?먼저 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

^ 일 때,



^





^{ 의 값은? 1)}

[2점][2007년 5월]

① _



 ② _



 ③  ④  ⑤ 

2.

log_  log_log_  log_의 값은? 2)

[3점][2007년 5월]

① _^ ② _^ ③  ④  ⑤ 

3.

lim

→ ∞



^^   



의 값은?3)

[2점][2007년 5월]

①  ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ 

4.

두 행렬 



^{ } 



, 



^{ } 



에 대하여



^^^^^를 만 족시키는 행렬 의 모든 성분의 합은? ⁴⁾

[2점][2007년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2007년 5월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘나’형

수 리 영 역

2 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2 16

5.

세 수 ^, ^^, ^^의 대소 관계를 바르 게 나타낸 것은? ⁵⁾

[3점][2007년 5월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.

두 행렬 



^  ^



, 



^{  } 



에 대하여 가 성립 할 때,   의 값은? 6)(단, , 는 상수이다.)

[3점][2007년 5월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

7.

lim

→ ∞



^{  }





^{  }





^{  }





^⋯



^{  }





^

^ 

의 값은?7)

[3점][2007년 5월]

① _



 ② _



 ③  ④  ⑤ 

8.

수열의 극한 lim

→ ∞^ 

^{  }   

≠ 에 대한 설명으로 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? 8 )

[4점][2007년 5월]

보 기 ㄱ.    일 때, 발산한다.

ㄴ.   일 때, 극한값은 이다.

ㄷ.    일 때, 극한값은   이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

‘나’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

9.

이차정사각행렬 , 에 대하여 연산 ⊙를 ⊙

로 정의하자. 연산 ⊙에 대한 성질로 항상 옳은 것을 <보기>에 서 모두 고르면? ⁹⁾(단, , , 는 이차정사각행렬이다.)

[3점][2007년 5월]

보 기 ㄱ. ⊙ ⊙

ㄴ. ⊙ ⊙ (단,  는 실수이다.) ㄷ. ⊙ ⊙  ⊙

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.

함수   ^에 대한 설명으로 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단,   이다.) 10)

[4점][2007년 5월]

보 기 ㄱ.   

ㄴ.     ≧  ㄷ. _{ ≧ }



  

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11.

다음은 모든 자연수 에 대하여

^   ^    ^   ⋯

 ^    ^    ^ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ)   일 때, (좌변) , (우변) ^이므로 성립한다.

(ⅱ)   일 때 성립한다고 가정하면

^    ^    ⋯  ^     ^     일 때

^    ^    ⋯  (가)  ^    ^    ⋯  ^  

 (나)  (가)  (다)

따라서     일 때도 성립한다.

그러므로 주어진 식은 모든 자연수 에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?1 1)

[4점][2007년 5월]

(가) (나) (다)

① _^_{    }^ _^_{ }

② _^    ^    ^

③ _^       ^ 

④ ^    ^   ^

⑤ _^_{   }      ^

수 리 영 역

4 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

4 16

12.

연립일차방정식



      

  ^    이   ,   이외의 해를 가질 때, 점   가 나타내는 도형의 길이는? 12)

[3점][2007년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

13.

그림과 같이 모든 자연수를 부터 차례대로 나열하였다.

의 배수와 의 배수를 제외하고 남아 있는 수를 크기순으로 나 열하여 수열 ^을 만들었다.

, , , , , , , , ⋯

그림에서 _이 행 열의 수일 때,   의 값은? 1 3)

[4점][2007년 5월]

제^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^{열 제}^열

제^행          

제^행          

제행          

제^행          

제^행          

제^행          

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

‘나’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

14.

다음 알고리즘을 실행시켰을 때, 인쇄되는 의 값은? ¹⁴⁾ [3점][2007년 5월]

<단계>  ,  ,  으로 놓는다.

<단계>  의 값을 으로 놓는다.

<단계>  의 값을 로 놓는다.

<단계> 의 값을 로 놓는다.

<단계> ≧ 이면 <단계>로 가고,  이면 <단계>로 간다.

<단계> 를 인쇄한다.

①  ②  ③  ④  ⑤ 

15.

중심이 원점이고 반지름의 길이가 , , , ⋯, 인 동심원 이 있다.

<단계> 반지름의 길이가 인 원 내부의 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 인 원과 반지름의 길이가 인 원 사 이의 , , 사분면에도 검은색을 칠한다.

<단계> 반지름의 길이가 인 원과 반지름의 길이가 인의 원 사이의 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가 인 원과 반지름의 길이가 인 원 사이의 , , 사분면에도 검은색을 칠 한다.

⋮

<단계> 반지름의 길이가  인 원과 반지름의 길이가

  인원 사이의 사분면에 검은색을 칠하고, 반지름의 길이가

  인 원과 반지름의 길이가 인 원 사이의 , , 사분면 에도 검은색을 칠한다.

 



O  ⋯

이와 같이 단계까지 검은색으로 칠한 넓이의 합을 _이라 할 때, lim

→ ∞^

_

의 값은? ¹⁵⁾

[4점][2007년 5월]

① _



 ②  ③ _



 ④ _



 ⑤ 

수 리 영 역

6 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

6 16

16.

첫째항이 이고 공차가 (  )인 등차수열이 있다.

다음은 첫째항부터 제항까지의 합과 제 항부터 항까지의 합의 비가 에 관계없이 항상 일정할 때, 공차 를 구하는 과 정이다.

첫째항부터 제항까지의 합을 _이라 하면 _{ }



   , _{ }



   이므로

__{ }



  가   이다.

__

_

   가  

    

 (일정)라 하자.

 ( 나 )          이 자연수 에 관계없이 항상 성립하므로 ( 나 ) 이고         이다.

  이므로 _{  }



이고  ( 다 ) 이다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? 16)

[4점][2007년 5월]

(가) (나) (다)

①        

②        



③        



④        



⑤        

17.

시간이 지남에 따라 일정한 비율로 늘어나는 두 종류의 세균

, 가 있다. 는 시간이 지날 때마다 그 수가 배로 늘어나 고, 는 시간이 지날 때마다 배로 늘어난다. 세균 마리 와 세균 마리를 동시에 배양하기 시작하였을 때, 의 수 가 의 수 이상이 되도록 배양하는데 걸리는 최소의 시간은?¹⁷⁾ (단, log_  , log_  로 계산한다.)

[4점][2007년 5월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

단답형

18.

행렬 



^{ } 



이고 행렬 가 



^{ }  ^



을 만족시 킬 때, 의 모든 성분의 합을 구하시오.18)

[3점][2007년 5월]

수 리 영 역

‘나’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

19.

  ≦  ≦ 일 때, 지수함수   ^{   }의 최대값과 최소값 의 곱을 구하시오.¹⁹⁾

[3점][2007년 5월]

20.

이차방정식 ^     의 두 근을 , 라 하자.

log_



^{  }





^{ log}



^{  }





^{ 일 때, }의 값을 구하시오.²⁰⁾ [3점][2007년 5월]

21.

삼차방정식 ^ ^     의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 상수 의 값을 구하시오. 2 1)

[4점][2007년 5월]

22.

로그방정식 log_^ log_^   의 두 근을 , 라 할 때,

  의 값을 구하시오.^{22 )}

[3점][2007년 5월]

수 리 영 역

8 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

8 16

23.

수열 _의 첫째항부터 제항까지의 합 _이 _ ^일 때,

  





__{  }

  

을 만족시키는 자연수 , 에 대하여   의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소이다.)²³⁾

[4점][2007년 5월]

24.

다음과 같이 정의된 수열 ^^{이 있다.}











_ 

_{  } 

_       ⋯ 

lim

→ ∞

_의 값을 구하시오. ²⁴⁾

[3점][2007년 5월]

25.

그림과 같이   log_,   ,   으로 둘러싸인 영역에 한 변의 길이가 인 정사각형을 서로 겹치지 않게 그리려고 한다.

이 때, 그릴 수 있는 한 변의 길이가 인 정사각형의 최대 개수 를 구하시오. (단, 정사각형의 각 변은 축, 축에 평행하다.) 25)

[4점][2007년 5월]

O 







  log_



⋯

수 리 영 역

‘나’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5 지 선 다형

26.

지수부등식 _

^

 

^{  }

   ≦ 의 해는?26)

[3점][2007년 5월]

①  ≦ 

②  ≧ 

③  ≧ 

④   ≦  ≦ 

⑤   ≦  ≦ 

27.

다음 <보기> 의 무한급수 중 수렴하는 것을 모두 고르면? 2 7)

[3점][2007년 5월]

보 기 ㄱ. _{  }



 

 

 ⋯

ㄴ. _{  }

  

      

        

  ⋯

ㄷ. _

 ^

  ^ ^

  ^ ^

  ^ ^

  ⋯

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ,ㄷ

28.

이차정사각행렬 의  성분을 _ sin



^

  

  



^{로 정}

의하자. 행렬 의 모든 성분의 합이 일 때, 의 값은?

(단,  ≦  ≦ 이다.) 28 )

[4점][2007년 5월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





수 리 영 역

10 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

10 16

29.

가격이 만원인 TV를 이 달 초에 구입하여 만원은 일 시불로 지불하고, 나머지 만원은 이 달 말부터 매월 말에 일 정한 금액으로 회에 걸쳐 모두 갚으려고 한다. 매월 말에 갚아 야 할 금액을 구하는 식으로 옳은 것은? (단, 월이율은 의 복 리로 계산하고, 단위는 만원이다.) ²⁹⁾

[4점][2007년 5월]

① _

^  

^{  }

② _

^{  }

^  

③ _

^{  }  

^

④ _

^

^ 

⑤ _

^ 

^

단답형

30.

다음은 지수함수   ^과   ^{  }의 그래프이다. 두 선분 AB, CD와 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때,  의 값을 구하시오. (단, 점선은 축 또는 축과 평행하다.) ³⁰⁾

[4점][2007년 5월]

 B

C

O



D

A

  ^{  }

  ^



※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지

확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2007년 5월 고3 모의고사 나형 해설지

1) ④

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

^ 이므로 ^ 이다.

(준식)= ^{ }^{ } ^ ^^ ^ 

2) ④

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기 (준식)



^log  

log_



^log   log_







^

log_



^

log_



 

⋅

 

3) ②

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기 (준식)lim

→∞^^   



^^   



^^   



lim

→∞^^   



lim

→∞



^{  }

  

  



4) ①

[출제의도] 두 행렬의 합과 실수배 계산하기 두 식을 더하면

, _{ }





∴ _{ }





 



 

^{ }  

 

^{ } 



^

 

^{ }  따라서 모든 성분의 합은 

5) ②

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 수의 대소 관계 구하기

 ^



 ^



 ^



    에서   

    에서   

∴      7) ⑤

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기 (분모)



^{  }





^{  }





^⋯



^{  }





^





^

⋅

⋅

⋅ ⋯ ⋅

  



^



^

 



^

(준식)lim

→∞



^

  



^

^ 

lim

→∞







^{  }





^

  



 

8) ④

[출제의도] 무한등비수열의 공비에 따른 극한값 구하기

lim

→∞^ 

^{  }   









 



      

    

        

이다.

따라서 ㄴ, ㄷ이 참이다.

9) ⑤

[출제의도] 행렬에서 정의된 연산의 성질 추론하기 ㄱ. ⊙⊙ (참) ㄴ. ⊙   

  

   ⊙ (참) ㄷ. ⊙  



 ⊙  ⊙ (참) 10) ⑤

[출제의도] 지수함수의 성질 추론하기 ㄱ.   ^  (참)

ㄴ. ^ ^{ }≧ ^^⋅ ^{ }  (참) ㄷ. (ⅰ)  ≧ 일 때,

     

    

  ≧  (ⅱ)   일 때,

수 리 영 역

12 ^‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12 16



^{  }  ^{  }

  

^ 

 

^

     이외의 해를 가지려면



^{  }  ^{  }



의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

∴       ^ 

 ^   ^ 이므로 점  가 나타내는 도형은 중심

   , 반지름의 길이가 인 원이다.

따라서 도형의 길이는 이다.

13) ①

[출제의도] 수열의 규칙성을 파악하여 위치 나타내기

과 의 최소공배수인 마다 개의 항이 주기적으로 남게 되고,

   ×  이므로

_{  }  

_  ×     이고

은 행 열의 수이다.

∴     

14) ③

[출제의도] 알고리즘에서 규칙성을 파악하여 수열의 합 구하기 알고리즘을 표로 나타내면

    ⋯ 

    ⋯ 

      ⋯    ⋯ 

인쇄되는 의 값       ⋯ 

 

⋅  

 

15) ⑤

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 극한값 구하기

단계에서 색칠하는 부분의 넓이를 _이라 하면

_ 

^ ^  

^ ^

_ 

^ ^  

^ ^ ⋮

_ 

  ^  ^_{ }



^   ^

_{ }







  

^



  



^{ }





  

^



  



 

^  

^ 

 

^ 

lim

→∞^

_

lim

→∞^



^ 

 

16) ①

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 공차 추론하기 (가)    

(나)   

(다) 

17) ①

[출제의도] 실생활에서 상용로그를 이용하여 최소시간 구하기 시간을 라 하면

는 시간마다 배씩 증가하므로 시간 후에는 ^



배,

는 시간마다 배씩 증가하므로 시간 후에는 ^



배이다.

⋅^



≧ ⋅^



양변에 상용로그를 취하면



 log ≧   

log

log   log ≧ 

 ≧  ×    ×

  

18) 

[출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬 구하기

의 역행렬은 ^{ }



 ^{  }



^이므로





^{ }  ^



^{의 양변에} ^{ }를 곱하면

^{ }



^{ }  ^







 ^{  }

 

^{ }  ^







^{ }  ^



∴ 



^{  } 



따라서 모든 성분의 합은 

19) 

[출제의도] 지수함수의 최대값과 최소값 구하기

  ^{   }이므로

(지수) ^       ^    ≦  ≦ 

  일 때 최소값   

  일 때 최대값    지수함수   ^ 은 증가함수이므로

^{ }≦ ^≦ ^이므로 최대값은 ^, 최소값은 ^{ }이다.

∴ ^⋅^{ } ^  20) 

[출제의도] 근과 계수와의 관계와 로그의 성질을 이용하여 식의 값 구하기 두 근을 , 라 하면   이고,

log_



^{  }





^{ log}



^{  }





 log_



^{  }





^{  }





^{ log}



      





 log_  

∴ ^ 

21) 

[출제의도] 등차중항의 정의와 근과 계수와의 관계를 이용하여 상수 구하기 등차수열의 공차를 라 하면

삼차방정식의 세 근은       이다.

근과 계수와의 관계를 이용하면

       

         

     에서

  , ^ ^ 에서  ± ,   이다.

22) 

[출제의도] 로그방정식의 두 근의 합 구하기

수 리 영 역

‘나’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

log_  라 하면 주어진 방정식은

^     

     

  log_     

  log_     

∴     

23) 

[출제의도] 수열의 합과 일반항과의 관계를 이용하여 부분분수의 합 구하기

___{  } ^  ^   ( ≧ )

__ 이므로 _   ( ≧ )

__{  }

    

  





^  

   





  





__{  }

  

_{  }



^



^  

    





 





^{  }





^



^

 





^⋯



^

  





 





^{  }





^{ }



∴     

24) 

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 극한값 구하기

_   _ 



^





^{  이므로}

_ 



^





^{   이다.}

lim

→∞



^





^{   이므로}

∴ lim

→∞

_ 

25) 

[출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 정사각형의 개수 세기

 ≦  ≦ 일 때 정사각형은 (개)

 ≦  ≦ 일 때 정사각형의 개수는  ×   (개)

 ≦  ≦ 일 때 정사각형의 개수는  ×   (개)

 ≦  ≦ 일 때 정사각형의 개수는  ×   (개)

 ≦  ≦ 일 때 정사각형의 개수는  ×   (개) 따라서 최대 정사각형의 개수는

        (개)이다.

ㄴ. _    ⋯ 

  



 

   

 이고

_ _{  }



^



^

   





^{   }  

 이므로 lim

→∞

_ 로 수렴한다.

ㄷ. _ ^  ^

  

^   ^ 이고

_{ }



_{  }



^{    }

 

  ^ ^  ^   이므로 lim

→∞

_은 발산하다.

28) ④

[출제의도] 삼각함수로 정의된 행렬 구하기

 _ 



^ ^^_



^{라 하면}

_ sin     sin

_ sin



^

  



^{  cos}

_ sin



^

  



^{  cos}

_ sin    sin이므로 모든 성분의 합  cos   cos   

이므로   



29) ⑤

[출제의도]등비수열의 합을 이용하여 실생활의문제 해결하기

월초에 만원을 예금한 원리합계와 월말에 원씩 번 적립한 원리합계가 같아야 한다.

월초에 만원을 예금한 원리합계는 ^ 월말에 원씩 번 적립한 원리합계는

    ^⋯ ^{  }    

^ 

∴ ^   

^ 

에서

  

^ (만원)