ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ И ОБЩУЮ ТОПОЛОГИЮ

Все приведенные примеры множеств имеют одну суть. свойство: все эти множества состоят из некоторого конечного числа элементов; Последнее предложение мы понимаем как означающее, что в каждом из случаев упоминается вопрос «сколько?» люди в комнате, гуси на пруду, делители числа 30) мы можем ответить, прямо указав известное нам целое число (например, число делителей числа 30 равно 8), или указав, что оно дает целое число ответ на вопрос есть в любом случае, хотя на данный момент и учитывая состояние наших знаний мы можем не знать, что именно это такое. Если в этом случае для всех n L „ „ „ +1, соответственно „ „ c :L n+1, существуют более сильные соотношения, то ряд (3) называется строго убывающим (строго возрастающим).

М ножество А состоит из всех точек прямой линии (которую примем за ось абсцисс некоторой координатной си стем ы )*)

Сущ ествует взаимно однозначное соответствие м еж ду мно
Н е сущ ествует ни взаимно однозначного соответствия м еж ду А и частью В , ни взаимно однозначного соответствия
Существует взаимно однозначное отображ ение множества X на некоторое подмнож ество множества Ү х
Не сущ ествует взаимно однозначного отображ ения множе

Пусть г — произвольное рациональное число; относим к к л ассу А все рациональные числа, меньшие чем г, а к классу
Отнесем к классу А все отрицательные рациональные числа, число 0 и все положительны е рациональные числа, квадрат кото
либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г ( т огда в верхнем классе нет наименьшего числа);
либо в верхнем классе В имеется наименьшее число г ( т огд а в нижнем классе нет наибольшего числа);
либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего, ни в верхнем классе нет наименьшего числа
Л ? = Л л; тогда = и £ = тр
либо в А' нет наибольш его, а в В' нет наименьшего числа

Независимо от положительного числа е, можно найти два рациональных числа а и Ь, удовлетворяющие неравенствам а < § < Ь и Ь — а < е. Да, иначе в А существовало бы некоторое а > £; если мы возьмем рациональное а' между I и а, то получим противоречие, так как а' £ А', а' >.

М ножество всех целых отрицательных чисел имеет своею верхнею гранью число — 1, принадлеж ащ ее к этому множ еству
М ножество всех отрицательных чисел имеет своею верхнею гранью число 0, не принадлеж ащ ее к этому множ еству
Интервал (0; 1) имеет верхнею гранью число 1, не при
Сегмент [0; 1] имеет верхнею гранью число 1, принадле
М ножество М , состоящее из всех рациональных чисел, меньших единицы, имеет верхнею гранью число 1, не принад
В нижнем классе Л есть наибольший элемент а , и в в ер х нем классе есть наименьший элемент Ь; такое сечение назы вает
В нижнем классе есть наибольший элемент но в верх
В нижнем классе нет наибольш его, но в верхнем есть наименьший элемент | (сечения типов 2, 3 называются дедекин-
В нижнем классе нет наибольш его, а в верхнем нет наи

Множество M, состоящее из всех рациональных чисел меньше единицы, имеет родительским номером 1, не менее одного, старшим номером является 1, не менее единицы. У подкласса нет самого большого элемента, но у суперкласса есть самый маленький элемент | (секции типов 2, 3 называются дедекиндовским наименьшим элементом | (секции типа 2, 3 называются дедекиндовскими секциями', элемент £ называется элементом, определяемым этим сечением). Для любых двух порядковых чисел а и р всегда один и только один из трех случаев: либо а < р, либо а = р, либо а > р.

По самому определению cox — это первое трансфинитное несчетное число, каждое порядковое число a < конечно или счетно. Действительно, пусть существует такое число m; поскольку m < N, то существует подмножество M множества Wlt мощности m; но в силу неравенства (3) множество М несчетно и, следовательно, согласно только что доказанному, имеет мощность. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Теорема 17 послужит нам поводом к введению важ ного п оня

Теорема 17 может быть теперь сформулирована и следующ им образом

Число р ( х , х ' ) равно нулю тогда и только тогда, к огда х

Для доказательства теоремы 20 мы приведем фактическое разбиение Лебега интервала 0 < t < 1 на попарно непересекающиеся множества Е а, со ^ а t, т. Любое кардинальное число т, являющееся суммой кардинальных чисел, меньших т. действительных чисел, взятых в числа < m называются нерегулярными; вот и все. представлено в виде суммы, число слагаемых которой меньше f t a + b и каждое слагаемое также меньше ftcc+i). Сумма полностью упорядоченного множества типа < wa +i, порядковый номер < wa +i есть порядковый номер < wa +i.

Отсюда следует, что за каждым числом £ < cox следует начальное число comp < cox: фактически, если бы после числа £ < si не было следа, степень которого мы обозначаем через . Поскольку x — исходное число, 0 имеет мощность b < Их • Множество \VX является конфинальным с частью своего подмножества b типа 0 < cox и мощности <. Итак, для нерегулярного cox (и даже для любого cox с предельным индексом m) за каждым E, < cox следует начальное число вида coa+i < cox.

Осталось доказать, что упорядоченное множество A является конфинальным со своим полностью упорядоченным подмножеством C. Предполагая противное, пусть элементом x a в A будет элемент с наименьшим индексом a, следующий за A со всеми элементами из C. Это утверждается, что для каждого v < a x v x в L имеем: . на самом деле, в противном случае для некоторого v < a существовало бы x v^~-Xa, и, следовательно, x v с меньшим индексом v < a следовало бы за всеми элементами множества C. Итак, действительно, x v ~ $ x a для всех v < единицы.

Каждое открытое множество G содержится в наименьшей возможной сущности: это множество <[G]>. Множество М топологического пространства X называется G-y-множеством (m una-G^-множеством), если оно re. часть счетного числа открытых множеств в пространстве X. Множества, дополнительные к множествам Ge, называются многими. 1 следует, что множество имеет тип Γa тогда и только тогда, когда оно является суммой счетного числа замкнутых множеств. При этом для получения множеств типа (n, o) достаточно взять счетные суммы множеств типа (n — 1, b), а для получения множеств типа (n, b) — счетные пересечения множеств типа ( n - 1, o), так что как счетные суммы множеств типа (n - 1, a), соответственно, счетные пересечения множеств типа (n - 1, b), мы снова даем нам множества одного и того же типа. ) .

Заметим лишь, что если пространство

A^XAf.^AMtXVW,),

Тогда X — существует закрытое (открытое) множество. тело F, пересекающееся с f ~ LB, что дает его множество Т. Рассмотрим случай взаимно однозначного отображения /: X -> Y пространства X в пространство Y. Очевидно, мы получили бы ту же топологию на ШІ, если бы мы назвали любое множество 9J по 9А, замкнутое в £90, прообразом которого было бы называть любое множество 9J с 9А, замкнутое в £90, прообраз которого замкнут в X.

В силу теоремы 11 единственными непустыми связными множествами, лежащими в множестве всех рациональных точек

Поэтому, если мы возьмем первую рациональную точку пространства Rn, попадающую в данную область £ S, мы получим взаимно однозначное отображение системы S на данную область.

Рассмотрим семейство 23 всех сферических окрестностей 0 (d, r), где точка d проходит через все точки счетного множества D, а r — произвольное положительное рациональное число. Если вес пространства X равен w, то каждый базис 23 пространства X содержит подмножество 25' мощности w, которое также является базисом пространства X.

Среди многочисленных примеров топологических про

Теорема 21 часто формулируется так

М ножество П находится во взаимно однозначном соответ
М ножество всех конечных смежных интервалов к канторову дисконтинуум у П естественным образом упорядочено («слева н а
К анторово множество П может быть определено как мно
в нижнем классе А есть самый правый, но в верхнем к л ассе В нет сам ого левого интервала;
в Л нет сам ого правого, но в В есть самый левый интервал;
ни в Л нет самого правого, ни в В нет сам ого левого интервала

Каждому у а £ 51 поставим в соответствие некоторое действительное число ха такое, что множество таких а, для которых ха = ф = 0, не более чем счетно и такое, что сумма квадратов чисел х а конечна.

Теорема 30 доказана

Все, что является вполне упорядоченной убывающей системой замкнутых множеств в пространстве X, счетно. новая база, пронумерованная всеми порядковыми номерами первого и второго классов:. В них заключается то, что для любого порядкового номера £, меньшего некоторого а < toj, строится ординал < coj, так что при £ < £' < а Vj имеем. Таким образом, для любого a < ь строится va такое, что множества FVan . число которых несчетно и все они отличны друг от друга, что противоречит теореме 31. Это доказывает теорему 31'. Множества E w< образуют вполне упорядоченную систему убывающих замкнутых множеств и тогда y, примерно с a < 10!, совпадают друг с другом.

Очевидно, что и множество W, и его стандартное отображение f полностью определяются заданием базиса 23 пространства X. Это следует из определения карты.

С другой стороны, если каждой точке t этого интервала сопоставить точку ( t, y j квадрата Q, то мы получим очевидное взаимно однозначное отображение интервала (0; 1) на часть квадрата Q. Действительно, если множество M не полностью ограничено X, то существует некоторое e > 0, для которого M не содержит e-решетки. Чтобы множество, лежащее в евклидовом пространстве Rn, было компактным в Rn, необходимо, чтобы достаточно, чтобы оно было ограниченным.

Любой компакт Ф для любого 8 > 0 можно представить в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра < е. Можно найти такое Ь > 0, что для любых двух точек х' 6 X, х" 6 X, Очевидно, что каждое одинаково непрерывное отображение таковым не является.