Т е о р е м а 2 1 '. Всякое зам кнут ое множество Ф на прямой получается вычитанием из прямой конечного или счетного числа
интервалов, смежных к множеству Ф.
О п р е д е л е н и е 8. Замкнутое множество без изолированных точек называется совершенным.
136 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ Г Л . 4
Д ок аж ем еще следующ ее предложение:
Т е о р е м а 22. Д л я того чтобы точка х зам кнут ого множе
ст ва Ф c z R 1 была изолированной точкой множества Ф , необходимо и достаточно, чтобы эт а точка была общим концом двух смеж
ных интервалов к множеству Ф .
В самом деле, если точка х есть общий конец д в у х смеж ны х к Ф интервалов (а; х) и (х; Ь), то интервал (а; Ь) содерж ит еди н ственную точку множества Ф , именно точку х, которая, таким обр азом , является изолированной.
Обратно, пусть х ■— изолированная точка множества Ф и пусть интервал (а; Ь), содерж а точку х, не содерж ит никакой другой точки множества Ф. Возьмем какую -либо точку х' интервала (а; х)\ она леж ит в некоторой компоненте б' множества Г = / ? ' \ ф , и эта компонента содержит интервал (а; х) *). Точно так ж е компонента б", содержащ ая какую -либо точку х" интервала (х; Ь), содер ж и т весь этот интервал. Точка х является, очевидно, пра
вым концом интервала б' и левым концом интервала б", что и тр ебовалось доказать.
С л е д с т в и е . Д ля того чтобы зам кнут ое множество Ф c z R 1 было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы никакие два смежных к Ф инт ервала не имели общего конца.
З а м е ч а н и е 1. Пусть А — какое-либо подмножество действи
тельной прямой; всякое множество, являющееся пересечением множ ества А с некоторым интервалом, назовем (открытым) куском множ ества А . И з теоремы 21 следует, что всякое множ ество, открытое в А , есть сумма конечного или счетного множества кусков множества А .
2 . Н и г д е н е п л о т н ы е м н о ж е с т в а н а п р я м о й и н а п л о с к о с т и . К а н т о р о в о с о в е р ш е н н о е м н о ж е с т в о . Если множество М нигде не плотно на /?*, то каждый интервал (a; f i ) c z Rl содерж ит по край
ней мере одну точку х, не являющуюся точкой прикосновения множества М . Тогда некоторая окрестность ( х — е ; х + е) точки х не содерж ит ни одной точки множества М. Итак, для того чтобы множ ество М было нигде не плотным на R 1, необходимо (и, оче
видно, достаточно), чтобы каждый интервал (a; f i j a R 1 содерж ал интервал (а'; Р'), свободный от точек множества М . Аналогично доказы вается, что для того, чтобы множество М было нигде не плотным в R- , необходимо и достаточно, чтобы в каждом круге леж ал меньший круг, не содержащий ни одной точки м нож е
ства М . Лю бой отрезок, лежащий на плоскости, любая ломаная линия, а такж е такие кривые, как эллипс, гипербола, парабола,
м о г у т служ ить примерами нигде не плотных совершенных мно
ж е с т в н а плоскости.
*) В ообщ е, в сяк и й и н те р в ал , со д ер ж ащ и й ся в откры том м нож естве Г , л е ж и т в некоторой ком поненте это го м нож ества.
П О Д М Н О Ж Е С Т В А П Р Я М О Й и п ло с к о сти 137 Напомннм, что плоской алгебраической кривой назы вается мно
ж ество А тех точек (х , у ) плоскости, которые удовлетворяю т некоторому заданном у уравнению вида
/ ( * , у ) = О,
где f (х, у ) есть многочлен от переменных х , у , не равный т о ж дественно нулю . Д ок аж ем следую щ ее предлож ение:
Т е о р е м а 23. Всякая алгебраическая кривая есть множество, нигде не плотное на плоскости.
Л е м м а . Существует не более конечного числа т аких значе
ний переменного у , при подстановке которых в многочлен / (х, у) получается многочлен от х , тождественно равный нулю.
В самом д ел е, напишем тож дество
/ (х, у ) = р 0 (у) х п + р 1 (у) X'1- 1 + . . . + P „ -i (У) х + р п (у), получаемое, если располож ить многочлен / (х, у) по убывающим степеням х. Здесь коэффициенты р и(у), р А у ) , ■■■, р п (у) суть многочлены от у с постоянными коэффициентами. Если при дан ном значении у = у„ многочлен от х
/ (х, у„) = р 0 (г/0) х п + р 1 (У„) х п~ г + . . . + р п- г (у о) х + р п (у „) тождественно равен нулю , то это означает, что число у 0 является Корнем алгебраических уравнений р в (у) — 0, Р і ( у ) = 0, . . .
■ • •, Рп (У) — 0- Так как каж дое алгебраическое уравнение имеет лишь конечное число корней, то лемма доказан а.
Д окаж ем теп ерь, что алгебраическая кривая А , оп ределяе
мая уравнением
f ( x , у) = О,
есть множество, нигде не плотное на плоскости. Д л я этого д о статочно доказать, что всякое открытое множ ество Г на п лоско
сти содерж ит открытое множество Г0, свободное от точек кривой А. Возьмем какую -нибудь точку г 0 = (х„, у„) множества Г , выбран
ную под единственным условием, чтобы у„ было отлично от к аж дого из того конечного числа значений у , при которых f (х, у) превращ ается в тож дественно равный нулю многочлен относи
тельно х. П роведем прямую у = у а, на ней f (х, у ) может о б р а титься в нуль лишь для конечного числа значений х. Прямая у — у а пересекается с открытым множеством Г по открытому на этой прямой м нож еству / / , содерж ащ ем у точку г 0 и, сл ед ов а
тельно, непустому. Значит, м ож но найти интервал Н 0, леж ащ ий в Н. Возьмем на интервале Н 0 какую -нибудь точку z = ( x , y „ ) , в которой значение функции f (х, у) отлично от н ул я. В си л у т ого, что многочлен / (х, у) есть непреры вная функция от х, у *),
■ *) Это мы п редполагаем известны м и з а н а л и з а .
138 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ Г Л . 4
сущ ествует такое е > 0, что во всех точках окрестности U (г, е) ф ункция f (х, у) отлична от н ул я. С другой стороны, так как Г откры то, то p ( z , / ? - \ Г ) = е' > 0. М ножество T„ = U (г, е"), где е"
есть наименьшее из чисел е и е ', и есть искомое открытое мно
ж ест в о, содерж ащ ееся в Г и свободное от точек кривой А.
Примеры совершенных нигде не плотных множеств на прямой дал ек о не столь элементарны, как приведенные сейчас примеры, относящ иеся к случаю плоскости. Простейш ее такое м нож ество было построено Кантором и известно под названием кант орова совершенного множества или канторова дисконт инуум а. Это зам е
чательное множество представляет интерес значительно больш ий, чем интерес отдельного примера. Оно имеет большое принципиаль
ное значение и постоянно применяется всюду, где вообще при
м еняется теория множеств.
Возьмем сегмент [0; 1] числовой прямой. Обозначим его через Д и будем называть сегментом «нулевого ранга». На нем возьмем два сегмента А0 0; и Aj ; l j . Эти сегменты будем на
зы вать сегментами «первого ранга», а лежащ ий м еж ду ними интервал 6 = j — интервалом «первого ранга». С каждым из сегментов А0 и А, поступим так ж е, как с сегментом Д, а именно на Д0 и на А, возьмем по два сегмента «второго ранга»;
это б у д у т первая и третья трети каж дого из сегментов первого ранга, т. е.
^00 0; *\,i — (на Д0
^ііі —•
]
Д п = (на А,);м еж ду ними леж ат соответственно интервалы «второго ранга»
, т. е. средняя треть сегмента Д0,
и
6Х= ( д ; — средняя треть сегмента А,.
(рис. 7). Это построение продолжаем безгранично: пусть построены
2" сегментов //-го ранга Д ( к а ж д ы й из индексов / 1( . . . , i n принимает значения 0 и 1); каждый из сегментов Д р а з делим ца три равных по длине куска: два крайних сегмента Д»,■ ■ ‘„о 11 t i (первая и третья трети сегмента Д ц ...,- ) и лежащ ий м еж ду н и м и : интервал 6ut..,i (средняя треть сегмента
ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ и п л о с к о с т и 139 ); это и будут два сегмента и интервал (м + 1)-го ранга, леж ащ ие на данном сегменте п -го ранга А ■
З а м е ч а н и е 2. Так как сегменты /і-го ранга н аходятся,
^ 1
попарно, на положительном расстоянии др уг от др уга, то это ж е и подавно справедливо для леж ащ и х на них интервалов (/? -{-1 )-го ранга. Интервалы рангов ^ / г леж ат м еж ду сегментами /г-го ранга и потому находятся на положительном расстоянии
$£■() 3 &tD 4/
)■ <"'*—ғ---ц—^ ^ --- 4— F ^ —I
. А0„ йт . Ь/q, йт . йм
л % I 2 Д .
3 3 1 *
Рис. 7.
oV всех интервалов ( / г +1)-го ранга. Сумму всех сегментов /г-го ранга обозначим через П„. Э то— замкнутое множество, дополне
ние к которому состоит из двух бесконечных интервалов ( — оо; 0) и (1; -J-oo) и из всех интервалов ранга ^ / г . Поэтому пересече
ние П = О П„ всех множеств II,, есть замкнутое множество, имею- П
щее своим дополнением сумму всех интервалов б1',.. »,, (всевоз
можных рангов) и двух бесконечных интервалов ( — оо; 0) и (1; + о о ). Отсюда, в частности, следует, что концы всех интер
валов- 6,-, ^ . .< , а такж е точки 0 и 1 принадлежат множеству П, так что интервалы б,-,.. , а такж е интервалы ( — оо; 0 ) и (1 ; + о о ) суть все смежные интервалы к замкнутому множеству П . Мно
жество 11 и называется канторовым множеством или кант оро-