1.
1) 다음은 두 자연수과 ＜ 에 대하여 ⋯ 의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.
는이 아닌 실수라 하자.
은 다항식 에서의 계수이다.
은 다항식 에서의 계수이다.
⋮
은 다항식 에서의 계수이다.
따라서
⋯ 은 다항식 가 에서 의 계수이다.
그러므로
⋯ 나
이다.
위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
[4점][2004년 6월]
(가) (나)
①
②
③
④
⑤
2.
다음 중
의 전개식에서 의 계수와 같은 것은? 2)[3점][2005년 7월]
① ×Ｃ ② ×Ｃ ③ ×Ｃ
④ ×Ｃ ⑤ ×Ｃ
3.
다항식 의 전개식에서 의 계수는? 3)[3점][2005년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
자연수 에 대하여
CkCkC⋯kCk 일 때, 의 값을 구하시오. 4)
[4점][2005년 9월]
단원 : 경우의 수 (이항정리)
5.
다음을 이용하여 C C C… C을 간 단히 하면? 5)[4점][2005년 10월]
Ⅰ.
Ⅱ. CC (은 자연수, 는 정수, ≦ ≦ )
① ② P ③ C
④ P ⑤ C
6.
6) 다항식 의 전개식에서 의 계수와 다항식 의 전개식에서 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 에 대하여 의 최댓값을 구하시오.
(단, 는 자연수이고, 은 ≥ 인 자연수이다.)
[4점][2006학년도 수능]
7.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오. 7)[3점][2006년 6월]
8.
다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계 수를 구하시오. (단, 는 상수이다.) 8)[4점][2006년 9월]
9.
을 전개한 식에서 항의 계수는? 9)
[4점][2006년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
10.
다항식 의 전개식에서 의 계수와 상수항의 합이 일 때, 양의 상수 의 값은?10)[3점][2007학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
11.
, 에 대한 식
을 전개할 때, 의 계수를 구하시 오. 11 )[3점][2007년 4월]
12.
logCCC ⋯ C의 값을 구하시오.12) [3점][2007년 5월]13.
다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 값을 구하시오. 13 )[3점][2007년 6월]
14.
그림과 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다.어두운 부분의 모든 수들의 합은? 14)
[점][2007년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
15.
다항식 의 전개식에서 의 계수가 의 계수의 배일 때, 양의 상수 의 값을 구하시오. 1 5)
[3점][2007년 9월]
16.
logCC…C의 값은? 16)[3점][2007년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
17.
의 전개식에서 의 계수는?17 )[3점][2008학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
18.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.18)[3점][2008년 3월]
19.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.19)[3점][2008년 5월]
20.
다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.20)
[3점][2008년 9월]
21.
의 전개식에서 상수항이 존재하도록 하는 모든 자 연수 의 값의 합은? 21)[3점][2008년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
22.
의 전개식에서 의 계수는?22)
[4점][2009학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
23.
다음은 이 소수일 때, C 는 의 배수임을 증명한 것이다.<증명>
C에서 (가) 의 계수는 C이다.
한편
C
C
에서 (가) 의 계수는
C․ (나) 이다.따라서 CCCC ⋯ C이다.
그런데 이 소수이므로 (다) 인 자연수 에 대하여
C는 의 배수이다.
따라서 (다) 인 자연수 에 대하여 C은 의 배 수이고 CC 이므로 C 는 의 배수이다.
위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 2 3)
[3점][2008년 10월]
(가) (나) (다)
① C ≦ ≦
② C ≦ ≦
③ C ≦ ≦
④ C ≦ ≦
⑤ C ≦ ≦
24.
의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수를 구하시오. (단, 은 자연수이다.)24)[3점][2009년 3월]
25.
다음은 이 이상의 자연수일 때
의 값을 구하 는 과정이다.두 다항식의 곱
⋯ ⋯ 에서
의 계수는 ⋯ ⋯ ＊이다.
등식 의 좌변에서 의 계수는 (가) 이고, ＊을 이용하여 우변에서 의 계수를 구하면
× (나) )이다.
따라서 (가)
× (나) ) 이다.한편 ≦ ≦ 일 때, × × 이므로
× × (나) ) ×
× (나) ) (다) 이다.
[ 증 명 ]
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 25)
[4점][2009년 6월]
(가) (나) (다)
①
×
②
×
③
×
④ ×
⑤ ×
26.
이하의 자연수 중에서
의 값이 의 배수가 되도록 하는 의 개수를 구하시오. 26)
[4점][2009년 6월]
27.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오. 27)[3점][2009년 10월]
28.
28)
의 전개식에서 어떤 자연수 에 대하여
의 항 이 존재한다. 이 최소일 때,
의 계수는?
[4점][2009년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
29.
다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 자연수의 값을 구하시오.29)
[3점][2010학년도 수능]
30.
의 전개식에서 세 항 , , 의 계수가 이 순서 로 등비수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단, ≠ ) 30)[3점][2010년 3월]
①
②
③
④
⑤
31.
C
의 값을 구하시오. 31)[3점][2010년 4월]
32.
⋯ 의 전개식에서 의 계수 를 구하시오. 32)[4점][2010년 4월]
33.
CCCCCC의 값은? 33)[점][2010년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
34.
의 전개식에서 상수항을 구하시오. 34)[3점][2010년 6월]
35.
의 전개식에서 상수항을 구하시오. 35)[점][2010년 7월]
36.
다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오. 36 )[3점][2010년 10월]
37.
37) 수열 에 대하여
C 이다.
∞
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로 소인 자연수이다.)
[3점][2010년 11월]
38.
38)
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2010년 11월]
39.
의 전개식에서 의 계수는? 39)[3점][2011년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
40.
다항식 의 전개식에서 의 계수와 의 계수가 같 을 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 양수이다.) 40 )[4점][2011년 9월]
41.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.41)[3점][2011년 10월]
42.
가 소수일 때,
의 에 대한 전개식에서 상수항이이다. 두 수 , 의 곱 의 값을 구하시오.42) (단, 은 자연 수이다.)
[4점][2011년 10월]
43.
다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 의 계수는?43)(단, 는 상수이다.)[3점][2012학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
44.
44) 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구 하시오.[4점][2012년 5월]
45.
다항식 의 전개식에서 의 계수는?45)[2점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
46.
46)
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[점][2012년 7월]
47.
47) 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수의 값을 구하시오.
[3점][2012년 9월]
48.
48) 다항식 의 전개식에서 의 계수는?[3점][2012년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
49.
49)
의 전개식에서 상수항을 구하시오.[점][2013년 7월]
50.
50) 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[점][2013년 7월]
51.
51) 이 이상의 자연수일 때, 에 대한 다항식
의전개식에서 의 계수를 이라 하자. lim
→∞
의 값을 구하시오.
[4점][2013년 9월]
52.
52)
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2013년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
53.
53) CCCCCC의 값을 구하시오.[3점][2013년 10월]
54.
54)
의 전개식에서 상수항이 일 때, 양수 의 값을 구하시오.[3점][2014년 6월]
55.
55) 다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2014년 7월]
56.
56) 다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2014년 10월]
57.
57) 다항식 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 양수 의 값은?[3점][2015학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
58.
58) 다항식 의 전개식에서 의 계수는?[3점][2015년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
59.
59) 다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2016년 4월]
60.
60)
의 전개식에서 의 계수는?[3점][2016년 6월]
①
②
③
④
⑤
61.
61) 의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[3점][2016년 7월]
1) ①
…
…㉠
이므로 … 은 ㉠의 의 계수이다.
즉, 분자의 식에서 의 전개식에서 의 계수이므로
… 2) ②
전개식의 일반항은
C
C․ ․ 이때, 에서 이므로
의 계수는 ×C이다.
3) ⑤
Ｃ이므로
의 전개식에서 의 계수는 일 때이므로 Ｃ×
의 전개식에서 의 계수는 일 때이므로 Ｃ×
따라서 의 전개식에서 의 계수는
4)
… …
․
∴
․ ․ ․ 5) ③
의 전개식에서 의 계수는 C이므로
에서 의 계수는
C CC C C C ⋯C C C CC CC C⋯C C C C C⋯ C
의 전개식에서 의 계수는 C ∴C C C⋯ C C ∴C C C⋯ C C
6)
의 전개식에서 의 계수는
의 전개식에서
따라서 구하는 의 최댓값은 이다.
7) 135
⋅⋅ 따라서 은 일 때이므로 구하는 계수는
⋅ ․ 이다.
8)
의 전개식에서 일반항은
( ⋯) 이므로 의 계수는 이다.
의 계수는 이므로 에서 따라서, 의 계수는 ⋅
9) ②
의 일반항은 C
C 이므로 에서
일 때, 를 만족하는 정수 의 값이 존재하지 않으므로
항은 존재하지 않는다.
일 때, 를 만족하는 의 값은 각각 이므로,
항의 계수는
CCC 이다.
10) ⑤
C 이므로
의 계수는 에서 C ⋯⋯ ㉠ 상수항은 에서 C ⋯⋯ ㉡
,
∴ (∵ 는 양수) 11) 135
와
의 의 계수는 같다.
의 전개식의 일반항은C
C 이고, 일 때, 의 계수는 C 이다.
12)
C n n × n
∴
14) ③ 어두운 부분의 합은
(별해) ⋯
⋯ 이므로
⋯
⋯ 이므로
⋯ 따라서 어두운 부분의 합은
15) 20
의 전개식에서
의 계수는C∙ a a
의 계수는C∙ a a
의 계수가의 계수의 배이므로
×
∴ ∵ ＞
16) ⑤
… 이므로
…
∴ log… log
17) ⑤
의 전개식에서 일반항은C
C⋅ ⋯ ∴
의 계수는 C⋅
18)
의 전개식의 일반항은C
C×× × 이므로 에서
따라서 의 계수는 C× ×
19) 10
⋅⋅ ×⋅⋅
⋅⋅ ×⋅⋅
21) ⑤
C C ( ≦ ≦ )
이때, , 을 만족하는 순서쌍 은
이다.
따라서 의 값들의 합은 이다.
22) ②
의 전개식에서 일반항은C⋅ ⋅
C⋅
의 항은 에서 일 때이므로
의 계수는 C
23) ②
(가) (나) C (다) ≦ ≦ 24)
C 이므로 의 계수는 C 이다.
∴ C
×
에서 이므로 의 계수는
C × ×
× ×
25) ③
에서 의 계수는 이고
을 이용하여 의 계수를 구하면
×
이다.따라서
× 이다.한편, ≦ ≦ 일 때, × × 이므로
× × ×
×
×
×은 다음과 같이 설명할 수 있다.
집합 ··· 에서 개의 수를 뽑는 경우의 수는 이다.
이것을 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
① 을 반드시 포함하는 경우의 수는 을 미리 뽑았으므로 나머지
개의 수에서 개의 수를 더 뽑으면 되기 때문에 ② 를 포함해서 개의 수를 뽑는 경우의 수는
③ 을 포함해서 개의 수를 뽑는 경우의 수는 그런데 각각의 수는 모두 가지 경우에 중복되게 계산되었으므로 위 경우의 수의 합은 × ×
이것이 과 같아야 하므로 ×
∴
×
26)
⋯
∵ ⋯
이 의 배수이므로
⋯⋯ 일 때이다.
∴ 의 개수는 개이다.
27) 135
C
C 이므로의 계수는 C 이다.
28) ②
의 일반항은
항이 존재하기 위해서는 인 이 존재하여야 한다. 즉,
이다. 이 때, 이 최소가 되는 경우는 일 때이다.
따라서 계수는 이다.
29)
의 전개식의 일반항은 (단, ≤ ≤ )이므로
의 계수는
,
∴
30) ①
의 전개식에서 , , 의 계수는
C, C, C 즉, , , 이 순서로 등비수열을 이루므로
․
이므로 의 계수는
× × × ⋯ ×
따라서 의 계수는
×
×
× ×
이다.
33) ④
CCCCCC
C CC ⋯ CC C
34)
의 전개식의 일반항은
⋅ 이므로 일 때 상수항이다.
을 대입하면
35)
C×
C×
CC∴
36)
의 전개식에서 일반항은 C 이므로 의 계수는
C 이다.
37) 11
[출제의도] 이항정리를 이용하여 무한등비급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
C 에서
C 이다.∴
∞
∞
∞
∞
∴
38) 10
[출제의도] 이항정리를 이용하여 식을 전개할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 전개식에서 일반항은
40)
의 계수는 × 이고,
의 계수는 × 이다.
따라서 에서
(∵ )
∴
41)
C × ×
× ×
42)
[출제의도] 이항정리를 이용하여 전개식의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
C
C 에서 C
⋅
은 짝수이므로 대신에 , 를 대입하여 계산하면 성립하지 않고,
일 때,
C · · 이므로 이다.
∴ ·
43) ①
의 계수는 C이므로
C
∴
따라서, 이 계수는 C
⋅⋅
44)
에서 개의 문자에서 중복을 허용하여 개를 선택하는 경우의 수만큼 서로 다른 항이 존재하므로
마찬가지로 에서
∴ ×
45) ④
다항식 의 전개식의 일반항은
의 계수는
46) 60
C
C ∴
의 계수는 C
47) 12
48) ①
의 전개식에서 C C 이므로 의 계수는
일 때 C 49) 240
의 전개식의 일반항C
에서 상수항은 인 경우이므로C
50) 60
의 전개식의 일반항 C 에서
의 계수는 인 경우이므로
C
51)
⋅ ⋅
lim
→∞
lim
→∞
52) ⑤
의 전개식의 일반항은 C
C 에서
따라서 의 계수는 C 이다.
53)
CC CCCC 양변에 을 대입하면
CCCCCC
54) 3
의 전개식의 일반항은
상수항은 일 때 이므로 상수항은 ⋅
∴ ∵
55) 160
의 전개식에서 의 계수는 C·
56) 45
C ⋅ 따라서 의 계수는 C 이다.
