10 cm이므로

[방법1] "√a¤ +a¤ =10, 2a¤ =100, a¤ =50 그런데a>0이므로a=5'2(cm) [방법2] '2a=10 ∴ a= =5'2(cm)

;;¡5™;;cm

△ABD에서BD”="√3¤ +4¤ =5 (cm) AB”_AD”=BD”_AH”이므로

3_4=5_A’H” ∴A’H”=;;¡5™;;(cm) 2

필수`예제

10 '2 1

유제 필수`예제1 개념확인

2 피타고라스 정리의 활용

P. 46 6cm

AC”=xcm라 하면

BC”=24-10-x=14-x (cm)

△ACB는 ∠ACB=90˘인 직각삼각형이어야 하므로 x¤ +(14-x)¤ =10¤ , x¤ -14x+48=0

(x-6)(x-8)=0 ∴ x=6 또는x=8 그런데AC”<BC”이므로x=AC”=6(cm) 답

∴ MH”=MC”-CH”=5- =7 (cm) y ‹ 5

18 5

P. 45 시험에 나오는 스토리텔링

⁄ BC”, MC””의 길이 구하기 채점 기준

¤ CH”의 길이 구하기

‹ MH”의 길이 구하기

40%

배점

40%

20%

⑴3'3cm ⑵9'3cm¤

⑴ (△ABC의 높이)= _6=3'3(cm)

⑵ (△ABC의 넓이)= _6¤ =9'3(cm¤ ) 4'3 cm

정삼각형의 한 변의 길이를 acm라 하면 a=6

∴ a=4'3 (cm) 4 cm, 2'3 cm

정삼각형의 한 변의 길이를 acm라 하면 a¤ =4'3, a¤ =16

그런데a>0이므로a=4 (cm)

∴ (높이)= a= _4=2'3 (cm) 8'3 cm¤

AC”를 그으면AB”=BC”이고 ∠B=60˘이므로

△ABC는 정삼각형이다.

∴ (마름모의 넓이)=2△ABC

=2_{ _4¤}=8'3 (cm¤ ) [다른 풀이]

AC”, BD”를 그으면

△ABC는 정삼각형이므로AC”=4 cm BD”=2_{ _4}=4'3 (cm)

∴ (마름모의 넓이)

∴=;2!;_(한 대각선의 길이)_(다른 대각선의 길이)

∴=;2!;_4_4'3

∴=8'3 (cm¤ ) '3

2

'3 4 유제4

'3 2 '3

2 '3

4 유제3

'3 2 2 유제

'3 4 '3

2 3

필수`예제

P. 47

(16)

1 ^{15 cm} 2 ^6p

3 ⑴4'3 cm,16'3 cm¤ ⑵'ß39 cm,5'ß39 cm¤

3 ⑶ cm, cm¤

4 1 5 ⑴2'3 cm ⑵3'3cm¤ 6 216'3 cm¤

15'7 4 3'7

2

가로와 세로의 길이를 각각'3k, k(k>0)라 하면 ('3k)¤ +k¤ =(10'3 )¤ , 4k¤ =300, k¤ =75 그런데k>0이므로k=5'3 (cm)

∴ (가로의 길이)='3k='3_5'3 =15 (cm)

원O의 반지름의 길이를r라 하면 (3'2 )¤ +(3'2 )¤ =(2r)¤ , r¤ =9 그런데r>0이므로r=3

∴ (원O의 둘레의 길이)=2p_3=6p

⑴AH”= _8=4'3 (cm) (넓이)= _8¤ =16'3 (cm¤ )

⑵AH”="√8¤ -5¤ ='ß39 (cm) (넓이)= _10_'ß39

=5'ß39 (cm¤ )

⑶BH”=xcm라 하면 CH”=(5-x)cm이므로 AH” ¤ =4¤ -x¤ =6¤ -(5-x)¤

⑶10x=5

⑶∴ x= (cm)

⑶∴ AH”=æ≠4¤ -{ }

2

= (cm),

⑶ ∴(넓이)= _5_ = (cm¤ )

AD”= _2'3=3이고

점G는 △ABC의 무게중심이므로 GD”= AD”= _3=1

⑴AD”= _4=2'3(cm)

⑵ △ADE= _(2'3 )¤ =3'3 (cm¤ )

오른쪽 그림과 같이 정육각형은 한 변의 길이가12 cm인 정삼각형 6개로 나누어 지므로

(정육각형의 넓이)=6_{ _12¤}

=216'3 (cm¤ ) '3

4

12 cm

6

'3 4 '3 5 2

1 3 1

3 '3 4 2

15'7 4 3'7

2 1

2

3'7 2 1 2 1

2 ^{5 cm}

4 cm 6 cm

B H

A

(5-x)cm C xcm

1

2 ^{8 cm} ^{8 cm}

5cm 5cm A

B H C

'3 4 '3 3 2

2 12'7cm¤ 1

오른쪽 그림과 같이 세 변의 길 이가 각각8 cm, 8 cm, 12 cm 인 삼각형ABC의 꼭짓점A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H 라 하면

BH”= BC”= _12=6 (cm)

△ABH에서AH”="√8¤ -6¤ =2'7 (cm)

∴ △ABC= _12_2'7=12'7 (cm¤ ) (높이)=2'6cm,(넓이)=6'6cm¤

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하자.

B’H”=xcm라 하면 CH”=(6-x)cm이므로 A’H” ¤=5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤

12x=12 ∴x=1(cm) 따라서 △ABH에서 (높이)="√5¤ -1¤ =2'6(cm), (넓이)=;2!;_6_2'6=6'6(cm¤ )

84cm¤

오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이 가 각각 13 cm, 14 cm, 15 cm 인 삼각형ABC의 꼭짓점A에서 BC”에 내린 수선의 발을H라 하자.

B’H”=xcm라 하면 CH”=(14-x)cm이므로 A’H” ¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤

28x=140 ∴x=5 (cm) 따라서 △ABH에서

AH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)이므로

△ABC=;2!;_14_12=84 (cm¤ )

(14-x)cm xcm

13 cm A

B H C

15 cm

14 cm 유제6

(6-x)cm A

C B

xcm 5 cm

6 cm 7 cm

H 필수`예제5

1 2 1 2 1 2

A

B H C

8 cm 6 cm

8 cm

12 cm 유제5

(17)

개 념 편

1, 3

AB”="√(x-2)¤ +(3-6)¤ ='ß10이므로

"√x¤ -4x+4+9='1å0

x¤ -4x+13=10, x¤ -4x+3=0 (x-1)(x-3)=0

∴ x=1또는x=3 따라서x의 값은 1, 3이다.

⑴AB”=2'5, BC”=2'∂10, CA”=2'5

⑵ ∠A=90˘인 직각이등변삼각형

⑶10

⑴ AB”="√(-3-1)¤ +(0-2)¤ ='2å0=2'5

BC”="√(3+3)¤ +(-2-0)¤ ='4å0=2'ß10

CA”="√(3-1)¤ +(-2-2)¤ ='2å0=2'5

⑵ AB”=CA”이고

BC” ¤ =A’B” ¤ +C’A” ¤이므로

△ABC는 ∠A=90˘인 직각이등변삼각형이다.

⑶ △ABC=;2!;_AB”_AC”

=;2!;_2'5_2'5=10 둔각삼각형

AB”="√(-2+3)¤ +(1-5)¤ ='∂17

BC”="√(4+2)¤ +(-3-1)¤ =2'∂13

CA”="√(4+3)¤ +(-3-5)¤ ='∂113

따라서CA” ¤ >AB” ¤ +BC” ¤이므로

△ABC는 둔각삼각형이다.

유제10

x y

A(1, 2) B(-3, 0)

C(3, -2) O

2

2 4

-2 -2 8

필수`예제 유제9

⑴5 ⑵'∂65

⑴ OP”="√3¤ +4¤ =5

⑵ PQ”="√{5-(-2√)}¤ +{3-(-1)}¤ ='ß65

④

① "√(-1)¤ +2¤ ='5 ② "√1¤ +2¤ ='5

③ "√(-3)¤ +0¤ ='9=3 ④ "√0¤ +6¤ ='3å6=6

⑤ "√3¤ +(-1)¤ ='1å0 필수`예제7

개념확인

P. 51

⑴2 ⑵6

⑴ BC” : AB”=1 :'2이므로 x:2'2=1:'2 ∴x=2

⑵ AC” : AB”='3: 2이므로 3'3 :x='3 :2 ∴x=6

x=3, y=3'2

△ABD에서x:6=1: 2 ∴x=3

△ADC에서 3:y=1:'2 ∴y=3'2

⑴ ⑵18

⑴ △ADC에서x:4'2=1:'2 ∴x=4

△ABD에서y:4=1 :'3 ∴y=

∴ xy=4_ =

⑵ △ABC에서x:4'3='3 :2 ∴x=6

△BCD에서y:6=1: 2 ∴y=3

∴ xy=6_3=18 (9+3'6 )cm

△ABC에서

AB” : 6=1 : 2 ∴AB”=3 (cm) AC” : 6='3 : 2 ∴ AC”=3'3 (cm)

△ACD에서

CD” : 3'3=1 :'2 ∴CD”= (cm) : AD”=1 : 1 ∴ AD”= (cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는

AB”+ BC”+ CD”+ D’A”=3+6+ +

=9+3'6 (cm) 3'6

2 3'6

2

3'6 2 8

유제

16'3 3 4'3

3

4'3 3 16'3

7 3 유제

6 필수`예제 개념확인

P. 50

⑴ (1, -2) ⑵ '5å8 ⑶ '5å8

⑴ 점A와x축에 대하여 대칭인 점

⑴ A'의 좌표는(1, -2)이다.

⑵ A’'B”="√(4-1)¤√+(5+2)¤

='5å8

⑶ AP”=A’'P”이므로 AP”+ BP”=A’'P”+BP”

æA’'B”='5å8

⑶ 따라서AP”+ BP”의 최솟값은'5å8이다.

A' P' A O

B

x y

6 4 2

-2

2 P4 6 개념확인

P. 52

개념편

개 념 편

개념편

1 대푯값과 산포도 01 대푯값

02 산포도

개 념 편

개 념 편

개 념 편

개 념 편

개념편

01 피타고라스 정리`⑴

1 피타고라스 정리

개 념 편

02 피타고라스 정리`⑵

개 념 편

개 념 편

01 평면에서의 활용

2 피타고라스 정리의 활용

개 념 편

1 ^{대푯값과 산포도} ⁰¹ ^대푯값

01 ^{피타고라스 정리`⑴}

1 ^{피타고라스 정리}

02 ^{피타고라스 정리`⑵}