Теорема 30 доказана

С л е д с т в и е . Всякое зам кн ут ое• множество Ғ, лежащее в про­

ст ранст ве со счетной базой, либо не более чем счетно, либо есть сум м а несчетного совершенного множества своих точек конденса­

ции и не более чем счетного множества остальных точек.

В самом деле, обозначая через Ф множество всех точек к он ­ денсации множества Ғ, имеем Ф ^ Ғ , в то время как Ғ \ Ф по первой теореме Линделефа не более чем счетно.

В т о р а я т е о р е м а Л и н д е л е ф а . Какова бы ни была несчетная система 31 открытых множеств G, заданная в п р о ­ ст ранст ве X со счетной базой, в системе можно найти счет­

ную или конечную подсистему Э(0, объединение элементов кот о­

рой совпадает с объединением элементов системы 31.

Д л я доказательства возьмем какую -либо счетную базу

Г„ Г.г, . . . , Г„, . . . (1) пространства X . Элемент Г„ этой базы назовем «отмеченным», есл и Г„ содерж ится по крайней мере в одном G £ 81. Пусть

— все «отмеченные» элементы база (1). К аж дое Гпл, содерж и тся, вообще говоря, в нескольких (возм ож но, и в бесконечно многих) различных G( z V \ выберем для каж дого «отмеченного» Ynk вполне определенное содерж ащ ее его G ^ V , которое обозначим через Gk.

Получим не более чем счетную подсистему

Gi. G-i...Gk (2) системы V. Мы утверждаем, что сумма всех множеств (2) равна сумме всех вообще множеств G g V. Достаточно показать, что,

П Р О С Т Р А Н С Т В А СО С Ч Е Т Н О Й Б А З О Й 161 какова бы ни была точка х, принадлежащ ая каком у-нибудь G £ V, найдется в (2) множество Gk, содерж ащ ее точку х. Н о, в самом дел е, если x £ G , то (так как G открыто, а (1 ) есть база) сущ е­

ствует Г„, содерж ащ ее х и содерж ащ ееся в данном G. Тогда Г„

по самому определению есть отмеченный элемент базы (1) и, сл е­

довательно, содерж ится в некотором Gk из последовательности (2 ).

Это Gk содерж ит и точку х, что и требовалось док азать.

Т е о р е м а 31 (Б эр — Х аусдорф ). Всякая вполне упорядоченная возрастающая или убывающая система множеств, которые либо все зам кнут ы , либо все открыты в прост ранст ве X со счетной базой, содержит не более счетного числа различных элементов.

Д оказательство опирается на следую щ ую лемму:

Л е м м а . Вполне упорядоченная ст рого возрастающ ая (ст рого убывающая) система множеств

M 1c z M 2cz . . . с : М а с: . . .

(соответственно M 1zdM 2zd . . . . . . ) , состоящих из н ат у­

ральных чисел, не более чем счетна.

В самом д ел е, пусть

ха € М а+1\ М а , соответственно х а £ М а\ М а+1.

Если бы система всех М а была несчетной, то мы имели бы не­

счетное множество попарно различных натуральны х чисел ха , чего не может быть.

Докаж ем теперь теорем у Б эр а — Х аусдорф а. Достаточно док а­

зать ее утверж дение, касающееся вполне упорядоченны х возрас­

тающих и убывающих систем открытых множеств: переход к д о ­ полнительным множествам даст утверж дения, касающиеся систем замкнутых множеств. Итак, предположим, что в данной вполне упорядоченной системе открытых множеств имеется несчетная подсистема различных множеств

Gj ^aG^c: . . .c : G a cz . . . , соответственно Gl zz>G.i zz . . . ZDGa zz . . . Возьмем какую -нибудь счетную базу пространства и раз навсегда занум еруем ее элементы:

U lt U t ...U n, . . .

Построим теперь для каж дого Ga множество М а , состоящ ее из всех тех натуральны х чисел п, для которых U n ^ G a . Очевидно, из того, что Ga czGp, сл едует, что M a czMp. Поэтому множества М а находятся в условиях леммы, и, значит, среди них не м ож ет иметься несчетного числа различных множеств. Поэтому и среди множеств Ga не может иметься несчетного числа различных мно­

ж еств. Теорема Б эра — Х аусдорф а этим док азан а.

Та ж е теорема может быть высказана и следующ им образом (мы приводим лишь ф ормулировку, касающуюся убывающих

6 П . С . А л ек сан д р о в

162 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ Г Л . 4

систем замкнутых множеств, предоставляя остальные три ф орм у­

лировки читателю):

Т е о р е м а 3 1 .' Какова бы ни была вполне упорядоченная убы ­ вающ ая система зам кнут ых множеств прост ранст ва X со счет­

ной базой, занумерованных всеми порядковыми числами первого и вт орого классов:

f 03 f 12 F ! 3 . . . 3 F a 2 . . . , а < (Oj, (3) найдет ся такое а , что все множества (3), начиная с а -го, совпа­

дают между собой:

F а ~ Ғ а +i ~ Ғ а + г — • • •

Д о к а з а т е л ь с т в о о т п р о т и в н о г о . Если такого а нет, то для каж дого а < о»! можно найти наименьшее такое (} (а), а < (5 (а) < Ш], что Ғ а Ф ^ р (а> и, следовательно, Ғ а і э Ғ р (а ). Положим теперь v o = 0 и предпо­

лож им , что для всякого порядкового числа £, меньшего чем некоторое а < toj, построено порядковое число < coj, так что при £ < £' < а имеем Vj. < v и Ғу^ з F v ^ . Д л я построения числа va обозначим через а ' наименьшее число

< (Ol большее чем все v^., £ < а , и положим va = p (а ') > а ''. Тогда F Va cz cz F a ’ 9= Fy c r FXq т. e. FV(X cz Fv^ для любого £ < a .

7 <a £ <a

Таким образом, для любого а < щ строится va так, что множества FVa„

число которых несчетно все различны между собою в противоречии с теоремой 31. Теорема 31' этим доказана.

П усть теперь Е — произвольное множество, леж ащ ее в про­

странстве со счетной базой. Обозначим через Е а) прои зводн ую множ ества Е (т. е. множество всех предельных точек этого мно­

ж еств а). Если дан о £ (а), то определяем Е {а+1) как прои зводн ую множ ества Е т . Если |3— предельное трансфинитное число вто­

рого класса, то обозначаем через пересечение всех Е {а), а < р. О пределенное таким образом для любого порядкового числа а < замкнутое множество £ (а) называется производной порядка а от множества Е. М ножества E w< образую т вполне упорядоченную систему убывающих замкнутых множеств и потом у, начиная с некоторого a < 10!, совпадают м еж ду собою . Очевидно, м нож ество E ia) = E ia+1) есть соверш енное множество. И так, и м е е т место

Т е о р е м а 32 (К антор— Бендиксон). Д л я каж дого множест­

ва Е , лежащего в пространстве со счетной базой, имеется пер­

вое т акое порядковое число a < ш1, что производная а -го порядка множества Е есть совершенное множество ( быть может, пустое) , т . с. £(«> = £(«+!> = . . .

И з первой теоремы Линделефа при этом следует, что Е т мо­

ж ет быть пустым лишь в случае не более чем счетного Е . В с л у ­ чае ж е несчетного Е множ ество Е т — Е 1а+1> = . . .есть несчетное

П Р О С Т Р А Н С Т В А СО С Ч Е Т Н О Й Б А З О Й 163

соверш енное множество (содерж ащ ее множ ество всех точек кон­

денсации множества Е ).

Пространства со счетной базой допускаю т дальнейш ие тео­

ремы, касающиеся мощностей различных систем м ножеств. П реж де всего, докаж ем следую щ ее утверждение:

Т е о р е м а 330 . Множество всех от крытых множеств данного прост ранст ва X со счетной базой не превышает мощности с.

В самом д ел е, пусть

Гц Г2, . . Г„ , . . . (4)

— база пространства X . К аж дом у открытому множеству G одно­

значно соответствует подпоследовательность последовательности (4 ), состоящ ая из всех Г„, содерж ащ ихся в G. Д вум различным открытым множествам соответствуют различные подпоследова­

тельности, так как если G и G' различны, то сущ ествует точка х , принадлеж ащ ая одному из этих м ножеств, например G, и не при­

н адлеж ащ ая другом у; но тогда сущ ествует и окрестность Г„

точки х, леж ащ ая в G, но не лежащ ая в G '. Итак, установлено взаимно однозначное соответствие м еж ду всеми открытыми мно­

жествами пространства X и некоторыми последовательностями натуральны х чисел (номеров элементов Г„ последовательности (4)).

Этим и док азан о, что мощность множества всех открытых мно­

ж еств пространства X не превосходит с.

Так как п ереход от открытого множества к его дополнению осущ ествляет взаимно однозначное отображ ение множества всех открытых множеств пространства X на множество всех замкнутых множеств этого пространства, то из теоремы 3 30 следует

Т е о р е м а 33ғ . М ощ ность множества всех зам кнут ы х м но­

жеств прост ранст ва со счетной базой не превосходит с.

И з теоремы 33Р вытекает

С л е д с т в и е . П уст ь в пространстве X все одноточечные м но­

жества зам кнут ы (т акие пространства называются Т ^ п р о ст р а н ­ ствами (см. § 8)). Если при этом пространство X имеет счет­

ную б а зу, то мощность множества всех его точек не превосходит с.

Так как евклидово пространство лю бого числа измерений, а такж е гильбертово пространство являются пространствами со счетной базой , то теоремы 3 35 и 330 применимы, в част­

ности, и к евклидовым, и к гильбертову пространствам. О днакотак как и в евклидовых пространствах, и в гильбертовом про­

странстве, и в фундаментальном параллелепипеде гильбертова про­

странства содерж атся прямолинейные отрезки, например отрезок

^0 sgC x t ^ ү

j

, х 3 = х а = . . . = = О, то мощность к аж дого из поиме­

нованных пространств по теореме К антора— Бернш тейна в точ ­ ности равна с. Так как в множестве всех замкнуты х м нож еств дан н ого пространства содерж и тся, в качестве подм нож ества, м но­

6*

164 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [Г Л . 4

ж ество всех точек этого пространства, то множество всех зам к н у­

тых множ еств, леж ащ их в евклидовом пространстве лю бого числа и зм ерени й , а так ж е в гильбертовом пространстве и в его ф ун да­

ментальном параллелепипеде, имеет мощность с.

Итак:

Т е о р е м а 34. М ощность n -мерного евклидова прост ранст ва п ри любом п, мощность гильбертова прост ранст ва и его ф ун да­

мент ального параллелепипеда, а также мощность множества всех зам кн ут ы х, равно как и мощность множества всех открытых, множ еств, лежащих в каждом из этих пространств, равны с.

Заметим, что первые два утверждения теоремы 34 могут быть легко доказаны непосредственно, что мы и рекомендуем сделать читателю.

Вспомним, наконец, что пространство всех непрерывных ф ун к ­ ций, определенны х на сегменте [0; 1] (или любом другом с е г ­ м енте), есть пространство со счетной базой (см. § 6) и, сл ед о ­ вательно, имеет мощность ^ с. Так как в числе непрерывных функций имеются, в частности, все константы, то заклю чаем , что м нож ество всех непрерывных функций, определенны х на ка- ком -либо сегменте, имеет мощность с. Этот факт такж е л егк о доказать непосредственно (пользуясь тем, что всякая непреры в­

ная функция вполне определена ее значениями в точках какого- либо всюду плотного множества, например ее значениями в р а ­ циональны х точках).

§ 8. Аксиомы отделимости

Та общ ность, с которой мы ввели понятие топологического пространства, и возможность в столь общих п редполож ен иях определить основные понятия теории точечных множеств имеют во многих случаях принципиальное значение, а такж е позволяю т внести в излож ен и е топологических свойств точечных м нож еств простоту и логическую прозрачность. Однако свое полное гео­

метрическое содерж ание теория множеств получает лишь при постепенном суж ении класса топологических пространств, что достигается введением дополнительных условий, которым р а с ­ сматриваемые пространства должны удовлетворять. Мы у ж е п о­

знакомились с одним из важнейш их условий такого р о д а — с т р е­

бованием, чтобы пространство имело счетную б а з у . О днако при всей важности этого, так сказать, «количественного» ограничения оно не исключает все пространства, топология в которых чересчур мало похож а на топологию, скаж ем , метрических пространств:

мы видели, что даж е в пространствах, состоящ их из конечного числа точек, могут, например, иметься незамкнутые одноточеч­

ные множ ества. С другой стороны, сущ ествую т важные классы топологических пространств, не удовлетворяю щ их аксиомам счет-

А К С И О М Ы О Т Д Е Л И М О С Т И 165 ности. П оэтом у приходится налагать на топологические про­

странства требования совсем другой природы — преж де всего так называемые условия, или аксиомы, от делимост и, к которым мы сейчас и обратимся.

« Н у л е в а я » а к с и о м а о т д е л и м о с т и , и л и а к с и о м а К о л м о г о р о в а , требует, чтобы из любых двух различны х точек х и у по крайней мере одна точка имела окрестность, не содержащую д р угую т очку. Топологические пространства, удовлетворяю щ ие нулевой аксиоме отделимости, называются Т ^-прост ранст вам и.

М ожно с уверенностью сказать, что топологические пространства, не являющиеся Г п-пространствами (например, слипш ееся двоето­

чие (см. стр. 103)), едва ли представляют интерес для исследо­

вания. Поэтому в дальнейшем под топологическим пространством мы всегда будем понимать 7Ү простран ство.

Б качестве содерж ательного и важ ного р езул ь тата, касаю щ е­

гося Т й-пространств во всей их общ ности, приведем следую щ ую теорему:

Т е о р е м а П о н о м а р е в а . Среди всех Т 0-прост ранст в про­

странства с первой аксиомой счетности и только они являются образами метрических прост ранст в при (непрерывных) открытых отображениях.

Начнем со следую щ ей очевидной леммы:

Л е м м а 1. П уст ь / — однозначное отображение прост ранст ва X на пространство Ү . Если для любой точки х £ Х некоторая база 23* этой точки переходит в б а зу точки fx £ F , то от обра­

жение f непрерывно и открыто. О брат но, при открытом непре­

рывном отображ ении f: X —>Y всякая база всякой точки х £ X переходит в б а зу точки f x £ Y .

Из этой леммы ср а зу сл едует, что при открытом непрерыв­

ном отображ ении первая аксиома счетности сохр ан я ется . Отсюда вытекает одно из д в у х утверждений теоремы П оном арева, т. е.

что только пространства с первой аксиомой счетности м огут быть образам и метрических пространств при (непрерывных) открытых отображ ен иях.

П ереходим к док азательству второго утверж дения теоремы.

П усть X — какое-нибудь 7Ү пространство с первой аксиомой счетности, имеющее вес т. Возьмем какую -нибудь б а зу 23 = { U a \ мощности т пространства X . В бэровском пространстве В х (п о­

строенном на том ж е множестве индексов, что и база 23) назовем точку ! = (« !, а ,г, • • • ) отмеченной, если множества U a„ ■■■

. . ., U а , . . . образую т б а зу некоторой (и тогда, очевидно, единст-

00

венной) точки х — Q U а.п € X . М ножество всех отмеченных то- П—1

чек пространства В х обозначим через W ; каж дой точке £ £ W

166 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ Г Л . 4

соответствует та — единственная — точка х; = / | £ X , для которой U а , - • •} является базой и которая может быть за п и ­ сан а в виде

со

X = Р ) U ап.

П— 1

Таким образом определенное отображение f : W —► X назы ­ вается стандартным. Это отображение есть отображ ение на все пространство X .

В самом деле, возьмем какую -нибудь точку х £ X и какую - нибудь счетную б а зу \ U ai , ■■■, Иап, • • • } этой точки в прост­

ранстве X , составленную из элементов базы 23. Тогда точка g = {a j, а 2, . . . , а„, . . . } £ 5 Т— отмеченная и f l — x.

Очевидно, и множество W, и его стандартное отображ ение f полностью определены заданием базы 23 пространства X . Д о к а ­ ж ем , что

f ( W п о а 1 . . . « в ) = 1 / « , п . . . п « / . „ * ) . ( 1 )

Включение f ( W П Оа, « J s U а, П ■ • • П U a n непосредственно сл е­

ду ет из определения отображения / . Д л я доказательства обрат­

ного включения возьмем какую -нибудь точку х £ U ai Г) • • • П U a и дополним окрестности U a,, . . . , £/а этой точки какими-нибудь окрестностями U a , . . . (взятыми из 23) до базы точки х в X.

Т огда, полагая | = (a j, . . . , a„, a B+1, . . . ) , получим, очевидно, f \ = x. Из равенства (1) в силу леммы 1 следует открытость и непрерывность отображения / . Теорема полностью док азан а.

Усилением нулевой аксиомы отделимости является п е р в а я ( а к с и о м а о т д е л и м о с т и , требую щ ая, чтобы для любых двух I различных точек х и у существовала окрестность точки х , не содерж ащая т очку у , и окрестность точки у , не содержащая т очку х. Д ок аж ем , что первая аксиома отделимости равносильна требованию , чтобы каждое множество, состоящее лишь из одной т очки, было зам кнут о. В самом деле, если в топологическом пространстве выполнена первая аксиома отделимости, то никакая точка у , отличная от данной точки х £ Х , не является точкой прикосновения одноточечного множества {х\ (так как имеется окрестность U (у), не содерж ащ ая точку х). Поэтому замыкание одноточечного множества {л} содерж ит лишь эту точку х. Обратно, если все одноточечные множества замкнуты, то, каковы бы ни были точки х и у пространства X , открытое множество Х \ у есть окрестность точки х, не содерж ащ ая точку у, а открытое

*) Множества Оа а определены в § 6.

1 II

А КС И О М Ы О Т Д Е Л И М О С Т И 167

множество Х \ х есть окрестность точки у, не содержащ аяся точку х.

П ространства, удовлетворяющ ие первой аксиоме отделимости, называются Т ^ прост ранст вам и. Примером 7,,-пространства, не являющегося 7\-п ростран ством , может служ и ть связн ое двоеточие.

В аж но отметить следующ ий факт:

Пусть М — множ ество, леж ащ ее в T j-пространстве X . Всякая точка прикосновения х множества М есть либо предельная точка множества М (принадлеж ащ ая или не принадлеж ащ ая м нож е­

ству М ), либо точка множества М , изолированная в этом мно­

ж естве *).

В самом дел е, пусть jt £ [УИ] и пусть сущ ествует окрестность U (х) точки х, содерж ащ ая лишь конечное число точек м нож е­

ства М . Обозначим через x lt . . . , x s леж ащ ие в U (я) точки мно­

ж ества М , отличные от самой точки х. Так как одноточечные множества в X замкнуты, то, вычитая из U (х) конечное мно­

ж ество \ х г, . . . , x s\, получим окрестность U v (x) точки х, не с о ­ держ ащ ую ни одной точки множества М , отличной от точки х.

Н о так как х £ [А1 ], то U х (х) f] М. все ж е непусто и, следовательно, х £ М . При этом открытое в М множество M r \ U x(x) состоит из одной лишь точки х. Наше утверждение док азан о. Из всего следует, что зам кнут ые множества в Т ^ п рост ранст ве X могут быть определены как множества, содержащие все свои предельные точки.

З а м е ч а н и е 1. Если Т ^пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, то для каждой точки прикосновения х множества М можно найти сходящуюся к точке х последовательность точек х п этого множества (достаточно взять x n £ M f \ U п (х), где U n (x) — элементы счетной локальной базы в точке х).

П ри этом, если х есть предельная точка множества М , то все точки х п могут быть предположены различными.

В т о р а я , и л и х а у с д о р ф о в а , а к с и о м а о т д е л и м о с т и заклю чается в требовании, чтобы любые две различные точки х и у топологического прост ранст ва X имели непересекающиеся окрестности U (х) и U (у). П ространства, удовлетворяющ ие этому требованию , называются Т.^-пространствами или хаусдорфовыми п рост ранст вам и.

Пример нехаусдорф ова 7\-п ространства X можно получить, взяв множество X , состоящ ее из всех действительны х чисел и еще какого-нибудь отличного от них всех элемента £ п р ои з­

вольной природы. Открытыми в X объявляю тся, во-первы х, все открытые на числовой прямой множества, во-вторых, все мно­

ж ества вида X \ D , где D — произвольные конечные множества действительны х чисел. Л егко проверить, что множество X с этой

*) Напоминаем, что изолированность точки х в множестве А1 означает, что множество, состоящее из одной точки х, открыто в М .

168 М Е Т Р И Ч Е С К И Е И Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А { Г Л . 4

топологией есть T j-пространство. Это пространство не удовлет­

воряет хаусдорф овой аксиоме отделимости: какова бы ни была точка х £ X , х ф \ , любые две окрестности U (£) и U (х) пересекаю тся (так как U (5) содерж ит все действительные числа, кроме, быть мож ет, некоторого конечного их множества, тогда как U (х) есть открытое множество на числовой прямой и, значит, содерж и т цел>ій интервал).

ГТІазовем регулярны м пространством такое ^ -п р о с т р а н с т в о , в котором для любой точки х и лю бого не содерж ащ его эту точку зам кнутого множества Ғ сущ ествую т дизъюнктные окрестности Ох и OF. В сякое регулярное пространство, очевидно, х а у с- дорф ово.

Д ля получения примера нерегулярного хаусдорф ова п ро­

странства рассмотрим множество R всех действительных чисел и определим в R топологию при помощи системы окрестностей (см. § 4) следующим образом: окрестности всех точек х ф О те ж е , что и на числовой прямой; окрестности точки х = 0 п ол у­

чаются вычитанием из лю бого содерж ащ его эту точку интервала всех попавших в этот интервал точек вида где п — н атураль­

ное число. Пространство R хаусдорфово; множество всех точек вида — замкнуто в R ; всякая окрестность этого зам кнутого мно­

ж ества пересекается со всякой окрестностью точки 0.

Д альнейш ее суж ен ие класса пространств получим, если будем рассматривать так называемые нормальные пространства: н о р ­ мальным пространством называется такое ^ -п р о ст р а н ст в о X , в котором всякие два непересекающ ихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.

Пример регулярного ненормального пространства можно по­

строить следующим образом. Н азовем произведением двух топо­

логических прост ранст в X и Y произведение дв ух множеств X и Y (т. е. множество всех пар (х, у ), где л: £ X , у (Е Y ), в котором открытыми множествами являются произведения лю бого откры ­ того А ^ X на любое открытое B = F и всевозможные суммы таких произведений. Легко доказы вается, что произведение д в у х регулярны х пространств есть регулярное пространство. В част­

ности, регулярным пространством является произведение S про­

странства всех порядковых чисел a ^ c o f на пространство всех порядковых чисел Р ^ со. Пространство S , впрочем, есть не только регулярное, но даж е нормальное пространство (читателю рекомендуется доказать это утверждение в качестве упраж нения).

О днако, вычитая из пространства S одну лишь точку (coj, со), получим ненормальное пространство S*. Д ля того чтобы убедиться в этом, рассмотрим множество X ', состоящ ее из всех точек вида (а, со), где а — любое порядковое число < wlt и множество У ',

АК С ИО М Ы О Т Д Е Л И М О С Т И 169 состоящ ее из всех точек вида (со1( п ), где я — лю бое натуральное число, X ' и Ү ' суть замкнутые в S* множества без общ их точек, любые две окрестности U ( X ’) и U (Ү ') которых в пространстве S ' пересекаю тся (последнее утверж дение читатель так ж е долж ен сам доказать, опираясь на простые свойства трансфинитных чисел второго класса). Пространство S*, не будучи нормальным, яв­

ляется регулярным, поскольку всякое подпространство р егул я р ­ ного пространства р егулярн о.