단원 : 통계 (이항분포)

(1)

1.

¹⁾ 다음은 확률변수 가 이항분포 B  를 따를 때, 의 평균 이 E  임을 증명하는 과정이다.

(단, ！ ×  ×    × ⋯ ×  ×)

<증명>

확률 P   __^^{  }

(단,     ,     ⋯ )이므로 E _{  }



^ ^가





  



가

여기서,

___{  × }

 



  ×        

 

  나

이므로,

E _{  }



^ ^^{  }^^{  }^^^^{  }

 



  



  _{  }^{  }      

   다 ^{  }

 

따라서 확률변수 가 이항분포 B  를 따를 때,

의 평균은 E   이다.

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 들어가기에 알맞은 것은?

[3점][2004년 4월]

(가) (나) (다)

① P  _{  }_{  } _{  }

② P  _{  }_ _{  }

③ P  _{  }_{  } _{  }

④ P   __{  }   

⑤ P   _{  }_{  }   

2.

다음은 이항분포 B   를 이루는 확률변수 에 대하여 E  임을 증명한 것이다.

<증명>

E _{  }



^ ^가 ^․^^C^^^^^{  }^(단,^{    }⁾

 ․_C_ ^{  } ․_C_^^{  } ⋯  ․_C_^^{  } ⋯  ․_C_^에서 ․_C_ ․   

        

  나 이므로

․_{  }C_^{  } ․_{  }C_^^{  } ⋯  ․_{  }C_{  }^^{  } ⋯  ․_{  }C_{  }^  다



  C_^{  }_{  }C_^{  } ⋯

_{  }C_{  }^{  }^{  } ⋯ _{  }C_{  }^{  }



    ^{  } 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 2)

[3점][2005년 3월]

(가) (나) (다)

①  ․_{  }C_ 

② ^ ․_C_{  } 

③   ․_{  }C_{  } 

④ ^ ․_{  }C_{  } 

⑤  ․_{  }C_{  } 

단원 : 통계 (이항분포)

(2)

3.

확률변수 가 이항분포 B



^{ }





을 따를 때, 확률변수

 의 표준편차는?3)

[3점][2006학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

어떤 책을 임의로 펼쳤을 때, 그림이 나올 확률이 _



이라고 한 다. 이 책을 임의로 번 펼쳐 그림이 나오는 횟수를 라고 할 때, 의 분산을 구하시오. 4)

[3점][2006년 4월]

5.

이산확률변수 가 값 를 가질 확률이

  __^  ^{  }

(단,      ⋯  이고 ＜＜) 이다. E   V_{  }



 일 때, P＜의 값은? ⁵⁾

[4점][2006년 9월]

① _

^

④ _







^





^ ^⑤^





^





^

6.

정육면체 모양의 주사위를 번 던져 의 배수의 눈이 나오는 횟 수를 확률변수 라고 할 때, 확률변수 ^의 평균 E^의 값을 구하시오. 6)

[3점][2006년 10월]

7.

^동전개를 번 던질 때, 모두 앞면이 나올 횟수를 라 하 자.   일 때, 의 값을 구하시오. ⁷⁾

[점][2007년 7월]

8.

^확률변수는 이항분포 B



^{ }





^{을 따른다.}

P    P 이 성립할 때, 의 값을 구하시오. 8)

[3점][2007년 10월]

(3)

9.

한 개의 주사위를 번 던질 때 1의 눈이 나오는 횟수를 확률 변수 라 하고, 한 개의 동전을 번 던질 때 앞면이 나오는 횟 수를 확률변수 라 하자. 의 분산이 의 분산보다 크게 되 도록 하는 의 최솟값을 구하시오.9)

[4점][2008학년도 수능]

10.

이항분포 B



 



을 따르는 확률변수 의 분산이 일 때, 자연수 의 값은? 10)

[2점][2008년 3월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

11.

한 개의 주사위를 번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 라 하자. 확률변수 를   라 할 때, <보 기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 11)

[4점][2008년 3월]

< 보 기 >

ㄱ. P  ≦≦   P  ≦≦ 

ㄴ. 의 평균은 의 평균과 같다.

ㄷ. 의 분산은 의 분산보다 크다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.

한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 에 대하여 직선

  와 곡선   ^   가 서로 다른 두 점에서 만나는 사 건을 라 하자. 한 개의 주사위를 회 던지는 독립시행에서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때, 의 평균 EX 는? ^{12 )}

[4점][2008년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

13.

한 번의 시행에서 일어날 확률이 _



인 사건 A가 있다. 번 의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때, ^의 평균 E^을 구하시오. 13)

[3점][2008년 4월]

14.

확률변수 는 이항분포 B    를 따르고 확률변수 는 이 항분포 B   를 따른다고 한다.

이때,  P    P ≧ 을 만족시키는 양수 의 값은 _



 이다.   의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이 다.) 14)

[3점][2008년 10월]

(4)

15.

지선다형 문항 개가 있다. 모든 문항 각각에 대하여 답 을 임의로 하나씩만 택할 때, 맞힌 문항의 개수를 확률변수  라 하자. 이 때, ^의 평균을 구하여라. (단, 각 문항의 정답은

개다.)15)

[3점][2008년 10월]

16.

어느 창고에 부품 가 개, 부품 가 개 있는 상태에서 부 품 개를 추가로 들여왔다. 추가된 부품은  또는 이고, 추가 된 부품 중 의 개수는 이항분포 



^{ }





을 따른다. 이 개의 부품 중 임의로 개를 선택한 것이 일 때, 추가된 부품이 모두

였을 확률은? 16)

[4점][2009년 6월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





17.

확률변수 가 이항분포  를 따르고,

_{   }



 

일 때, 의 값을 구하시오.(단,     )¹⁷⁾

[3점][2009년 9월]

18.

¹⁸⁾ 는 0, 1, 2, ⋯, 의 값을 가지는 확률변수이고 의 확률 분포는

  __^  ^{  } (     ⋯ ) 이다. 의 평균과 분산이 각각   ,   일 때, _



 의 값은?

[3점][2009년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

19.

여섯 면에 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 번 반복하여 던질 때, 의 배수가 번 나올 확률을 P  라 하자.

  





P     P   의 값은?¹⁹⁾

[4점][2010년 3월]

^

④



^





^





^

이라 할 때, _{  }



^ ^^^{  }의 값을 구하시오. 22)

[4점][2010년 10월]

23.

^확률변수가 이항분포 B  를 따르고 의 평균이

일 때, 의 분산은?^{2 3)}

[2점][2012학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

24.

²⁴⁾ 확률변수 가 이항분포 B



^{ }





^{를 따를 때,}^{V  }^^{ }^의

값은?

[3점][2012년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

25.

^확률변수^{가 이항분포}B   를 따른다. 확률변수   의 평균과 표준편차가 각각 와 일 때, 의 값은?²⁵⁾

[3점][2013학년도 수능]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

26.

²⁶⁾ 확률변수 가 이항분포 



^{ }





^{을 따르고}^^^^{   }

일 때, 의 값은?

[3점][2013년 9월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(6)

27.

²⁷⁾ 확률변수 가 이항분포 B



^{ }





^{을 따르고,}^{의 평균이}^

일 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2013년 10월]

28.

²⁸⁾ 확률변수 가 이항분포 B 를 따르고

E^ V 일 때, 의 값은? (단,     )

[3점][2014학년도 수능]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





29.

²⁹⁾ 이차함수   의 그래프는 그림과 같고,    이 다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 에 대하여 이  보다 큰 사건을 라 하자. 한 개의 주사위를 회 던지는 독립 시행에서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때,

의 값은?

[3점][2014년 9월]

30.

³⁰⁾ 확률변수 가 이항분포 B



^{ }





^{을 따르고}^V^^{  }^{일 때,}

의 값을 구하시오.

[3점][2015학년도 수능]

31.

³¹⁾ 확률변수 가 이항분포 B  를 따르고 E   , E^  일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2015년 10월]

32.

³²⁾ 확률변수 가 이항분포 B



^{ }





^{을 따를 때,}^{V  }^^^{의 값}

을 구하시오.

[3점][2016년 10월]

33.

³³⁾ 확률변수 가 이항분포    를 따르고,

         이다.   의 값은?

[4점][2016년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





(7)

1) ①

[출제의도] 이항분포의 뜻을 이해하고, 평균을 구하기 (가) P  (나) _{  }_{  } (다)    2) ⑤

E 



  



   ․_C_rp^rq^{n  r} --- (가)

․  

     

  ․   

  

 ․_{  }C_{  } _{--- (나)} (다)  

3) ①

이항분포 B



 



을 따르는 확률변수 의 표준편차는

 



^^{ × }

× 

 

 

∴      

4) 40

는 이항분포 B



^{ }





^{를 따른다.}

V    × 

× 

 

5) ①

주어진 확률분포로부터 확률변수 는 이항분포   를 따르므로

   _{  }



 에서

   ---㉠

    

 ---㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

    

 ∴   

 이 값을 ㉠에 대입하면   

따라서 구하는 확률은

     

^





^





^



^

  ∙ 









^^{ }^^C^



^





^^,^^{ }_ ^{ }^이므로^{  }

9) 



^{ }





^{을 따르므로}

E_{   × }



 



V_{   × }



× 

 

 ⋯⋯ ㉠

확률변수 는 이항분포 B



^{ }





^{을 따르므로}

E_{  }



 V_{  }



 ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 

≥ 

 ∴  ≥ 

  ⋯ 따라서, 의 최솟값은 이다.

10) ③

_{  × }



× 

 

∴   

11) ③

ㄱ.P    P   이므로 P ≦≦   P ≦≦  (참) ㄴ.확률변수 는 이항분포 B



^{ }





^{을 따르므로}

E_{  }



⋅  

  에서

E  E     E  

∴ E  E (참) ㄷ.  에서 V  V   V

∴ V  V (거짓) 12) ④

직선   와 곡선   ^   가 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식 ^      즉, ^       의 판별식 가 0보다 커야 한다.

  ^   ^  

     

∴    (∵     )

∴   

따라서 사건 가 일어날 확률은

 





^



(8)

14) 35

P   ^, P≧  ^  이므로

^ ^   즉,     이다.

따라서   

 이므로     이다.

15) 

[출제의도] 이항분포에서 ^의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

지선다형 문항 개에 대하여 각각의 문항에 답을 하나만 선택했을 때, 맞힌 문항의 개수를 확률변수 라 하면, 는 이항분포 



^{ }





^을

따른다. 그러므로,

_{   × }



  _{   × }



× 

  그러므로, ^   ^   ^ 

따라서, 정답은 

16) ①

추가된 부품 중 의 개수를 라고 하면 



^{ }





^{을 따르므로}

  __



^





^



^





^^{ }



  __



^





^



^





^^{ }



  __



^





^^{ }



개의 부품 중 임의로 개를 선택한 것이 인 사건을 라 하고 추가된 부품이 모두 인 사건을 라고 하면 구하고자 하는 확률을

_{ }



∩

 



 × 

 

 × 

 

× 





 × 

 



17) 

  __^^{  }단    이므로

_{   }



 

∴__^^ 

×__^^을 정리하면   



∴_{ }



에서   _{   × }



 

18) ②

확률변수 는  의 이항분포를 이루므로

    ,       

이므로 연립하면   ,   

이다.

따라서, 

  × 

 



^

이항분포를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 P  _C_^   ^{  }

P    × P 

C_^  ^   ×_C_   ^

  



E     , V        이므로 V   E^  E ^

∴ E ^  

21) ③

두 주사위의 눈의 수의 차가 3보다 크거나 같은 경우는 모두 12가지이므로 1번의 시행에서 A가 점수를 얻을 확률은 

 

 이고 B가 점수를 얻을

확률은 

 이다.

따라서 15회 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 라고 하면 는 이항분포 



 



^{를 따른다.}

^{을 따른다.}

E _{   × }



  , V _{   × }



 × 

  



∴_{  }



^ ^^    E^ V  E^ 

23) ①

확률변수 가 이항분포 B   를 따르고 E  이므로

 ×  



(9)

V _{   × }

×



^{  }



^{ }

∴ V      ^V _{  × }



 

25) ⑤

B   에서 E  , V       ,

 ^  

∴ E    E       

∴    ⋯⋯ ㉠

     ^     ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서   



∴   

[다른 풀이]

E    에서

E     , E   ∴ E   

V     ^에서 V   ∴ V   

이때, 확률변수 가 이항분포 B  를 따르므로

  ,     

위의 두 식을 연립하여 풀면   

   

26) ③

문제에서 확률변수 X가 이항분포 



^{ }





^{을 따르므로}

_{    }



...①

    

...②

문제에서    을 주었으며

    ⇔     ⇔  

①의 결과를 이용하면 

 이므로

∴   

27) 

확률변수 가 이항분포 B



^{ }





^{을 따르므로}

E_{  }



 

∴   

28) ④

가 이항분포 B  를 따르므로 E  ⋅, V  ⋅⋅   

∴ ⋅^ ⋅⋅  에서

     ∵     

∴   



_{  × }

×  

∴  _{   × }



    

∴  

31) 

[출제의도] 이항분포를 이해하여 을 구한다.

E E  에서 E    ⋯㉠ E^ E^ 이므로 E^ 

V      E ^  E ^에서

     ^ 이므로   

 따라서 ㉠에 대입하면  

32) 80

[출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수의 분산을 계산한다.

V _{   × }



× 

 



V    V _{  × }



 

33) ③

[출제의도] 이항분포의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

E       E    이므로 E _{  }





V      ^V   이므로 V _{  }





E      

 V           



    

 따라서   

   이므로     

