수리 영역 (가 형)

수리 영역 (가 형)

제 2 교시 성명 수험번호 3 1

◦

자신이 선택한 유형

(‘

가

’

형

/ ‘

나

’

형

)

의 문제지인지 확인하시오

.

◦

문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오

.

◦

답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고

,

또 수험번호와 답을 정확히 표기하시오

.

◦

단답형 답의 숫자에

‘0’

이 포함되면 그

‘0’

도 답란에 반드시 표기하시오

.

◦

문항에 따라 배점이 다르니

,

각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고 하시오

.

배점은

2

점

, 3

점 또는

4

점입니다

.

◦

계산은 문제지의 여백을 활용하시오

.

1.

두 행렬 



^  ^



, 

 

^{ }  에 대하여 행렬 의 모 든 성분의 합은?¹⁾

[2점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

log_



^^× ^



의 값은?2)

[2점][2011년 4월]

① _



 ②  ③ _





④  ⑤ _





3. lim

 → ∞



^{  }





^{ 의 값은?3)}

[2점][2011년 4월]

① _

^

 ② _



 ③ 

④  ⑤ ^

4.

두 실수 , 가 _{    }



를 만족시킬 때, ^ cos   sin의 최댓값은?⁴⁾

[3점][2011년 4월]

① ^ ②  ③ ^

④ ^ ⑤ ^

5.

방정식 ^    



^^     의 모든 실근의 곱은?⁵⁾ [3점][2011년 4월]

① _{ }



 ② _{ }



 ③ _{ }





6.

수열



^



^이

_ , _{  } _         ⋯  을 만족시킬 때, _의 값은?⁶⁾

[3점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

수열



_



에 대하여 첫째항부터 제항까지의 합 _이

_ ^   일 때, _ _의 값은?⁷⁾

[3점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.

함수    ln    

^에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?^{8 )}

[4점][2011년 4월]

보 기

ㄱ. 함수 는   에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 곡선   의 변곡점의 개수는 이다.

ㄷ. 방정식 _{  }^의 실근의 개수는 이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.

^{다음은 꼭짓점이} 개인 그래프를 행렬로 나타낸 것이다.

A

B E

C D

A B C D E

   

    

   

   

    A

B C D

E 







꼭짓점 C에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 C로 돌아오는 방법의 수를 라 할 때, 세 상수 , , 에 대하여     의 값 은?9)

[3점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

10.

, 에 대한 연립일차방정식

 

^{ } 

 

^ 

 

^{ } 

 

^ 가   ,

   이외의 해를 가질 때, 모든 상수 의 값의 합은?¹⁰⁾

[3점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

11.

이차정사각행렬 , 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이다.)11)

[4점][2011년 4월]

보 기 ㄱ.   이면  이다.

ㄴ. , 의 역행렬이 모두 존재하면 의 역행렬이 존재한 다.

ㄷ. ^^^이고 의 역행렬이 존재하면

^{ } ^{ }이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12.

그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부채 꼴 OAB에서 호 AB를 등분한 각 점(양 끝점도 포함)을 차례로

A  P_, P_, P_, P_, ⋯, P_{  }, P_ B

라 하자. ^P_P_, ^P_P_, ^P_P_, ⋯, ^P_{  }P_을 각각 밑변으로 하 는 정삼각형 개의 넓이의 합을 이라 할 때,

lim

 → ∞

․의 값은?^{12 )}

[3점][2011년 4월]

B  P_ A P_

P_ P_ P_

P_{  }

O 

① 

^

^ ② 

^

^ ③ 

^

^

④ 

^

^ ⑤ 

^

^

13.

자연수 에 대하여 _{  }

      ⋯   

^ ^ ^ ⋯  ^ 일 때,

lim

 → ∞

의 값은?^{1 3)}

[3점][2011년 4월]

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





14.

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 가 다음 조 건을 만족시킨다.

(가)   ,   

(나) ′  , ″   (단,     ) 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?^{14 )}

[4점][2011년 4월]

보 기

ㄱ. 함수   ^의 그래프는 구간  에서 아래로 볼록 하다.

ㄴ.



_^      ㄷ. _{  }



^{ }



^



^ _

  



^



^



^





^

· 

≥







^

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,ㄴ

④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

15.

함수 가

 









^{  cos}

^sin

 ≠ 

   

일 때, ′의 값은? (단,      )¹⁵⁾

[3점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

다음은 어느 지역의 방음벽, 배수로, 도로를 나타낸 평면도이다.

평면도에서 방음벽을 축, 방음벽과 수직으로 건설된 배수로를  축으로 할 때, 도로의 중앙선은 곡선   ^    의 일부로 나타내어진다.

AB  BC  를 만족시키는 축 위의 세 점 A, B, C를 지나고

축에 수직인 세 직선을 그어 곡선   ^ 와 만나는 점을 각 각 D, E, F라 하자. ^_{AD  }



, ^_{BE  }



, ^CF  일 때, 상수  의 값은? (단, 방음벽, 배수로, 도로의 중앙선의 폭은 무시한다.)¹⁶⁾

[4점][2011년 4월]





 E

D

F

B

방음벽 도로

A C





호수 배 수

로

 

① _



 ② _



 ③ _





④ _



 ⑤ _





17.

수열



^



^{은 } 이고,

_{  } _ 

_ 

_ ⋯  

_ (     ⋯) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정이다.

 ≥ 인 자연수 에 대하여

_{  } _



^{ }

_ 

_ ⋯  

_







^{ }

_ 

_ ⋯   

 _{  }



^이므로

_{  } (가) ×_이다.

     ⋯   을 차례로 대입하면

_ 

_

_ 

_

⋮

_  

 _{  }이므로

_ (나) ( ≥ )

따라서 주어진 수열



_



^{의 일반항은}

_ 이고, _ (나) ( ≥ )

위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, ×의 값은?¹⁷⁾

[4점][2011년 4월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

18.

그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 _에 외접하는 정사각형 A_B_C_D_의 네 변 A_B_, B_C_, C_D_, D_A_의 중점을 각각 E_, F_, G_, H_이라 하자.

점 B_을 중심으로 하고 선분 B_F_을 반지름으로 하는 부채꼴 B_F_E_의 호 E_F_과 점 C_을 중심으로 하고 선분 C_F_을 반지 름으로 하는 부채꼴 C_F_G_의 호 G_F_과 원 _의 호 E_H_G_ 로 둘러싸인 도형을 _이라 하자. _에 내접하는 원을 _라 하고 도형 _의 넓이에서 원 _의 넓이를 뺀 값을 _이라 하자.

원 _에 외접하는 정사각형 A_B_C_D_의 네 변 A_B_, B_C_, C_D_, D_A_의 중점을 각각 E_, F_, G_, H_라 하자. 점 B_를 중심으로 하고 선분 B_F_를 반지름으로 하는 부채꼴 B_F_E_의 호 E_F_와 점 C_를 중심으로 하고 선분 C_F_를 반지름으로 하는 부채꼴 C_F_G_의 호 G_F_와 원 _의 호 E_H_G_로 둘러싸인 도형을 _라 하자. _에 내접하는 원을 _이라 하고 도형 _의 넓이에서 원 _의 넓이를 뺀 값을 _라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호 E_F_, 호 G_F_, 호 E_H_G_으로 둘러싸인 도형을 _이라 하고 _에 내접하는 원을

_{  }이라 하자. 도형 _의 넓이에서 원 _{  }의 넓이를 뺀 값을

_이라 할 때,



  

∞

_의 값은?18)

[4점][2011년 4월]

…

A_ D_

B_ C_

E_ G_

H_

F_

_

_

A_ D_

B_ C_

E_ G_

H_

F_

_

_

① _



  

② _



  

③ _



  

④ _



  

⑤   

19.

그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수   의 그래프가 있다. 곡선   의 변곡 점을 A  라 하고 원점을 지나는 직선   가 점 B   에서 곡선   에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? (단,     )¹⁹⁾

[4점][2011년 4월]

O

B









  

  

A

보 기

ㄱ. 곡선     의 변곡점의 좌표는 이다.

ㄴ. 함수   는 _{  }^ 에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. _



  

 



① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20.

매개변수 로 나타내어진 함수

  tan ,   cos^



^{단,  }_^{   }_



에 대하여 이 곡선 위의 점



^{ }





에서의 접선의 기울기는?^{2 0)} [3점][2011년 4월]

①   ② _{ }



 ③ 

④ _



 ⑤ 

21.

두 함수   와   의 그래프가 다음과 같을 때, 옳 은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?^{2 1)}

[4점][2011년 4월]



   

 





 



     



O O

보 기 ㄱ. 함수 는   에서 연속이다.

ㄴ. 함수  ∘  는   에서 연속이다.

ㄷ. 함수  ∘  는    에서 연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22.

 ≤  ≤ 일 때, 에 대한 방정식 cos    cos   가 실근을 갖도록 하는 상수 의 최댓값을 구하시오.²²⁾

[3점][2011년 4월]

23.

곡선   ^ 위의 점     에서의 접선이 곡선   ^   에 접할 때, 상수 의 값을 구하시오.^{2 3)}

[3점][2011년 4월]

24.

함수  









  

^    

  ≠ 

   

가   에서 연속일 때, 두 상수 , 에 대하여   의 값을 구하시오.24)

[3점][2011년 4월]

25.

그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에

AC 인 점 C가 있다. ∠CAB의 이등분선이 선분 BC와 만나 는 점을 D라 할 때, 

AD

CD

 ^이다. _

^

 의 값을 구하시오.²⁵⁾ [3점][2011년 4월]

B A

C

D





26. 

_^{    }



_^ln_^{ }의 값을 구하시오.26)

[4점][2011년 4월]

27.

수열



^



^이

_{  } _       ⋯ 

을 만족시킬 때, 수열



_



의 첫째항부터 제항까지의 합을 _이 라 하자. 수열



^



에 대하여 첫째항부터 제항까지의 값 중에 서 의 배수를 값으로 하는 모든 항의 개수를 구하시오.^{27 )}

[4점][2011년 4월]

28.

[그림 1]과 같이 가로의 길이가  cm, 세로의 길이가  cm인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각 형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부 피의 최댓값을  cm^이라 할 때, _



^

의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.)28)

[4점][2011년 4월]

 cm

 cm

[그림 1]

[그림 2]

29.

세 자리 이하의 자연수 에 대하여

  log  log

일 때,  ≤ 을 만족시키는 의 개수를 구하시오.

(단,  는 보다 크지 않은 최대의 정수이고 log  , log  로 계산한다.)^{29 )}

[4점][2011년 4월]

30.

에 대한 방정식



_^       의 양수인 실근이

  ^일 때, ^ ^의 값을 구하시오. (단, , 은 유리수이 다.)3 0)

[4점][2011년 4월]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

1) ③

[출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈 계산하기





^  ^

  

^{ } 

 

^{ } 



   ^{ }



따라서 모든 성분의 합은  2) ②

[출제의도] 지수와 로그의 성질을 알고 계산하기 log_^



×^



  log_^ log_^  3) ①

[출제의도] 함수의 극한의 뜻을 이해하기

lim

 → ∞

 

^{  }





^



^{     }_^

4) ④

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

  

 이므로

(준식) ^ cos  sin



^

 



 ^ cos  sin

^ sin  



^{단, sin   }_^{ , cos   }_^



따라서 최댓값은 ^

5) ①

[출제의도] 무리방정식의 해 구하기



^^     라 하면

^    



^^     에서

^     이므로        그러므로   

∵  ≥ 

∴



^^     

에서 ^   

 

따라서 모든 실근의 곱은  



6) ⑤

[출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 구하기

_{  } _   이므로

_ _



  

  

  

8) ③

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 함수  의 정의역은   이다.

′    

   

 에서    또는   ,

′′    ^

   

 에서

   ∵   이므로 함수 ′, ′′, 를 표로 나타내면 다음과 같다.

 …  …  …  … 

′       

′′       





^



^









^단,   

 ln,   

 ln,   



ㄱ. (참)

ㄴ. 곡선   의 변곡점의 개수는 이다. (거짓) ㄷ. 함수   의 그래프와 직선   

은 다음과 같으므로 방정식

  

의 실근의 개수는 이다. (참)

O

  

  







따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 9) ④

[출제의도] 그래프와 행렬의 관계를 이해하기 주어진 그래프를 행렬로 나타내면

A B C D E

    

    

    

    

     A

B C D E

이므로   ,   이고 꼭짓점 C에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 C로 돌아오는 방법은 CAC, CBC, CDC, CEC이므로   이다.

따라서        10) ④

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계를 이해하기

 

^{ }

 

^

 

^{ }

 

^

 (참)

ㄴ. (반례) 

 

^{ }  ^, 



^{ }  ^



^(거짓)

ㄷ. (반례) 

 

^{ } ^, 

 

^{ }  ^(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ

12) ③

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

P_P_ P_P_ ⋯  P_{  }P_ sin 



이므로 각 정삼각형의 넓이는 ^ sin^



^





^이다.

따라서

lim

 → ∞

․ 

lim

 → ∞

^ ^×sin^



^





^{ }

^

^

13) ②

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

  

^ 



   

  

^   

따라서

lim

 → ∞

 

lim

 → ∞^ 

^   

 



14) ⑤

[출제의도] 정적분을 뜻을 알고 추론하기 ㄱ. 구간   에서 

^

 ′

^

^^

 



′



^ ″이므로

^

^^

 

∴함수   ^의 그래프는 구간   에서 아래로 볼록하다. (참) ㄴ.     라 하면







   







이므로







     









조건에 의해 구간   에서 함수   의 그래프의 개형은 다음과 같고

O 



A   B    C      







의 값은 사다리꼴 COAB의 넓이보다 작다.

∴







      (참) ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해





^



^

  



^



^



^





^

· 

≥





  





^

이므로

  









^



^



^



^



^



· 

≥







^(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

15) ⑤

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제해결하기

′ 

lim

 →   

  



lim

 →   

  cos

^sin

 



lim

 →   cos

 sin



lim

 → sin^

 sin cos  cos



lim

 → cos  cossin

  

16) ④

[출제의도] 지수방정식을 활용한 실생활문제 해결하기

점 A의 좌표를 라 하면 점 B의 좌표는   , 점 C의 좌표는

  이다.

^   

에서 ^ 

 ⋯⋯㉠

^{  }   

에서 ^{  } 

 ⋯⋯㉡

㉠_, ㉡에 의해 ^



^





^{이므로   }



  ^{  }  



^





^





^{   }



따라서   



17) ①

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 알고 추론하기

 

  

,  이므로

×  

18) ②

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

B_

G_ E_

H_

C_ D_ A_

_

_{  } I_{  }

F_

원 _{  }의 중심을 I_{  }이라 하고 반지름의 길이를 _{  }이라 하면 직각삼각형 I_{  }B_F_에서

피타고라스의 정리에 의해



^ _{  }



^



^ _{  }



^{ }

__{  } _^ __{  }

_

_{  }

 

이므로 _

_{  }

 





_

 

이므로 _  



^{ }



^





^



^{   }



∴



^



^{은 첫째항이}   , 공비가 ^인 무한등비수열이다.

따라서 _{  }



^{∞ }

  



  



 

  

19) ⑤

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 ㄱ.   ^ ^    라 하고    ≠ 라 하자.

두 곡선   와     의 변곡점의 좌표는  

 이므로 곡선     의

변곡점의 좌표는 이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수     의 그래프는 원점을 지나고

  에서 축에 접하므로

    ^이다.

O 









    

 ′     이므로 함수   는   

에서 극댓값을 갖는다. (참) ㄷ.         ^

이라 하면 ㄱ 에서 ′′  이다.

∴   

이므로 

  

 

 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 20) ②

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수를 미분하기



 sec^, 

  cos sin이고

  일 때,   

 이므로

(접선의 기울기) 

sec^



 cos

sin 



 



21) ③

[출제의도] 함수의 연속의 뜻을 알고 추론하기

cos  (  ≤  ≤ )라 하면 cos  cos  ^   

^     가 실근을 갖도록 하는 의 값의 범위는  

≤  ≤ 이다.

따라서 의 최댓값은  23) 

[출제의도] 접선의 방정식 구하기

곡선   ^ 위의 점     에서의 접선의 방정식은

     ⋯⋯㉠

직선 ㉠이 곡선   ^   에 접하므로 접점의 좌표를 라 하면 점  ^    에서의 접선의 방정식은

  ^    ^     ^   ^  ⋯⋯㉡

㉡이 ㉠과 같으므로    따라서   

24) 

[출제의도] 연속함수의 뜻 이해하기

lim

 → 

     이므로     

lim

 →   

^    



lim

 → ^    

  

따라서   ,    이므로     

25) 

[출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이해하여 문제 해결하기

∠CAD  ∠BAD  



    



^{라 하면}

cos     sin^  

이므로 sin   

^

AD

CD

 sin  ^

따라서 ^

  

26) 

[출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 구하기



_^{    }



_^^ ln

  ^{ }_^



^{ ln   }







_^



^{ }^





^



  27) 

′  ^     이므로

   에서 최댓값을 갖는다.

따라서  ^이므로 

^

 

29) 

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 문제해결하기

ⅰ)  ≤  ≤ 일 때,  ≤ ,    이므로  ≥ 이면   

∴  ≤ 을 만족시키는 은  이므로 의 개수는 이다.

ⅱ)  ≤  ≤ 일 때,

 ≤ ,   이므로

 ≥ 이면   

∴  ≤ 을 만족시키는

은    ⋯ 이므로 의 개수는 이다.

ⅲ)  ≤  ≤ 일 때,

  ,   이므로

 ≥ 이면   

∴  ≤ 을 만족시키는

은    ⋯ 이므로 의 개수는 이다.

따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여  ≤ 을 만족시키는 자연수 의 개수는

이다.

30) 

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

ⅰ)   일 때,



_^     이므로

 

^

    ∴   

ⅱ)  ≥ 일 때,



_^    



_^    







^

^

   





^{ }

^     

∴    ^ ∵ ≥ 

ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은    ^이므로

  ,   이다.

따라서 ^ ^ 