1.
1) 다음은 ≧ 인 자연수 에 대하여 부등식
이 성립함을 증명하는 과정이다.<증명>
(i)
…
≧
가 (∵ ≧ ) (ii)
…
나 ⋯
…
그런데 ․․ ⋯ ≧ 이므로
≦
∴
… 다
(i), (ii)에 의하여 ≧ 인 자연수 에 대하여 부등식
이 성립한다.위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열 하면?
[3점][2004년 3월]
①
,
,
②
,
,
③
,
,
④
,
,
⑤
,
,
2.
2 ) 자연수에 대하여 등식 이 성립함을 다음과 같이 증명하였다.
<증명>
은 집합 ⋯n 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 인 부분집합의 개수이다. 이것을 다른 방법으로 세어보자.
(ⅰ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 가
이고 원소의 개수가 인 부분집합의 개수는
이다.
(ⅱ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 나
이고 원소의 개수가 인 부분집합의 개수는
이다.
(ⅲ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 다
이고 원소의 개수가 인 부분집합의 개수는
이다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여
이 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
[4점][2004년 6월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
단원 : 경우의 수 (수식형)
3.
3) 다음은 이 자연수일 때 등식
이 성립함을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.
(증명)
(ⅰ) 일 때,
이므로주어진 등식은 성립한다.
(ⅱ) ≧ 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
이므로
그런데,
가
나
이므로
ⅰ과 ⅱ에서 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 식을 순서대로 적은 것은?
[3점][2004년 10월]
①
, ②
, ③
, ④
,
4.
다음은서로 다른
개에서
개를 선택하는 조합의 수
C(
≦ )에 대한 어떤 성질을 설명하는 과정이다.
서로 다른
개를 , , , …,
이라 하자.
(ⅰ)
을 포함하여
개를 선택하는 조합의 수는
(가)이다.
를 포함하여
개를 선택하는 조합의 수는
(가)이다.
을 포함하여
개를 선택하는 조합의 수는
(가)이다.
⋮
을 포함하여
개를 선택하는 조합의 수는
(가)이다.
이상을 모두 합하면
× (가)이다.……㉠
(ⅱ)
그런데 위의 ㉠에 있는 조합의 수 중에는 , , , …,
의
개로 구성된 하나의 조합이
(나)번 반복되어 계 산되었다.
(중략)
(ⅰ), (ⅱ)로부터 서로 다른
개에서
개를 선택하는 조합의 수
C는
Cr (다) × C
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 4)
[3점][2005년 10월]
(가) (나) (다)
① C
② C
③ C
④ C
⑤ C
5.
≧ 인 모든 자연수 에 대하여 집합 을 ⋯ 이라 하자. 집합 의 부분집합 중 원소가 개인 각 부분집합에서 작은 원소를 뽑아 그 원소들의 평균을 이 라 하자. 다음은
임을 수학적귀납법으로 증명한 것이 다.
<증명>
(1) 일 때, 의 원소가 개인 부분집합은 자신뿐이므로
이다.
(2) ≧ 일 때 성립한다고 가정하면
이다.
⋯ 의 부분집합 중 원소가 개인 모든 부분집합은, 의 부분집합 중 원소가 개인 모든 부분집합에 개의 집합
, , ⋯,
을 추가한 것이다. 의 부분집합 중 원소가 개인 부분집합의 개수는 (가) 이므로
C
나 ⋯
이다.
그러므로 (1), (2)에 의하여 ≧ 인 모든 자연수 에 대하여
이다.
위 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? 5)
[4점][2007년 9월]
(가) (나)
① C C⋅ k
② C C⋅ k
③ C C⋅
k
④ C C⋅
k
⑤ C C⋅
k
6.
다음은 등식 CC C 을 이용하여 ⋯ ( ⋯) 을 증명한 것이다.
<증명>
이상인 자연수 에 대하여
가 ․C로 나타낼 수 있으므로
⋯
C C ․C C ․C ⋯ C ⋅ 나
CCC⋯C CC⋯ 나
C ⋅ 다
위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 6)
[3점][2007년 10월]
(가) (나) (다)
① C C C
② C C C
③ C C C
④ C C C
⑤ C C C
7.
다음은 등식
가 성립함을 증명한 것이다.
[증명]
⋯
⋅
⋅
(가)
(나) (다)
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 7)
[3점][2009년 10월]
(가) (나) (다)
①
C C
②
C C
③
C C
④
C C
⑤
C C
8.
다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
Ck
Ck
가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
[ 보 기 ] (1) 일 때,
(좌변)=
C
C
C
C
, (우변)
이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) 일 때, 등식
C
C
가 성립한다고 가정하자.
일 때,
CC ㈎
CCk k 이다.자연수 에 대하여
C ㈏ ⋅C ≤ ≤ 이므로
CC ㈐
CC이다.따라서
C
C
㈎ ㈐ ×
Ck
Ck
이다.
그러므로 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?8)
[3점][2010학년도 수능]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
9.
P C 이 성립하는 모든 의 값의 합은? 9) [점][2008년 7월]① ② ③ ④ ⑤
10.
등식 ×를 만족시키는 자연수 의 값을 구하시 오.10)[3점][2010년 9월]
11.
등식 × ×를 만족시키는 자연수 의 값을 구하 시오. 1 1)[점][2011학년도 수능]
12.
수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이 C ( ⋯ ) 일 때,
의 값을 구하시오. 1 2)
[3점][2011년 3월]
13.
13) 등식 PC 을 만족시키는 자연수 의 값은?[3점][2016년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
1) ⑤
[출제의도] 이항정리를 이용하여 부등식을 증명할 수 있다.
(i)
…
≧
(∵ ≧ )
(ii)
…
⋯
⋯
…
․․ … ․ ≧ 이므로
≦
…
(i), (ii)에 의하여 ≧ 인 자연수 에 대하여 부등식
이 성립한다.2) ③
은 집합 ⋯n 의 부분집합 중에서 원소의 개수가
인 부분집합의 개수이다.
이것을 다른 방법으로 세어보자.
(ⅰ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 이고 원소의 개수가 인 부분집합은 가장 큰 원소 을 제외한 나머지 개의 집합에서 개를 뽑은 다음 을 넣으면 되므로 그 개수는 과 같다.
(ⅱ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 이고 원소의 개수가 인 부분집합은 가장 큰 원소 를 제외한 나머지
개의 집합에서 개를 뽑은 다음 를 넣으면 되므로 그 개수는
과 같다.
(ⅲ) 집합의 부분집합 중에서, 가장 큰 원소가 이고 원소의 개수가 인 부분집합은 가장 큰 원소 을 제외한 나머지
개의 집합에서 개를 뽑은 다음 을 넣으면 되므로 그 개수는
과 같다.
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에
의하여
이 성립한다.
, 이다.4) ④
(가): C , , (나):, (다):
5) ②
(1) 일 때, 의 원소가 2개인 부분집합은 자신뿐이므로
이다.
(2) ≧ 일 때 성립한다고 가정하면
이다.
⋯ k k 의 부분집합 중 원소가 2개인 모든
부분집합은,의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합에개의 집합
k , k ,⋯,k k 을 추가한 것이다.
⋯ 의 부분집합 중 원소가 개인 부분집합의 개수는C 이므로C개의 각 부분집합에서 그 원소들의 총합은
C∙ akkC∙ k 이다.
∴
C
C
k ⋯ k
6) ②
C ․C로 나타낼 수 있으므로
⋯
C C ․C ⋯ C ․ C )
CCC⋯C) CC⋯ C )
C ․ C
7) ⑤
,
⋯
C,CC⋯ C C 8) ②
C
C
C
C
CC
CC 따라서 (가)에 들어갈 수는 이다.
C ×
× ×
×C 따라서 (나)에 들어갈 식은
이다.
×
C
×
따라서 (다)에 들어갈 식은
이다.
9) ①
P C
P C
∴ 값의 합은 10) 8
× 에서
×
∴ 11)
× ×
× ×
× × 이므로
×
∵ ≥
∴
12) 65
C
이다.
일 때, 이고
≥ 일 때,
이므로
≥ 일 때,
이다.
∴
⋯
[다른 풀이]
CCC
은 자연수이므로
