1.
1) 두 수열 , 에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?[4점][2004년 3월]
〈 보 기 〉 ㄱ.
∞
과
∞
이 수렴하면
∞
도 수렴한다.
ㄴ.
∞ 과
∞ 이 수렴하면 →∞lim
이다.ㄷ.
∞ 이 수렴하고,lim
→∞≠ 이면lim
→∞ 이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2.
무한등비수열
에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?2)[3점][2005학년도 수능]
[ 보 기 ] ㄱ. 무한등비급수
∞
이 수렴하면
∞
도 수렴한다.
ㄴ. 무한등비급수
∞이 발산하면
∞도 발산한다.ㄷ. 무한등비급수
∞이 수렴하면
∞
도 수렴한다.① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
3.
두 무한수열
,
에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, , 는 실수이고, 은 자연수이다.) 3)[4점][2005년 7월]
〈 보 기 〉 ㄱ. ＞이고
lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
이면 이다.
ㄴ. ＞이고
∞ ,
∞ 이면 ＞이다.ㄷ.
∞ ,
∞ 이고 ＞ 이면lim
→ ∞
＞
lim
→ ∞
이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
4.
세 수열
에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? 4)[3점][2006년 3월]
< 보 기 >
ㄱ. 두 수열
이 모두 수렴하면, 수열
은 수렴한다.ㄴ.
lim
→ ∞
이고
lim
→ ∞ 이면,
lim
→ ∞ 이다.
ㄷ. 이고
lim
→ ∞
이면, 수열
은 수렴한다.① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
단원 : 수열의 극한 (진위판정)
2
5.
두 무한수열
에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 5)[3점][2006년 5월]
<보 기>
ㄱ. 수열
이 수렴하고lim
→∞
이면lim
→∞
lim
→∞
ㄴ.
∞
,
∞
이고 이면
lim
→∞
lim
→∞
ㄷ. 수열
이 수렴하면lim
→∞
은 수렴한다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
6.
두 무한등비수열 an, bn에 대하여 <보기>에서 항상 옳 은 것을 모두 고른 것은? 6)[4점][2006년 6월]
<보 기>
ㄱ. 두 무한등비급수
∞,
∞이 수렴하면
∞
은 수렴한다.
ㄴ. 두 무한등비급수
∞,
∞이 발산하면lim
→∞
≠ 이다.
ㄷ. 두 무한등비급수
∞,
∞이 수렴하면
∞
은 수렴한다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
7.
두 무한급수
∞
∞ 이 모두 수렴할 때,<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 7)
[3점][2007년 3월]
< 보 기 >
ㄱ.
lim
→∞
ㄴ.
∞ 은 발산한다.ㄷ.
∞ 은 수렴한다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
8.
무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? 8)[점][2007년 7월]
<보 기>
ㄱ.
∞
,
lim
→∞
이면
lim
→∞
이다.
(단, 는 상수) ㄴ.
∞
과
∞
이 수렴하면
∞
과
∞이 수렴한다.ㄷ.
lim
→∞
이면
lim
→∞
또는
lim
→∞
이 수렴한다.
(단, 는 상수)
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
9.
무한수열
에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것 은? 9)[4점][2008년 4월]
보 기 ㄱ.
lim
→ ∞
이 수렴하면
lim
→ ∞
도 수렴한다.
ㄴ.
lim
→ ∞
이 수렴하면
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이다.
ㄷ. 무한급수
∞이 수렴하면
∞ 도 수렴한다.① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
10.
두 수열
,
에 대하여
․․․
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 10) [4점][2009년 3월]
<보 기>
ㄱ.
lim
→ ∞
ㄴ. 수열
이 수렴하면 수열
도 수렴한다.ㄷ.
∞ 이 수렴하면
∞ 도 수렴한다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.
첫째항과 공차가 같은 등차수열
에 대하여
라할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, )11)
[3점][2009년 9월]
ㄱ. 수열
이 수렴한다.ㄴ. 무한급수
∞ 이 수렴한다.ㄷ.
lim
→ ∞
이 존재한다.[ 보 기 ]
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
12.
두 무한수열
,
에 대하여lim
→∞
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 이 아닌 실수이다.)12 )
[3점][2010년 3월]
<보 기>
ㄱ.
lim
→∞
이면
lim
→∞
이다.
ㄴ. 이면
lim
→∞
이다.ㄷ.
lim
→∞
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
4
13.
두 무한수열
,
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?13)[4점][2010년 3월]
<보 기>
ㄱ.
∞
,
∞
이면
lim
→∞
lim
→∞
이다.
ㄴ. 두 무한급수
∞
,
∞
이 모두 수렴 하면 두 수열
,
도 모두 수렴한다.ㄷ. 두 수열
,
이 모두 수렴하면 두 수열
,
도 모두 수렴한다.① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
14.
두 수열
,
에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대 로 고른 것은? 14)[3점][2010년 4월]
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
15.
두 무한수열
,
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? 15)[4점][2011년 4월]
보 기 ㄱ. 수열
에서 일 때,
∞
은 발산한다.
ㄴ. 두 수열
,
이 각각 수렴하면,
∞
∞
∞
이다.
ㄷ. 수열
이 , ⋯
을 만족시킬 때,
∞
이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.
두 무한수열
,
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?16)[3점][2011년 10월]
< 보 기 >
ㄱ. 수열
,
이 모두 수렴하면 수열
도 수렴한다.ㄴ. 수열
,
이 모두 수렴하면 수열
도 수렴 한다.ㄷ. 모든 자연수 에 대하여 이고 수열
이 수렴하면 수열
도 수렴한다.① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ.
lim
→∞
이면lim
→∞
이다.
ㄴ.
lim
→∞
이면
lim
→∞
이다.
ㄷ. 수열
이 수렴하면 수열
은 각각 수렴한다.[ 보 기 ]
1) ②
[출제의도] 무한급수의 성질을 이해할 수 있다.
ㄱ.
∞ ,
∞ 라 하면
∞
∞
∞
∞ (수렴) ∴ 참 ㄴ.
∞ 이 수렴하므로 → ∞lim
,
∞ 이 수렴하므로 → ∞lim
lim
→ ∞
∴ 참
ㄷ. 반례: 수열
이 … 수열
이 … 이면
∞ (수렴)이지만
lim
→ ∞
≠ ,
lim
→ ∞
≠ 이다. ∴ 거짓 2) ③
무한등비수열
의 공비를 라고 하자.ㄱ. <참> 무한등비급수
∞이 수렴하면 이다.무한등비수열
의 공비는 이고 ≤ 이므로
∞
도 수렴한다.
ㄴ. <참> 무한등비급수
∞
이 발산하면
∞
도 발산한다.
ㄷ. <거짓> 무한등비급수
∞이 수렴하면
∞
도 수렴한다.3) ②
ㄱ. (반례)
,
이면 임의의 자연수 에 대하여 ＞이지만
lim
→∞
lim
→∞
ㄴ.
∞
∞
∞
lim
→ ∞
＞(∵임의의 자연수 에 대하여 ＞ ) ∴＞ (참)
∞ ∞
ㄴ.
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
(참) ㄷ. (반례)
이라 하면
이고,
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이지만 수열
은 발산한다. (거짓)따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.
5) ①
ㄱ. 두 수열
,
이 수렴하고lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
(참)
ㄴ. 수렴하는 무한급수의 일반항 에 대하여
lim
→∞
lim
→∞
(거짓)
ㄷ. (반례)
, 이라하면
lim
→∞
,
lim
→∞
․ 이지만
lim
→∞
이 수렴하는 것은 아니다.
(거짓) 옳은 것은 ㄱ 6) ④
무한등비수열
의 첫째항을 , 공비를 , 무한등비수열
의첫째항을 , 공비를 라 하면
,
ㄱ.
∞,
∞이 수렴하므로 , 에서 이므로
∞
(수렴) (참)
ㄴ. (반례) , 이라 하면
lim
→∞
≠ ,
lim
→∞
≠ 이므로
∞ ,
∞은 발산하지만
∴
lim
→∞
(거짓)
ㄷ.
∞,
∞이 수렴하므로 , ∴ , 따라서
∞,
∞이 수렴하고,
∞
∞
∞이므로
∞6 ㄴ.
이 수렴하므로lim
→∞ ∴
lim
→∞
따라서
∞은 발산한다. (참)ㄷ.
∞
∞ 이 모두 수렴하므로
∞
∞
∞
∞ 따라서
∞
은 수렴한다. (참)
8) ④
ㄱ.
∞
이 수렴이므로
lim
→∞
이고,
lim
→∞
(상수)이므로
lim
→∞
lim
→∞
×
lim
→∞
× (참) ㄴ.
∞
∞ ,
∞
∞
라 하면
에서
∞
∞
∞
∞ (참)ㄷ. (반례)
lim
→∞
이지만
lim
→∞
과
lim
→∞
은 모두 수렴하지 않는다. (거짓) 9) ②
ㄱ. (반례) 수열 ⋯에서
lim
→∞
으로 수렴하지만
lim
→∞
은 발산한다. (거짓) ㄴ.
lim
→∞
이 수렴하면
lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
lim
→∞
(참) ㄷ. (반례) 수열
⋯에서
∞ 으로 수렴하지만
∞ ∞이므로 발산한다. (거짓) 10) ②ㄱ.
lim
→∞
lim
→∞
이다. (참)ㄴ.
lim
→∞
라고 하면
에서
lim
→∞
lim
→∞
이다. (참)ㄷ.
∞
이 수렴하면
lim
→ ∞
이므로 ㄴ에 의해
lim
→ ∞
이다.
따라서
은 발산한다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.11) ⑤
(단, 는 첫째항이고 양수)
× ㄱ. 수열
lim
→∞
∞ 이므로 거짓
ㄴ. 무한급수
∞
∞
이므로
lim
→∞
⋯
따라서 수렴하므로 참.
ㄷ.
∴ ∞
∞꼴이므로 분모 분자를 최고차항 으로 나누어 정리하면 주어진 식은
lim
→ ∞
이므로 존재한다. 따라서 참.
12) ③ ㄱ.
lim
→∞
lim
→∞
․
(참)
ㄴ. (반례) , 이면 이지만
lim
→∞
이다. (거짓)
ㄷ.
으로 놓으면
∴
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
(참)
13) ①
ㄱ. 두 무한급수
∞
,
∞
이 모두 수렴하므로
lim
→∞
lim
→∞
이다. (거짓)
ㄴ. 두 무한급수
∞ ,
∞ 이 모두 수렴하므로lim
→∞
lim
→∞
이다.
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
따라서 두 수열
과
은 모두 수렴한다. (참) ㄷ. (반례) , 이면
,
이므로두 수열
,
이 모두 수렴하지만 수열
과
은 수렴하지 않는다. (거짓)ㄱ. ≤ ≤ 에서
lim
→∞
lim
→∞
이므로
lim
→∞
이다. (참)
ㄴ. 라 하면
lim
→∞
이고
이므로
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
× 이다. (참)
ㄷ. (반례) 에 대하여
lim
→∞
(수렴)이지만, 수열 은 각각 발산한다. (거짓) 15) ③
ㄱ.
∞
lim
→∞
∞
∴
∞은 발산 (참)ㄴ. (반례)
(거짓)
ㄷ. ,
이므로
,
, ⋯,
∴ × × ×··· ×
이므로
∞
∞
(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
16) ①
[출제의도] 무한수열의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
lim
→∞
lim
→∞
이라 하면
∴
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
(참) ㄴ. (반례)
이면lim
→∞
lim
→∞
이지만lim
→∞
lim
→∞
∞으로 발산한다. (거짓) ㄷ. (반례) 이면,
