ВЕКТОРНОЕ ОБОБЩЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ИНИЗКОЧАСТОТНОЙ ВОЛН

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 72, № 1 июль, 1987

ВЕКТОРНОЕ ОБОБЩЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ

И НИЗКОЧАСТОТНОЙ ВОЛН

Катышев Ю. В., Маханьков В. Г., Мырзакулов Р.

Исследуется векторное обобщение системы уравнений (0.1), впервые полученной одним из авторов. Дан вывод векторного обобщения систе­

мы (0.1) из многокомпонентной XXZ-модели Гейзенберга. Обсуждается гамильтонова структура. Получен широкий класс точных солитонных

(регулярных и сингулярных) решений для U(p, q) -обобщений системы (0.1) и связанных с ним U (N) -нелинейного уравнения Шредингера и си­

стемы уравнений Захарова. Для случая U (2)- и [7(1, 1)-версии найдены области существования односолитонных решений на (а, [}) -плоскости.

Получено обобщение U(p, q) -системы (0.1), учитывающее спин-спиновое взаимодействие, и для него дано точное солитоноподобное решение. На некоторых полученных решениях вычислен спектр энергии.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена изучению векторного обобщения следую­

щей системы уравнений:

(0.1) Щг+^хх—Щ = 0, Пи — Пж—ain2)^— ^xxxx=|l|)|xx2,

где г|)(#, t), n(x, t) —комплексная и действительная функции, соответст- венно, a, (i — параметры уравнения.

Впервые система уравнений (0.1) появилась в работе одного из авто­

ров (В.Г.М.) [1] и была посвящена изучению взаимодействия ленгмюров- ских и ионно-звуковых волн в плазме в околозвуковой области. Она яв­

ляется обобщением системы уравнений, полученной Захаровым [2], (0.2) 1^+$хх—Щ=0, пи—пхх=\^\ XX } ²

учитывающей нелинейность низкочастотной волны.

В работах [1] было получено семейство односолитонных решений си­

стемы (0.1) вида (0.3)

•ф=662Уа+р sech Ъ\ th Ъ\е1\ n=-6b2 sech2 61,

7~2 = 1 — У2, I = х — ut — £0.

В серии более поздних работ изучались стационарные локализованные (со- литонные) решения системы (0.1) при различных значениях параметров а, р и ее обобщений, возникающих в физике плазмы [3—6]. Так, в [6]

было обнаружено, что решение (0.3) соответствует одной крайней точке

в спектре нелинейной задачи на собственные значения г|/'-т|1=Лг|), т г ' Ч - т ' д + З ^ + ^ О .

Но, кроме того, существует еще целый класс решений с ^ < 1 , лежащими в последовательности разрешенных зон.

В последние годы интерес к системе (0.1) вырос в связи с исследова­

ниями локализованных возбуждений в квазиодномерных магнетиках [7, 8 ] . Здесь также возникло обобщение скалярного варианта (0.1) на векторный и было найдено решение.

Позднее система (0.1) обсуждалась в работах Давыдова и сотрудни­

ков [9] в применении к молекулярным кристаллам. Недавно Кричевером была установлена интегрируемость скалярного варианта (0.1), что указы­

вает также на формульную интегрируемость векторного варианта. Заме­

тим, что система уравнений Захарова (0.2) неинтегрируема [10].

Ниже дан вывод векторного обобщения системы (0.1) из многокомпо­

нентной XXZ-модели Гейзенберга. Обсуждается гамильтонова структура.

Получены некоторые точные односолитонные (регулярные и сингуляр­

ные) решения, в том числе бризерные. На некоторых полученных реше­

ниях вычислен спектр энергии.

1. Щр,Я) -СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРА

Рассмотрим многокомпонентную XXZ-модель Гейзенберга с учетом ко­

лебаний решетки [ 7 ] :

(1.1) H=HS+HP,

где

(1.2) H^s = - -1 [± £ ft? ^{Srsf + St*S?) + £ Rffsrsf]

Y,6

описывает взаимодействия спинов разных сортов, HV=T+U соответствует колебаниям решетки,

3 3

а — постоянная решетки, v0 — скорость звука в кристалле, т — масса фонона.

Если в обменных интегралах учитывать взаимодействия лишь ближай­

ших соседей, пренебрегая взаимодействием между «цветовыми» и «про­

странственными» степенями свободы, то имеем

(\ о \ т^Ъ г т?а?> r>a$yb j ^тсс$^гу6

где /^ji+a£=/( \X^j+—X^j+a\) — обменные интегралы, a = ± l .

Гамильтониан можно записать через бозонные операторы с помощью

обобщенного представления Холстейна — Примакова:

(1.4) Sj+a=Tl2s-ai+aajaasa4 Sia=aj+aH2s-aj+*aia,

[а/\ а^] =ву6а», [а<а, а/] = К+ а, а,+р]=0.

В низкотемпературном квазиклассическом пределе (aj+aaja==rc/x<2s) r

оставляя в разложении £j± a только первый член и подставляя его в (1.1)г

имеем

(1.5) Н = Н0 + Яр - 4 J ) {/я4* £ [*«* («/*«& + a r a U l +

jo a3

+ 7J j + e£ (laL?d?af + l2bf а%,а*„)} ,

aft

где HQ = Y у . Rif » Zi=Tr Li. Для того чтобы выделить спин-фо-

ijafr

нонное взаимодействие, в (1.5) мы пренебрегаем членом четвертого поряд­

ка по бозе-операторам. Чтобы перейти к классическому гамильтониану г

усредним (1.5) по состоянию

(1.6) |ч>>=Пи>,>,

3

где |i|)j> — гейзенберг-вейлевское когерентное состояние [11], удовлетво­

ряющее по определению следующим соотношениям:

(1.7) а,|%>=^|^>,

< Л > = 1 , <*i|<*iK+ma,nl*i>l*i>=**m*A Имеем

(1.8) # = <г|)|ЯК> = Яо + # Р - 4 £ {/j i +^a e(^a^*+ Pa+

j , a, a , 3

В длинноволновом приближении с помощью техники, развитой в [12]г

получаем следующую систему уравнений:

(1.9) Щ

^а

= - b£ К

^{а

, v4l - * £ Г«&Ф

^В

+ ««

²

XI

^Т

"*Ф*Ь

Р «Р Р

«я = С*й + D (atffc + Я *и и + *а2 Л f ар (г|)* V)s>

ар

где

fe=/0s/2, Гар = / о - ^ { а , Р } — / о ( ^ 1 ^ 2 а р + ' 2 ^ 1 а р )?

Т'ар—Л^{а,р} — / Д н ^ г а р i * 2 ^ i a p ) , ' jj+a~«'o~«'1 | V^-j-"-^j+o) |»

С = а*(ти0*-[1Га), D = ^U", E = mv№)\2.

Положим

7 = (Yap) = diag (1,1, . . ., 1, — 1, — 1, . . ., — 1), p + q = N.

V q

Тогда из (1.9) получаем (n=Xz)

<1.10) i^a) = — КЪ^ — sA^W + sa2Bn^a\ ntt==Cnn-1rD(n2)ll+Enmi+sa2B(^)lb

г д е г|)= (ifi, \f)²,.. ., ^ N ) \ гр=г|)⁺'у, г|)⁺='ф*'. С п о м о щ ь ю п р е о б р а з о в а н и й

л[кЪ . о , / ' кЬлГкЬ t С

<ф _> _ £ _ g i x t ^ x = sAC/a2SB fkb

приходим к системе, являющейся U(p, q)-обобщением системы уравнений (0.1) (1-+Х):

(1.11) i^t+$xx—nty=0, ntt=nxx+a(n2)xx+$nxxxx+(§ty)xx,

Где a=D/a²sBkb, $=E/(kb)². Система (1.11) гамильтонова. Чтобы по­

лазать это, (1.11) перепишем в виде

(1.12) ^гЬг|}*х-т|)=0, mt=n+an2+$nxx+tyfy Щ^т^, зведя вспомогательное поле т(х, t). Скобку Пуассона определяем как

<1.13) {А,В} = \ах[—ш-ъ-ж +

— ОО

к-=х ^{L бд|) (к) 6>* (к) 6i|)* (Л)} Ц (к) J j

Коммутационные соотношения для канонически сопряженных 2(ЛЧ-1) переменных (if>(1), of>(2),..., if<iV), г|з* ( 1 ), . . . , -ф* w, иг, га) имеют вид

W 4 * ) , ^<е)(1/)}=гбаэб(х-г/), ( т ( х ) , в ( р ) } = - 6 ( * - у ) , (1.14)

0={ш(а;), /»(?)}={«(*), "(J/)}={^< 0"U), г|)((,)(1/)}=

= {^(х), т(у)} = {^(х), n(y)}.

В этих переменных система (1.11) примет гамильтонову форму:

(1.15) ity^tw=i{H, а|)^<й)}-бЯ/бо|)*^(А), m^t={H, то}=бЯ/6га, tip* <ft)=i{^, a|j* w}=-6#/6\|)< f t ), «,={Я, п)=-8Н/8т, где гамильтониан Я имеет вид

ос

<1.16) я = J dx [(адд + n (w) + -j ("

²

+ ^*

²

+ К

²

) + -у «

³

] •

— оо

Таким образом, U(p, q)-система уравнений (1.11) является гамильто- новой. Функцией Гамильтона является функционал (1.16), фазовое про­

странство состоит из функций (г|)(1)(^, t),. . . , i|)w(#, t), г|)*(1)(#, 0 , . . . . ..,i|)* w( ^ 0 , m(a:,*),#iOM)).

Система (1.11) может быть написана также и в лагранжевом виде:

(1П\ d dL = dL d dL 3L

^дЬ^_дЬ_ _d_ dL _дЬ dt dmt ~ dm ' ИГ дщ ~~ ~дп ' где функция Лагранжа L есть

(1.18) £ = _ - L (до, _ ^г|)) - — (тпщ - т,п) - Я .

2. ОДНОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ: РЕГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ

В этом разделе мы опишем односолитонные регулярные решения си­

стемы (1.11) при iV=/H-g=l, 2, 3, 4, удовлетворяющие нулевым гранич­

ным условиям:

( 2 . 1 ) - -фш0М)-И), и(я, 0-*0 при я-*±оо, / = 1 , 2,...,iV.

Будем искать решения системы (1.11) следующим образом. Известно [13], что в яме вида

(2.2) U=aNsech.2bx

линейное уравнение Шредингера (одномерное) (2.3) ф«-г7я|>=Ад|>

имеет конечное число уровней в зависимости от соотношения глубины и ширины ямы aN и Ъ. Так, в «мелкой» яме aN<,2b2 существует лишь один вид уровня энергии A,i=—62, в более глубокой яме 2b2<aN^6b2 существу­

ют два уровня энергии Xi=—62, X2=—4Ь2 и т. д. В общем случае количест­

во уровней определяется из соотношения

(2.4) h=-b\N-j+iy, / = 1 , 2 , . . . , причем

(2.5) aN=-N(N+l) b2=- (p+q) (p+q+l)b2.

Первое уравнение системы (1.11) для стационарных решений имеет вид (2.3), в котором роль потенциала играет низкочастотное поле п. По­

следнее подчиняется неоднородному уравнению Буссинеска, поэтому бу­

дем искать его решения в виде модификации решения однородного урав­

нения, т. е. полагая п в соответствии с (2.2).

Эти рассуждения подсказывают вид решений для различных значе­

ний Ny т. е. для разных моделей взаимодействия волн (число взаимодей­

ствующих волн равно N+1):

(2.6) vHxit^W'^d),

где \=х—vt—Xo, Qj зависит от величины порядка N=p+q группы U(p, q) и скорости движения солитона:

(2.7) Qj = -^x-wjt,

(2.8) Wj==^^{N-j+ifb\

26

Т а б л и ц а 1 Т а б л и ц а 2

U(p,q)

82 83

t7(4)

1 1 1

17(3.1)

1 1

1 —1

£7 ( 2 . 2)

1

— 1

— 1

(7(1.3)

— 1

— 1

—1

17(0. 4)

— 1

— 1

— 1

t7(p,<7) p + g = 3

81 82

U(B)

1 1

17(2.1)

1

— 1

C7 ( 1 . 2)

— 1

— 1

Рассмотрим четыре варианта.

I, Ж= 1' 6?!= С7"(1)(двухволновое взаимодействие). В этом случае су­

ществуют три односолитонных решения, удовлетворяющих граничным условиям (2.1):

(2.9) i|)=CVe> sech 66, гс=-262 sech2 66, где |С|²=26²(1-г;²+4рб²), a = - 3 f t р>(i;²-l)/46²;

(2.10) лг=-662 sech2 66, ф=Се''в'' sech2 66, где | C |2= - 3 6 62( a + £ ) , р=(*;2-1)/462, а < - р , в / = в±;

(2.11) t|,=Ce*e-r th 66 sech 66,

тде |С|2=3664(а+£), ( l - i ;2) / 2 62= 3 a - p , a > - p , 02'=92.

(2.10), (2.11) в действительности соответствуют редукции трехволно- вого взаимодействия (N=2) (глубокая яма).

Отметим, что решения вида (2.10) и (2.11) обсуждались в работе [7].

Ц.Ж=2: 6 r2= J7(2) и 17(1.1) (трехволновое взаимодействие). Односо- литонное решение имеет вид

(2.12) i ^ ^ C ^ s e c h2 6|, ^2)=C2eie4h 66 sech 66, тг=-662 sech2 66,

где

(2.13) |C1|2=662(l-i;2-2^62-6a62), |C2|2=8 l662(l-i;2+4p62), _ f 1 для U (2)

&1~ { - 1 для £/(1.1).

III. ДГ=3 : 6г3 = ?7(3), (Z72.1) и £7(1.2^ (четырехво л новое взаимодей­

ствие). Регулярные односолитонные решения, соответствующие этим трем группам, напишем в единой форме с помощью чисел efe, Zc=l, 2, за­

данных табл. 1.

(2.14) ^(1)=Cie<e'sech866, ^{2)=C2eie4h 66 sech2 66, t|3<3>=C3eie»(4-5 sech2 66)sech 66, n=-12b2 sech2 66,

где |C1|2=962[5/4(l-^2)-16a62-3p62], |C2|3=6e i62[5(l-i;2)-24ap2+8^62],

|С3|2=3/48262(1-г;2+4^62).

IV. Ж= 4: G1=17(4), 17(3.1), ЕГ(2,2) и Щ1.3).Как и выше, введем числа 8^ft, принимающие значения согласно табл. 2.

Регулярные односолитонные решения системы (1.11), удовлетворяю­

щие граничным условиям (2.1) и инвариантные относительно группы G4,

имеют вид

(2.15) i|)<¹>=C¹e^ie* sech⁴ Ь£, ^²⁾=C²e^ie4h Ъ\ sech³ 6g,

^)=^Сгё^{1 sech² b g - 6 ) sech² 6g⁷ ф<⁴>=С⁴е*^в<(7 sech² Ь | - 4 ) sh 6g sech² 6£,

где | С1|2= 81| С2|2- 2 5 е2| С3|2+ 4 9 83| С4|2, |С2|2=5/4е1е2|С3|2—lOSeteal^l2"^

| C3|2= 1 0 6262[ 9 ( l - i ;2) + 2 4 ^2- 4 0 a 62] , |C4|2=5/4e362( 1—^2+4^62).

3. ОДНОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ: СИНГУЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ

Известно, что локальные (точечные) неоднородности или дефекты в.

конденсированных средах описываются сингулярными решениями уравне­

ний [ 1 4 ] . Поэтому представляют интерес также и сингулярные решения системы (1.11), удовлетворяющие граничным условиям (2.1). «Анало­

гично» (2.6) решение ищем в виде

(3.1) я|)^{0 )}(^ 0 = C j e * V^{J )}U ) , n(x, t)=a^Ncosech² Ь£,

где a^N=N(N-\-l)b², a 0j имеет такой же вид, как в (2.7). Приведем список сингулярных решений для различных моделей G^N (1.11).

Группа Gi. В этом случае односолитонные сингулярные решения имеют вид

(3.2) г|)=СУ^е* cosech Ъ\, п=2Ъ² cosech 2 Ь | , где | C |²= 2 b²( i ;²- l - 4 ^²) , а = - 3 р , £ < ( i ;²- l ) / 4 6²;

(3.3) i|)=C1eie* cosech2 Ъ\, n=6b2 cosech2 Ь£, где | C |2= - 3 6 f o4( a + p ) , p = ( i ;2- l ) / 4 f e2;

(3.4) ^=Ce¹^' cth Ъ\ cosech feg, n=Qb² cosech² bg, где |C|2=-36fe4(cc+P), p = - 3 a + ( l - i ;2) / 2 62.

Группа G2. Аналогично (2.12) получаем (3.5) ф ^ ^ О " ' cosech2 6g,

^(2)=c2ei e 2 cth fcg cosech 6g, 7г=662 cosech2 b | ,

здесь | C1|2= - 6 62e1( l - i ;2+ 4 ^2) , | C2|2= 6 62( l - i ;2- 2 p f o2- 6 a b2) , e4 задана (2.13).

Группа G³. Решение имеет вид

(3.6) ф<|>=С1е'в' cosech3 61, tf <2,=C2e'e> cth 61 cosech2 61, i|)«»>=C8e<e44+5 cosech2 61)cosech 61, rc=1262 cosech2 61,

где | C¹|^,= - e¹| C , |^,- 2 5 e¹| C , |^{, I} | С²|²= 4 0^{е 1}8²| С з |²- 7 2 6⁴( 2 а + р ) , | С³|²=

=³L^2b²(v²—1—4^6²), а величины 8i, e² определяются из табл. 1.

Группа G⁴. В этом случае сингулярное решение системы (1.11), удов­

летворяющее нулевым граничным условиям, имеет вид

(3.7) я|5<¹⁾=С¹в''^в* cosech⁴ bg, ^²⁾=C²e^ie> cth b% cosech³ 6 | ,

^*)=C^se^ie'(G+7 cosech² b | ) cosech² 6 | ,

^=C,eiQ*(4+7 cosech2 b£) cth 6g cosech 6g, n=20b2 cosech2 6g.

Здесь | С¹|²= - б¹| С²|²+ 4 9 8²| С з |²- б з | С⁴|², |C^{, 2}|²=-82e¹e²|C^,s|²-105e¹e8|C^{, 4}|%

|С³|²=-28²8з|С⁴|²-^{1 0}/9&⁴(Зр+10а), | С⁴|²=⁵/ 4 8 з ^²( ^²- 1 - 4 ^²) , e^fe задан табл. 2.

4. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ

Новый класс решений системы (1.11) можно получить, используя ее U(P, #)-симметрию. Пусть /(ж, t)=(\p,n)^t является решением системы (1.11). Тогда новое решение есть f=Rf, если i?=diag(i?, 1), R£U(p,q).

При этом сохраняется билинейная форма (ip'i|)') = (,ip^i?i|)) = ('ip\|)), R=YR+*(.

Найдем на примере группы G² односолитонное решение системы (1.11) типа бризера. Пусть A£G2 и имеет вид

(^

•*>

^А

={~гА £)' W + bW-l.

Тогда из (2.12) с помощью изовращения получим

(4.2) ^ci)=C7^1e(a^aC^,1e^ie* sech² bl+b²C²e^iQ> th b\ sech Ь£),

^«²>=C^,2^e(-ei5²C¹e*^e»+a²C²e^fe» sh fc£)sech² b£,

д = =_6&² sech² Ь£, | С^{1 б}|²= | С^{2 б}|²= 1 .

Аналогично можно найти бризерные решения, соответствующие груп­

пам GN, iV=3, 4. Эти решения уже «инвариантны;» по отношению к пре­

образованиям GN, поскольку повторное преобразование лишь изменяет константы. Кроме полученных решений существует решение, выражаю­

щееся через {^-функции Вейерштрасса; так, при N=1 имеем

iv

* (*, t) = / 2 ( ^ - l ) i ? ( £ , c o , c o ' ) et (I - ^ ) , n ( s , 0 = 2 8 > ( £ , ©,©'),

где со, со' — полу периоды функции #> (£, со, со').

Используя свойства вырождения IP-функции, можно получить новые решения системы (1.11) ( i V = l ) .

5. ОБСУЖДЕНИЕ

Вычислим спектр энергии системы (1.11) на односолитонном решении (2.12), т. е. при N=2. Имеем

(5.1) Ет = 12b/i£(l- v*) + bAbv* - 1 - v*a +^-b*a + Щ^~\

Т аб л ица 3

ос

а > 0

а < 0

Р

Р > 0

Р > 0

?;

г > < 1 г ; > 1 г > < 1 г > 1 г > < 1

» > 1 г < 1

Решение системы (1.11)

не с у щ е с т в у е т существует не существует с у щ е с т в у е т

»

»

»

Решение СУЗ и НУШ

не с у щ е с т в у е т с у щ е с т в у е т не с у щ е с т в у е т с у щ е с т в у е т не с у щ е с т в у е т с у щ е с т в у е т не с у щ е с т в у е т с у щ е с т в у е т

Т а б л и ц а 4

а

Л Л V V о о о о

в

о о о о Л V V Л СО. СО. СО. СО.

V

г ; > 1 V<1 г ? > 1 г ; < 1 г > > 1

» < 1 г > 1 г ; < 1

Решение (1.11)

не с у щ е с т в у е т не с у щ е с т в у е т с у щ е с т в у е т

»

» не с у щ е с т в у е т

Решение СУЗ и НУШ

не с у щ е с т в у е т

»

»

»

»

»

»

Отсюда видно, что энергия не зависит от параметра е = ± 1 , т. е. она одинакова для групп U(2) и £/(1.1) для решения (2.12) при нулевых граничных условиях. При а = р = 0 система (1.11) переходит в систему уравнений Захарова с U(p, q)-группой. При этом энергия равна

(5.2) £23 = 1 2 b | - ^ - ( l - ya) + ba( 5 i ;a- l ) j .

В ультрарелятивистском пределе, т. е. при у->1, из (5.1) и (5.2) соот­

ветственно имеем

(5.3) Е2М = 12&з U - а + i j j i аб2 + i ^ l ) , (5.4) E23=48b3.

Важным вопросом является классификация полученных решений по параметрам уравнения а, р и параметру решения v. Проделаем это для случая U(2)- и £/( 1.1)-вариантов системы уравнений (1.11) и соответ­

ствующей системы уравнений Захарова (СУЗ) и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) на односолитонных решениях (2.12). Результаты приведены в табл. 3 и 4 соответственно для групп £/(2) и £/(1.1).

Наглядные графические изображения областей существования на плоскости (а, £) односолитонных решений £/(2) и £/(1.1) системы (1.11) приведены на рис. 1, 2 и 3. Начало координат соответствует СУЗ; а0=

= {l-v2)/6b\ D((l-v2)/ib\ (г;2-1)/462), C(a0,0); v>l, у < 1 , v=l со­

ответственно для рис. 1, 2 и 3.

Из явного вида односолитонного решения (2.12) и из рис. 1, 2, 3 ясно, что

г|з(1)=?Ю, г|)(2)^0 на линии £=(г;2-1)/4&2, ц^=0, <ф(2)¥=0 на линии а=-7зР+а<„

t|>(1)ssO, i|)(2)^0 в точке D.

30

Cck

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

Отметим несколько весьма примечательных фактов, связанных jc рас­

смотренной нами системой уравнений (1.11).

1. При некоторых значениях а и [} эта система является формально ин­

тегрируемой [15], однако при изменении параметров она может потерять это свойство. Примером является начало координат на плоскости (а, Р), т. е. а, р-^0, где (1.11) переходит в СУЗ. В связи с этим встает вопрос об отыскании на плоскости (а, [3) областей (или точек) где (1.11) инте­

грируема.

2. Однонаправленный вариант системы (1.11) можно получить стан­

дартным путем, полагая dt2—дх2~—2(dt+dx)dx и интегрируя второе урав­

нение (1.11):

(5.5) i^t+tyxx—и*ф=0,

Эта система уравнений в применении к физике плазмы была получена и исследована Нишикавой и соавторами в [16]. Бенилов и Бурцев по­

казали [17], что (5.5) не интегрируема (во всяком случае, на линии р/2=—1). В точке же а = р = 0 система (5.5) переходит в

т. е. систему уравнений, исследованную Яджимой и Ойкавой в [18], где была установлена ее интегрируемость. Возникает вопрос, аналогичный поставленному в первом пункте. Это означает, что симметричный и одно­

направленный варианты U (1) -версии системы (1.11) противоположны по свойствам интегрируемости, по крайней мере в уже рассмотренных областях и точках плоскости (а, ^).

3. Полученные для (1.11) результаты дают возможность судить также о некоторых решениях U(N) НУШ:

(5.6) i^k) + № + №) 4>(k) = О Ф = 1, 2,. . . ,7V),

N

где (фя|)) — U(N)-внутреннее произведение г|п|) = \ | г|)<к") |2. Действи-

К - = 1

тельно, нетрудно проверить простым вычислением, что все решения [/(ТУ)-версии (1.11), полученные выше при а = р = 0 , являются также ре­

шениями (5.6), если константы Ск удовлетворяют условию (5.7) \p\|)~sech² &£.

В качестве примера рассмотрим U(2) НУШ, исследованное Манако- вым в [19] с помощью МОЗР. В частности, в [19] рассмотрено взаимо­

действие солитонов

2

(5.8) фСО = Съе*^е*^М8есЪ Ь£, £ | С^к |² = 2Ь».

/ v = l

Из нашего рассмотрения следует, что кроме этих (вырожденных по энер­

гии) «легких» солитонов в мелкой яме в рамках (5.6) существуют также

«тяжелые» солитоны в глубокой яме

(5.9) ${i)=Ci*iBl s e c h 2 Ч, i|)(2)=C2eie> th Ъ\ sech Ъ\,

где Q

^{1 =}

J^

^x

-(J*--Wy, B

^{% =}

JL

^z

^J*--

^b

*y, |C

¹

P = 1C,|« =

= 6Ь2, энергия которых равна £=12&(У2/4—Ь2), а также их SU(2) -инва­

риантные аналоги вида ${к)=Ск(аке{В*+Ьк sh 6^i62)sech2 Ь|, где К |2+ + |Ь*|8=1.

Таким образом, в рамках уже исследованной модели U(2) НУШ по­

лучен новый тип решений («тяжелые» солитоны с нарушенным вырож­

дением по энергии). Аналогичная ситуация имеет место и в случае U(N) НУШ. Правило построения решения может быть сформулировано сле­

дующим образом: все уровни в яме солитона независимо от ее глубины вследствие условий (5.7) должны быть заняты. Это означает, что в самой глубокой яме (2.5) каждый уровень занят одной частицей. Для солито­

нов с более мелкими, нежели (2.5), ямами (k<N) на некоторых уровнях может находиться по несколько частиц. Например, U(N) НУШ имеет следующее вырожденное односолитонное решение, являющееся обобще­

нием (5.9):

(5.10) ф( в )=0*в» sech2 6g, *|>(z)=C>ie' th b% sech Ь£,

N

где 1 < * < 7 V - 1 , 1<е<ЛГ, s + e = N£\C8\* = £\Cl\* = bb*.

s s

32

Для системы (1.11) эти требования не обязательны, т. е. существуют решения с незанятыми уровнями. Например, (1.11) имеет следующее ре­

шение (U (3) -вариант):

(5.11) ^=С,е1^ sech3 Ъ\, я|/2)=С2егв' sech3 6g, -ф(8>=Сае,'в» th b% sech2 bg, ?г=-12&2 sech2 bg,

где |C1|2-81|C2|2=62|C3|2, e2|C3|2=-364(a+P), г ;2- 1 = 4 ^2. В этом случае уровень, соответствующий Х3, не занят. Аналогично решения с не­

занятыми уровнями существуют для других вариантов системы (1.11) при N>3.

Как указывалось выше, при выводе системы (1.11) в гамильтониане (1.5) мы пренебрегли членом четвертого порядка по бозе-операторам.

Учет последнего приводит вместо (1.11) к следующей системе уравне­

ний:

(5.12) гг|),+^-72^+Я(1рф)г|)=0,

Пи—пхх-а(п2)хх—$пхххх- (щ)хх=0.

Система (5.12), как и (1.11), может иметь солитоноподобные решения разных типов. В частности, при Лт=1 решение есть

(5.13) ^=С,е1^ sech Ь|, п=а sech2 Ь£,

где в 1 = ^ * - ( - £ - - - Ь « ) , | С | » = ^ ( а + ЗР), * = - ^ , i ; » - l -

— 4р&2 = (а + ЗР)/ЗР^. Энергия такого солитона равна

При iV=2 имеем

(5.14) ^=С±е<в' sech'bg, ^( 2 )=C2^e 2 th &£ sech 6g, д = а sech2 Ь£, где |C1|a = |C2|a = - ^ ( i ;a- l - 4 p 6 » )> а = брь»/«, ^2 - 1 = а ^ Р + + 4р&2, 6Х и 92 такие же, как и в (2.12). Вычисляя энергию этого со­

литона, получим

4 ^

^{[ (}

з ,

⁺

- ) ^

⁺

^

⁽

, - ^

В заключение отметим для систем уравнений (1.11), (5.6) и (5.12) феноменологию полученных выше солитонных (и солитоноподобных) ре­

шений; в частности, процессы их рождения из начальных пакетов, столк­

новений между собой и с «легкими» солитонами остаются пока полем для исследований даже в интегрируемых вариантах, в частности в НУШ.

Литература

щ

[1] Makhankov V. G. // Phys. Lett. 1974. V. 50A. № 1. P. 42-44; Stationary solutions of coupled Schrodinger and Boussinesq equations and dynamics of Langmuir wave packets: Preprint JINR E5-8389. Dubna: JINR, 1974; Phys. Rep. 1978. V. 35. № 1.

P. 1-128.

[2] Захаров В. Е. //ЖЭТФ. 1972. Т. 62. № 5. С. 1745-1759.

[3] Боголюбский И. Л., Маханъков В. Г. // Физика плазмы. 1976. Т. 2. № 6. С. 974- 979.

4] Schamel H., Yu M. У., Shukla P . / / P h y s . Fluids. 1977. V. 20. № 8. P. 1286-1288.

"' Laedke E., Spatschek K. 11 Phys. Lett. 1979. V. 75A. № 1, 2. P. 53-56.

Bogomolov Ya. L., Kolchugina I. A., Litvak A. G., Sergeev A. M. // Phys. Lett.

1982. V. 91A. № 9. P. 447-450.

[7] Makhankov V. G., Kundu A., Pashaev 0. K. // Physica. 1984. V. 11D. P. 375-380;

On nonlinear effects in magnetic chains: Preprint JINR E17-82-602. Dubna: JINR, 1982.

[8] Makhankov V. G., Kundu A., Pashaev О. Я.//Physic a Scripta. 1983. V. 28. № 2.

P. 229—234; Integrable reductions of many component magnetic systems in (1,1) dimensions: Preprint JINR E17-82-677. Dubna: JINR, 1982.

[9] Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах: К.: Наукова думка, 1984.

[10] Abdulloev Kh., Bogolubsky I. L., Makhankov V. G. // Phys. Lett. 1974. V. 48A.

№ 3. P. 161-162; Nucl. Fusion. 1975. V. 15. № 1. P. 21-26; Дегтярев Л. M. и др.Ц ЖЭТФ. 1974. Т. 67. № 2. С. 533-542.

[111 Переломов А. М.//УФН. 1977. Т. 123. В. 1. С. 23-55.

[12 J Fedyanin V. К., Makhankov V. G., Yakushevich L. 11 Phys. Lett, 1977. V. 61A.

№ 4. P. 256-258.

13] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1963.

141 Расизаде О. Ш. // ТМФ. 1981. Т. 48. № 2. С. 197-209; Т. 49. № 1. С. 36-47.

15] Кричевер И. М. // Функц. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. № 3. С. 42-54.

16] Nishikawa К. et al. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. № 3. P. 148-151.

17] Benilov E. S., Burtsev S. P. 11 Phys. Lett. 1983. V. 98A. № 5, 6. P. 256-258.

18] Yajima N., Oikawa M. // Prog. Theor. Phys. 1976. V. 56. № 6. P. 1719-1739.

19] Манаков С. В. // ЖЭТФ. 1974. Т. 65. № 2. С. 505-516.

Объединенный институт Поступила в редакцию ядерных исследований 18.111.1986 г.

VECTOR GENERALIZATION OF A SYSTEM OF EQUATIONS OF INTERACTING HIGH-FREQUENCY

AND LOW-FREQUENCY WAVES

Katyshev Yu. V., Makhankov V. G., Myrzakulov R.

A vector generalization of the system of equations (0.1) first obtained by one of the authors (V.G.M.) is studied. The vector generalization of the system (0.1) is derived from the multicomponent XXZ Heisenberg model. The Hamiltonian structure is discus­

sed. We obtain some exact single-soliton (regular and singular) solutions to the U(P, q) system (0.1) and associated U(N) nonlinear Schrodinger equation and Zakha- rov system of equations. For the case of U{2) and £/(1.1) versions, existence regions of one-soliton solutions in the (a, (i) plane are found. Finally, we get a generalization of the U(p, q) system (0.1) taking into account the spin-spin interaction and obtain its exact soliton-like solutions. For certain solutions obtained the energy spectrum is cal- culated.

34