Т е о р е м а 17'. Множество W t всех порядковых чисел первого и второго классов не конфинально никакому своему конечному или счетному подмножеству.
В самом деле, в противном случае можно было бы найти такое конечное или счетное множество порядковых чисел второго класса, за которым не следовало бы никакого порядкового числа второго класса; но это противоречит теореме 17.
П ереходя к порядковым типам, можно сказать:
Т е о р е м а 17". Трансфинитное число coj не конфинально н и какому меньшему т рансфинитному числу (в частности, числу со).
За каждым порядковым числом а < cot следует число а + 1 <
< colt т. е. число первого рода; значит, все множество W г кон- фннально подмножеству всех чисел первого рода; последнее п од
м нож ество, следовательно, несчетно и, по доказанном у, имеет тип coj (читатель без труда и непосредственно док аж ет, что, ставя в соответствие каж дом у числу а < со, число а + 1, мы по
лучим подобное отображ ение множества на подмножество всех чисел первого рода). С другой стороны , за каждым числом а < сох следует предельное число (например, число а + со). О т
сюда вытекает, что множество W x конфинально подмножеству всех предельных трансфинитных чисел второго класса, так что
*) Так, как мы его определили.
7 2 У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Е М Н О Ж Е С Т В А . Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А [ Г Л . 3
это последнее множество такж е несчетно и имеет порядковый тип ыг.
Т е о р е м а 19. Если ос < есть предельное трансфинит ное число, то сущ ествует счетная последовательность
а „ , сх2, . . . * ос,| * • > - (4 )
возраст аю щ их порядковых чисел, меныиих чем а , имеющая число а своим пределом:
а = lim а„.
<л)
(Д ругим и словами, к каждому предельному числу а можно подо
брать последовательность чисел (4) таким обр азом , что а о к а
ж ется первым числом, превосходящ им лю бое число из п оследо
вательности (4).)
Т ак , напрнмер, co = I i mn, co-2 = iim(co со2 = lim со-п,
(л) (Л) (л)
(О
<о® = lim со", е = П т шш' ’ и т. д.
(л) ( и ) --- п раз
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 19. М ножество W (а ) всех ч и сел , меньших чем а , счетно (имеет тип а); значит, его э л е
менты могут быть занумерованы в последовательность
£о> £i> S a i • ■ ч L « i • • • (5) (причем порядок номеров в этой последовательности, вообще
говоря, ничего не имеет общ его с порядком во вполне у п о р я д о ченном множестве W (а )). Среди чисел (5) нет наибольш его (так как а — второго рода). Возьмем число а0 = Е0. Так как Е0 не есть наибольш ее число в последовательности (5), то в этой последо
вательности сущ ествую т числа, большие чем | 0. П усть ос, = \ р — т о из них, которое обладает наименьшим индексом р 1^ 1 \ имеем
P0 = 0 < P i, l p, < l p t.
Так как число не является наибольшим в последователь
ности (5 ), то в этой последовательности существуют числа, боль
шие чем \ р \ среди них возьмем число а2 = с наименьшим индексом р2; при этом р ,~ > р г > р„ = 0. П родолж ая так р ассуж дать дальш е, получим последовательность
« о а 1 = - P i ’ a 2 = £j5a> ‘ ■ ' ’ а л = ^ Р п '
причем
О = р 0 < р , < р 2 < . . . < Р п < . . . (7) Д о к а ж ем , что a = lim a „ . Очевидно, а больш е, чем любое а п.
(Л)
О стается доказать, что не сущ ествует никакого £ £ W (а), кото
Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А . А К С И О М А В Ы Б О Р А 73
рое бы превосходило все числа (6). Возьмем произвольное
£ £ И7 ( а ) . Так как в последовательности (5) фигурирую т все элементы множества W (а), то I есть некоторое \ т. Так как на
туральные числа р„ неограниченно растут, то сущ ествует одно
единственное р п такое, что
Р п < т < р п+Х\
тогда непременно 1т < Е/>п+1 ==а „ + 1. так как в противном случае число Ърп+1 было бы выбрано неправильно; было бы больше»
чем £0 , и имело бы меньший индекс т, чем число 1Р П ^П + 1 . Тео- рема 19 доказана.
Эта теорема может быть сформулирована и так:
Т е о р е м а 19'. Всякое предельное т рансф инит ное число вто
рого класса конф инально числу со.
Таким образом , всякое натуральное число конфинально 1, а всякое трансфинитное число второго класса конфинально либо 1 (если оно — первого рода), либо числу со (если оно — пре
дельное).
З а м е ч а н и е 2. Из теоремы 19 вытекает одно следствие, которому при
давалось большое значение особенно в первый, «классический» период развития теории множеств — период, не омраченный никакими сомнениями в право
мерности тех или иных, с наивной точки зрения очевидных, теоретико-множ е
ственных конструкций. Следствие, о котором идет речь, таково: если у нас уж е построено тем или иным путем множество всех порядковых чисел W (а), меньших чем данное число а второго класса, то число а. можно всегда пост
роить одним из двух следующих способов: либо прибавлением 1 к некоторому вполне определенному числу х ' £ W (а) (именно к наибольшему среди всех чисел x^W '(cc), если такое наибольшее число существует), либо переходом к пределу некоторой возрастающей последовательности (4), составленной и з чисел < а. Таким образом, в то время как каждое натуральное число полу
чается прибавлением 1 к наибольшему предшествующему ему натуральному числу, в области трансфинитных чисел одной этой операции прибавления 1 недостаточно, нужна еще операция перехода к пределу возрастающей после
довательности. Эго положение вещей выбывает, однако, следующее замечание.
В случае чисел натуральны х (и трансфинитных первого рода) переход от чисел, меньших а , к числу а является действительно вполне определенным,, так как существует одно-единственное наибольшее число в множестве W (<х), к этому числу и надо прибавить 1. Этой определенности, однако, нет, когда- дело идет о построении последовательности (4), имеющей своим пределом дан
ное предельное число а . Действительно, последовательность (4) строится совершенно автоматически и, к ак говорят, «эффективно», как скоро нами вы
брана некоторая определенная запись множества W (а) в виде последователь
ности (5). Но все дело в том, что выбор этой записи (т. е. выбор некоторого взаимно однозначного отображ ения f a множества W (а) на множество W (со) всех натуральных чисел-индексов) при настоящем состоянии наших знании является актом чистого произвола: мы не имеем никакого зак о н а, по которому можно было бы построить отображение / а для любого из несчетно-многих трансфинитных чисел а второго класса.
Мы, правда, знаем, что для каждого а , со < а < coj, такие отображения существуют, т. е ., что множество F a этих отображений непусто. Но мы не
7 4 У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Е М Н О Ж Е С Т В А . Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А [ Г Л . 3
имеем никакого правила, позволяющего из всех этих множеств Ғ а выбрать по одному определенному элементу. Вместо того, чтобы говорить о множе
стве Ғ а всевозможных отображений f a, можно было бы прямо говорить 0 множестве М а всех последовательностей (6), сходящ ихся к предельному числу а : множества М а непусты в силу теоремы 12, но непустота этих мно
жеств еще не означает наличия правила, которое позволило бы нам для всех предельных трансфинитных чисел а < o)j выбрать по одной определенной последовательности (6).
Существование множества М последовательностей (6), по о д ной последовательности для каж дого предельного а < со^ м ож ет утверж даться нами лишь на основе следую щ его общ его д о п у щ ения, известного под названием аксиомы Ц ермёло (Zerm elo) или аксиомы выбора.
А к с и о м а в ы б о р а . П уст ь дано множество ЗЛ, элементами кот орого являются попарно не пересекающиеся непустые множе
ства М а . Т огда существует множество М , каждый элемент кот о
рого есть элемент т а некоторого множества М а и которое пере
секается с каждым множеством М а лишь по одному элементу т а . Д ругим и словами, множество М , сущ ествование которого постулируется этой аксиомой, состоит из элементов, «выбранных по одному» из каж дого множества М а £ 9Jt.
Аксиома выбора была высказана свыше 70 лет тому н азад и вызвала многочисленные исследования о фактическом месте, занимаемом ею в логическом построении современной математики.
При этом оказалось, что мы не умеем обойтись без применения аксиомы Цермело при доказательстве некоторых элементарных теорем, относящихся даже не к теории множеств в собственном смысле слова, а просто к математичес
кому анализу. Возьмем, например, следующие два определения непрерывности функции /, заданной на числовой прямой:
1°. Ф ункция / называется непрерывной в точке х 0, если ко всякому по
лож ительном у е можно подобрать такое положительное б, что для всех х, удовлетворяющ их неравенству \ х 0 — х \ < б, имеем |/( х0) — f (х) | < е.
2°. Ф ункция / называется непрерывной в точке х 0, если для всякой по
следовательности х ъ х 2, ..., х п,..., сходящейся к точке х 0, последовательность 1 (хj), f ( x 2), ..., f ( x n), ... сходится к точке f ( x a).
Эти два определения, как известно, эквивалентны. П роанализируем обыч
ное доказательство их эквивалентности. П усть / непрерывна в точке х 0 в пер
вом смысле, и пусть дана какая-нибудь последовательность х х, х 2, ..., х п...
сходящ аяся к х 0. Тогда для любого в > 0 можно найти такое 6, что для всех х, лежащ их в интервале (х 0— б; x 0- f 6 ) , имеем | f(x„) — / ( х ) | < е . Взяв для дан
ного и такое б, подбираем к нему натуральное N так, чтобы для всех N было | х 0—х „ \ < б, значит, j / (х0) — f (хп) | < е. Так как это имеет место для любого е > 0, то последовательность / (х,), f (х„ ),.... f (хп), . .. сходится к f (х0).
И так, если функция непрерывна в смысле определения 1°, то она непрерывна и в смысле определения 2Q *).
П усть теперь / — функция, непрерывная в точке х 0 в смысле определения 2а.
Д окаж ем , что она непрерывна и в смысле определения 1°. Предположим противное.
*) Заметим, что доказательство этого утверждения не опирается на ак
сиому Цермело: выбор числа N производится однозначно, так как можно взять первое такое (натуральное) N , что для всех п > N имеем | * 0—х п | < б.
Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А . А К С И О М А В Ы Б О Р А 75
Тогда существует такое е > О, что при любом б > 0 в интервале (*„ — б; х0 + 6) имеются точки *<б>, для которых | /( * „ ) — / (x<6>) | Зэ е. Д авая числу б значе
ния б„ = — и беря для каждого такого 6„ некоторое х<а ,, которое обозначим
п п
для краткости через х п, получим последовательность точек х п, сходящуюся к точке х 0, в то время как для всех этих точек х п имеем l / ^ o) — f (хп) | ^ е- Доказательство эквивалентности определений 1° и 2° этим закончено.
Рассмотрим ближе вторую половину этого доказательства. Существование точек x (/j), одновременно удовлетворяющих двум условиям | х 0 — з д , | < б и
| f (х0) — /(А Г (б ))|^ е , не означает (согласно обычной точке зрения, принятой и в этой книге) того, что мы можем дать правило для фактического построения одной определенной такой точки: достаточно, чтобы могло привести к проти
воречию предположение, что множество этих точек пусто. Поэтому предполо
жение, что функция / не является в смысле определения 1° непрерывной в данной точке х 0, означает лишь, что для некоторого е > 0 и любого б > О множество М<6> тех точек х интервала [х0— б; л:0 + б], для которых \ f ( x 0)—
— / М I 8, непусто. Переход от последовательности непустых множеств М„ = М(бп)
к последовательности точек х п £ М п может быть осуществлен, вообще говоря, лиш ь путем произвольного выбора *) в каждом из множеств М п по одной точке, которую мы и обозначаем через х п .
Отметим так ж е, что в неявном виде аксиома выбора в неко
торых случаях использовалась нами в первой главе.
Применим аксиому выбора к доказательству следую щ его ин
тересного предлож ения:
Т е о р е м а 20. Существует множество Е , состоящее из дейст
вительных чисел и имеющее мощность N, (другим и словами, верно неравенство с, где с, как всегда, есть мощность конт инуума).
Д ля доказательства теоремы 20 дадим принадлеж ащ ее Л ебегу фактическое разбиение интервала 0 < t < 1 на попарно не пересекающихся множеств Е а , со ^ а й^, т. е. дадим представ
ление интервала 0 < / < 1 в виде суммы JJ Е а попарно не пе- co^a-^toj
ресекающ ихся м ножеств, причем это представление будет совер
шенно эффективным (в том смысле, что, как скоро дана точка t интервала (0; 1), можно однозначно определить то единственное множество Е а , которому она принадлеж ит). Разби ен ие интер
вала (0; 1) на множества £ а осущ ествляется так.
Занум еруем раз навсегда все рациональные числа интервала (0; 1) в последовательность
Г и Г.г , . . . , Г„, . . . (8)
*) Множества М п пересекаются: более того, очевидно, М п + 1 Е М п; поэтому, чтобы применить аксиому Цермело в том виде, как она была сформулиро
вана, надо от множеств М п перейти к множествам М п\ М п + 1, непустые среди них обозначить через М \, М'2, ..., М'п, ... и из них уже выбирать на основа
нии аксиомы Цермело по точке х„ (см., впрочем, стр. 79).
76 У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Е М Н О Ж Е С Т В А . Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А [ГЛ. 3 П усть t — произвольная точка интервала (0; 1). Ч исло t одн о-|
значно м ож ет быть представлено в виде суммы бесконечного ряда -
<==^ Г + " ^ 7 + • *• *
(в самом дел е, достаточно взять разлож ение числа t в бесконеч
ную двоичную дробь, причем в случае, если t допускает два так и х разл ож ен и я , берем то из них, которое, начиная с неко- 1
тор ого места, состоит из одних единиц; числа пг, п2, . . . , пк су т ь , номера двоичных знаков нашего разлож ения, равных 1). Имея разл ож ен и е (9), рассмотрим множество рациональных чисел
г п,> г иа> • • • I г п к ’ • • • ( 1 0 )
Возмож ны два случая:
а) М ножество (10) не является вполне упорядоченным (по величине входящ их в него рациональных чисел); в этом случае относим точку t к множеству £ И].
б) М ножество (10) вполне упорядочено и имеет тип а, ю ^ а < ю1;
в этом случае относим точку t к множеству Е а .
Таким образом , каждая точка t интервала (0; 1) попадет в одн о и только в одно множество Е а , где t o ^ a ^ c o j , так что эти множества попарно не пересекаются и дают в сумме весь интервал (0; 1). Д окаж ем , что, каково бы ни было трансфинит
ное число а второго класса, множество Е а непусто.
В самом деле, на основании теоремы 1 сущ ествую т м нож е
ства М а , состоящ ие из рациональных чисел и имеющие п ор яд
ковый тип а . Возьмем какое-нибудь одно такое множество М а \ пусть его элементы суть рациональные числа
Г Г г
' ' п2у • • • > ' nk*
(записанны е в порядке возрастания их номеров в последователь
ности (8)). Действительное число t = —— —— b . . . -4— — + . . . со-
У " 2 1 2 * 2 к
держ ится в множестве Е а .
Д ля доказательства теоремы 20 нам остается применить ак
сиому Ц ермело и выбрать из каж дого множества Е а по точке х а . П олученное множество Е — \ х а) будет иметь мощность
З а м е ч а н и е 3. Только что приведенный пример пользования аксиомой Цермело типичен: доказав при помощи этой аксиомы существование имеющих мощность t i \ множеств Е, состоящих из действительных чисел, мы в то же время лишены какой бы то ни было возможности указать индивидуальный пример такого множества: два лица, говорящие о каком-либо множестве вида
£ = { х а }, где х а £ Е а (по одной точке из каждого £ а ), никак не могут быть уверены в том, что они говорят об одном и том же множестве, так как не су
ществует объективного признака, позволяющего удостовериться в том, что оба эти лица выбрали из каж дого множества Е а по одному и тому же элементу х а .
« 4 ] Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А . А К С И О М А В Ы Б О Р А 77 В этом смы сле мы говори м , что построенное т о л ь к о что точечное множ ество Е м ощ ности есть множ ество неэф ф ективное (в п р о ти воп олож н ость м н ож еству ЗЛ мощ ности элем ентам и которого я в л яю тся сам и м н ож ества Е а \ это мно
ж ество ЭД1 эф ф ективно, его элем енты Е а определены совер ш ен н о одн означно, т ак к а к о к аж д о й д ан н о й точке t и н тервала (0; 1) мы м ож ем с к а з а т ь , к ак о м у именно м нож еству £ а она п ри н ад л еж и т).
З а м е ч а н и е 4. П ри ведем н е ск о л ь ко д ал ь н ей ш и х пр и м ер о в н а при м ене
ние аксиом ы вы б о р а.
1°. Д о к а за т е л ь с т в о теоремы: сумм а счетного м нож ества счетн ы х м нож еств есть счетное м н о ж ество — о п и р ае тся на акси ом у Ц ерм ело. В сам о м д ел е, пусть дан о счетное множ ество счетны х множ еств Е х, Е г...Е п, ... Д л я простоты п р ед п о л агаем , что м нож ества Е п по п ар н о не п ер ес ека ю тся. Т ак к а к к а ж д о е и з множ еств Е п счетно, то д л я лю бого п сущ ествует по к р а й н е й мере одно взаи м н о однозначное о то б р аж е н и е м нож ества Е п на множ ество всех н а т у р а л ь н ы х чисел. Д р у ги м и словам и , м нож ество М п, э л е м ен там и к о то р о г о являю тся взаим но одн означны е отоб р аж ен и я множ ества Е п на м нож ество всех н а т у р а л ь ны х чисел, непусто. М н ож ества М п д л я р азл и ч н ы х п п оп ар н о не п ер ес ека ю тся. П р и м ен яя акси ом у Ц ерм ело, вы бираем из к аж д о го М п по одному эл е м енту. Это дает нам возм ож ность д ля каж дого п некоторы м определенны м способом за п и с а ть м н ож ество Е в виде бескон ечной п ослед овательн ости:
fn = \e i, l п п ей,п I со
Т а к и м образом , все м нож ество Е = U Е п зап и сан о в виде следую щ ей табли цы :
Л pi
ег е2>ез- el, . вһ е%Г 2’ 3’ 4, е2. e 'j, ’ k'ef, J р3
ev еЬ е\, - e3
П рП. рП рп рп.
eL, ek>
что дает нам во зм о ж н о сть за н у м е р о ва т ь все элем енты м нож ества у ж е совер- ш енно эф фективно (§ 4 г л . 1, стр. 19).
2°. Проведем с полной а кк у р атн о ст ью (опираю щ ееся на акси о м у Ц ерм ело) д о к а за те л ь с тв о теоремы 3 § 4 гл. 1:
Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Д о к а з а т е л ь с т в о . М ножество Е бесконечно; это о зн ач ает, что при лю бом н ату р ал ьн о м п м нож ество Е содерж ит п од м нож ество, состоящ ее из п элем ен тов. П оэтом у, о б о зн ач ая через 9Л„ м н ож ество всех п од м н ож еств м но
ж еств а Е, к аж д о е из ко то р ы х содерж ит ровн о п\ элем ен тов, мы м ож ем у т
в ер ж д а т ь , что при лю бом н ату р ал ьн о м п м нож ество Щ1„ непусто. О чевидно, н и к а к и е два м нож ества ЗД1р , Ш19 , р ф q, не п ер есекаю тся. П р и м ен я я а к с и о м у Ц ер м ел о , выберем из каж д о го м нож ества по одному эл ем ен ту М п. И меем п ослед овательн ость
А1±, ЛІ2, М п * •••
Т а к к а к м нож ество М п состоит из п\ элем ен тов, а число элем ентов м нож е
с т в а Mi U- - - меньш е чей
( п - 1 ) [ ( п - 1 ) 1] < п\,
7 8 У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Е М Н О Ж Е С Т В А . Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А ( Г Л . 3
то в м н о ж естве AfB\ ( A f t U - - U M n - i ) мож но вы б р ать элем ен т х„. М н ож ество
*I. Ч ... *«. ...
е сть счетное подмножество м нож ества Е.
В о п р о с . Ч ем о тли чается то л ь к о что при веденное д о к а за те л ь с т в о о т д о к а з а т е л ь с т в а той ж е теорем ы , дан н ого в § 4 гл. 1, и в чем пр еи м у щ ество т еп ереш н его д о к а за т е л ьс т в а с р ав н и те л ь н о с тогдаш ним ?
§ 5 . Т е о р е м а Ц е р м е л о
Т е о р е м а Ц е р м е л о гласит:
Всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным *) Д оказательству (опирающемуся на аксиому Ц ерм ело) п ред
пошлем одно общ ее замечание, касающ ееся отображ ений мно
ж еств .
В первой главе (§ 3) понятие отображ ения м нож ества X в множество Y было введено как новое элементарное понятие, не подлеж ащ ее определению: было просто ск азан о, что если к а ж дом у элементу х множества X поставлен в соответствие н еко
торый элемент y = f ( x ) множества Y , то имеется отобр аж ен ие f множества X в Y . Теперь мы заметим, что в действительности понятие отображ ения сводится к понятию множ ества. Именно»
н аряду с данными двумя множествами X н Y рассмотрим мно
ж ество Z, элементами которого являются всевозможны е пары (х , у ), где х £ X , у £ Y . М ножество всех таких пар называется п ро
изведением множества X на множество Y (К антор) и о б о зн а чается через X x Y . Задат ь (однозначное) отображение f мно
жества X в множество Y — значит задат ь некоторое подмнож е
ство Ф множества Z = X x Y , удовлетворяющее условию: каж дый элемент х 0 множества X входит в одну и лишь в одну п а р у г „ —(х0, у 0), являющуюся элементом множества Ф. Если (х0, у 0) есть (единственная) пара z 0 £ Ф, содерж ащ ая данный элемент х и£ Х , то элемент у 0 этой пары и есть, по определению , о б р аз
*) Мы даем теорем у Ц ерм ело в ее тради цион ной ф орм улировке. П о поводу этой ф орм ули ровки вспомним, что мы определили упорядоченное м н ож ество к а к совокуп н ость двух понятий: во-первы х, некоторого м нож ества М и, во- ғто р ы х , имею щ егося меж ду любыми двум я различными элементами у мно
ж ества М отнош ения х < у (или у < х); поэтому в ы р аж ен и я «данное (вполне) упорядоченное множ ество» и «множ ество всех элем ентов данного (вполне) у п оряд о
ченного множества» имеют неодинаковое с од ерж ан и е (так ж е к а к р а зн о е со д ер ж а
ние имеют вы р аж ен и я «данное метрическое пространство» и «м нож ество всех точек д анного метрического пространства» или «данная группа» и «множ ество всех эле
ментов данной группы»). Е сли соблю дать полную логи ческую а к к у р а тн о ст ь , т о теорем у Ц ерм ело следовало бы сф орм улировать так : «/Со всякому множеству су
ществует вполне упорядоченное множество, множеством всех элементов которого является данное множество». З а исклю чением слу ч аев, когд а данное множ ество М пусто или состоит л и ш ь из одного элем ен та, д л я него су щ еству ет более одного вполне упорядоченного м нож ества, множеством всех элем ентов ко
т оры х оно я в л я ет ся .
§ 5 ] Т Е О Р Е М А Ц Е Р М Е Л О 79
y a = f ( x a) элем ентах,, при отображении f. Обратно, если дан эл е
мент у„ £ Y, то множество всех элементов х £ X , входящ их к ка
кую -нибудь из пар (х, у 0) £ Ф, называется прообразом элемента y 0 ( : Y при отображении / и обозначается через f ~ l ( y 0).
Мы можем теперь дать аксиоме Ц ермело такую формулировку:
Дл я всякого множества 2)1 попарно не пересекающихся непус
т ы х множеств М а существует отображение f множества Ш в сум м у JJ М а всех данны х множеств М а такое, что образом вся-
а
кого элемента М а £ 931 при этом отображении является некото
рый элемент т а множества М а :
f ( M a) = m a ^ M a .
Д ок аж ем , что в этой формулировке аксиомы Ц ермело можно отказаться от требования, чтобы множества М а попарно не пе
ресекались. Д ок аж ем , другими словами, следующ ий
О б о б щ е н н ы й п р и н ц и п в ы б о р а . Дл я всякого множества 9,U непустых множеств М а существует отображ ение множества 9Ji в сум м у | J М а множеств М а , при котором образом каждого
а
элемента М а £ 9Л является некоторый элемент т а множест
ва М Л.
Д оказательство заклю чается в весьма простом сведении док а
зываемого предлож ения к аксиоме Ц ермело в ее первоначальном виде. Рассмотрим, в самом дел е, наряду с каждым данным мно
ж еством М а множество М'а , элементами которого являются все
возможные пары вида (М а , т а ), где М а g 3)f ф иксировано, а т а суть всевозможные элементы множества Л1а . Ставя в соответ
ствие каждому элементу ( М а , т а ) множества М'а элемент т а множества М а , содерж ащ ийся в паре (Л4„, т а ), получим взаимно однозначное соответствие меж ду множеством М ’а и множеством М а . М ножество всех множеств М'а обозначим через 931! Д вум р а з
личным элементам М а и Мр множества 9Л соответствуют непе- ресекающ иеся множества М'а и /Ир, так что к множеству ЭДІ' множеств М'а м ожно применить аксиому Ц ермело в ее первона
чальном виде и выбрать из каж дого множества М'а по элементу т 'а = ( М а , ща ) 6 M'a. Ставя в соответствие каж дом у М а элемент т а (тот самый, который содерж ится в паре (т а , М а ), являю щейся выбранным нами элементом т'а множества М'а), получим отобр а
ж ение т а = f ( М а ), сущ ествование которого утверж дается в об о б щенном принципе выбора. Обобщенный принцип выбора мы будем кратко формулировать так:
Если дано какое-нибудь множество 9К непустых множеств М а , т о можно из всех множеств М а выбрать по элементу т а
8 0 У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Е М Н О Ж Е С Т В А . Т Р А Н С Ф И Н И Т Н Ы Е Ч И С Л А [ Г Л . 3
(причем среди выбранных элементов могут быть и совпа
даю щ ие).
При доказательстве теоремы Цермело нам будет удобна еще следую щ ая
Л е м м а 1. Д ля т ого чтобы данное упорядоченное множество М было вполне упорядоченным, достаточно (и, очевидно, необходимо), чтобы в множестве М и в верхнем классе любого сечения мно
жества М был первый элемент.
В самом дел е, предполож им, что в данном упорядоченном м нож естве М наше условие выполнено. Пусть Е — к акое-нибудь н епустое подмножество множества М . Д ок аж ем , что в Е имеется первый элемент. Это, очевидно, верно, если Е содерж и т первый элемент д:0 всего множества A t. Пусть элемент х 0 не содерж ится в Е . П роизведем сечение множества М , отнеся к первому к л ассу А все те элементы х £ М , которые предшествуют всем элементам множества Е, а ко второму классу В — все остальные элементы множества М. Так как х „ £ А и Е ^ В , то оба класса непусты; кроме того, из х £ А, у £ В сл едует х < у, так что мы действительно имеем сечение. Пусть у 0— первый элемент в В (такой сущ ествует по условию ). Д ок аж ем , что у 0 £ Е (так как Е ^ В , то отсюда будет следовать, что у а — первый элемент в Е).
Н о если бы у 0 не содерж алось в Е, то для лю бого у £ Е мы имели бы у п < у , откуда у „ £ А , вопреки предполож ению . Лемма 1 д о к а за н а .
П ереходим к доказательству теоремы Ц ерм ело. Это д о к а за тельство (заимствованное у Х аусдорф а) довольно точно воспро
изводит доказательство самого Ц ермело.
П усть дано произвольное множество М . Так как пустое (и вообще всякое конечное) множество, очевидно, может быть вполне упорядочено, то мы можем предположить множество М непустым (даж е бесконечным). Рассмотрим множество всех н е
пустых подмножеств Q a множества М и согласно обобщ енному принципу выбора в каждом из этих множеств Q a выберем по элем ен ту р а . Этот элемент р а (который считаем определенным для к аж дого непустого Qa s М) называем отмеченным элементом в Q a . Отмеченный элемент множества Q a называем такж е «п р и даточным» элементом к множеству Р а = M \ Q a и обозначаем ч ерез f ( P a). Таким образом , для всякого множества Р а а М одн озн ачно определен придаточный элемент f ( P a) ~ P a £ Q a =
= М \ Р а. М ножество Р'а = P a U р а называем «преемником» мно
жества Р а . П реем ник определен, т аким образом, для каждого множества Р а а М .
Н азовем теперь цепью множества М всякое множество Қ , удовлетворяю щ ее следующим условиям:
а) элементами множества Қ являются подмножества мно
ж ества М;