Взаимодействия основания и плиты с учетом упругоползучести и неоднородности

(1)

А.Ж. Жусупбеков, А.Д. Дасибеков, Т.Ш. Абильмаженов

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана) (Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова, г. Шымкент)

Статья посвящена проблемам взаимодействия многослойных упругоползучих плит с упругоползучим неоднородным грунтовым основанием.

Проблеме расчета конструкций, расположенных на деформируемом основании посвящено большое число научных исследований. Результаты расчета таких конструкций существенным образом зависят от соотношения между прогибами основания и передаваемыми на него реактивными давлениями, то есть расчетные усилия в конструкциях определяются принятой моделью основания.

В строительстве широко применяются многослойные плиты на упругоползучем основании. К таким плитам относятся, например, сплошные фундаментные плиты, плиты дорожных и аэродромных конструкций, днища шлюзов и доков, различные коробчатые конструкции, контактирующие с грунтом. Эти конструкции порой характеризуются большой материалоемкостью и должны обеспечивать нормальную эксплуатацию всего сооружения.

Существующие методы расчета по этой проблеме несовершенны и не дают ответов на множество вопросов, возникающих при расчёте строительных конструкций. Большая часть этих методов, применяемых при проектировании, сложна для практических вычислений и несовершенна, в том числе недостаточны гипотезы упругоползучего грунта. Поэтому перед геомеханикой встают вопросы уточнения результатов расчета взаимодействия упругоползучей многослойной плиты с упругоползучим основанием.Деформированию грунта и конструкций даже при умеренных нагрузках свойственна нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями. Решения задач об изгибе прямоугольных плит на деформируемом основании с учетом ползучести приведены Т.Ш. Ширинкуловым [1].

В нашей работе исследовано:

1) напряженно-деформированное состояние трехслойных плит на упругоползучем основании. Здесь свойства ползучести материалов определяются теорией упругоползучего тела Н.Х.Арутюняна [2];

2) изгиб составных упругоползучих плит на упругоползучем Винклеровом основании;

3) изгиб трехслойных пластин, как две прямоугольные пластинки шарнирно оперты по контуру и соединены между собой упругими связями, а третья из них лежит на упругоползучем основании.

Связь реактивного давления P(x, y, t) с вертикальным перемещением поверхностных точек основания W(x, y, t) в первой задачи представлена в виде

W(x, y, t) = P(x, y, t) K(t) −

Z t τ1

P(x, y, τ)

K(τ) K0(t, τ)α⁰τ = (1−K₀^∗)P(t)

K(t) (1)

∗- здесь и всюду в дальнейшем: знак звёздочки у напряжений, деформаций и перемещений обозначает, что напряжения, деформации и перемещения с учетом ползучести, а значок ”0” - относится к характеристике показателя основания.

; - полная относительная деформация от единичной силы при сжатии; - коэффициент, зависящий (неоднородность грун-та); - момент времени деформации, - момент времени нагрузки.

где K0(t, τ) =K0(τ)_∂τ^∂ δ0(t, τ) - ядро ползучести основания, K0(t)- коэффициент постели.

K0(t, τ) =− 1 K₀(τ)

dK(τ)

dτ +K0(τ)∂C0(t, τ)

∂τ (2)

191

(2)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилева, 2010, №6

C₀(t, τ) = (C₀+A1

τ )[1−e^{−γ(t−τ)}] (3)

- мера ползучести.

Коэффициенты C₀, A, γ - определены экспериментальным путем С.Р.Месчяном [2];

P(t)

K(t) =W0(t) + Z t

τ1

R(t, τ)W0(τ)ατ = (1−R^∗₀)W(τ), (4) R₀(t, τ)- резольвента ядра K₀(t, τ) .

Резольвента определяется по формуле:

R0(t, τ) = K(τ)

K(t)[γ−η⁰(τ)−K⁰(τ) K(τ)]+

+[η⁰²(τ) +η⁰¹(τ)−γη⁰(τ)]e^η(τ)dτ Z t

τ

K⁰(z)

K(t)e^−η(z)dz, (5)

при K(t) =K0 =const резольвента примет вид:

R₀(t, τ) =γ−η⁰(τ) + [η⁰²(τ) +η⁰¹(τ)−γη⁰(τ)]e^η(τ)dτ Z t

τ

K⁰(z)

K(t)e^−η(z)dz, η(τ) =γ[1 + (τ)E(τ)]dτ- ядро релаксации, резольвента ядра K0(t, τ)

Рассматривая (1) - (5) задачу изгиба трехслойных плит на упругоползучем основании, решаем через интегро-дифференциальное уравнение:

∇²(1−K₀^∗)(∇⁴−ξδ)P(t) + [K0(t)

D₀(t) + K0(t)ξ(δD²₀−C²)

δD₀² ]P(t) =

= [K₀(t)

D0(t) +K₀(t)ξ(δD₀²−C²)

δD²₀ ]q(t) (6)

где D0(t) =D1(t) +D2(t)-жесткость слоев; q(x,y,t)- интенсивность внешней поперечной силы, q= C²

D₀ +1−ν₁²

E₁h₁ +1 +ν₂² E₂h₂

C = ai +bj; ai, bi- расстояния от разделяющей плоскости заполнителя до середины i-го заполнителя и ругого j-го слоя,расположенного выше и ниже, h_i - рабочая толщина i-го или j-го слоя, E_i- модуль упругости и ν_i - коэффициент Пуассона i-го слоя плиты.

Уравнение (6) решается для прямоугольной шарнирно-опертой по четырем сторонам плиты, нагруженной внешней симметричной нагрузкой. Это решение получено в виде

P(x, y, t) =

∞

X

k=1

A_k(t) cosπ(2k−1)

2a cosπ(2k−1)

2b y. (7)

Для определения неизвестной функции A_k(t) получаем интегральное уравнение вида

(1−K₀^∗)A_k(t) =B_k(t), (8)

где

Bk(t) ={[(π(2k−1)

2a )²+ (π(2k−1)

2b )²]³−ξδ[(π(2k−1) 2a

2

) + (π(2k−1) 2b )²]+

+[K0(t)

D₀(t) +K0(t)ξ(δD²₀−C²)

δD²₀ ][K0(t)

D₀(t) +K0(t)ξ(δD²₀−C²)

δD²₀ ]qn(t) (9)

192

(3)

А.Ж. Жусупбеков, А.Д. Дасибеков, Т.Ш. Абильмаженов

Решение уравнения (8) при (9) будет:

при A_k(t) = (1 +R^∗)B_k(t)

Подставляя найденное значение в (7), определим реактивное давле-ние, а затем прогиб, изгибающие и крутящие моменты.

При исследовании второй задачи, исходя из наследственной теории ползучести Маслова- Арутюняна [2] и применяя гипотезу Кирхгоффа, получены интегро-дифференциальные уравнения для изгиба составной упруго-ползучей плиты на упруго-ползучем Винклеровом основании. Задача теперь уже решается через систему интегро-дифференциальных уравнений Вольтера:

(1 +K₀^∗)ν⁴P(t) + C₀(t)

D0(t)P(t) = K₀(t) D0(t)[q(t) +

n

X

i=1

Ci∇²Ti]; (10) 1

ξi0(t)(1 + ¯K^∗)∇⁴Ti(t) =

n

X

j=1

δ(t)(1 +K^∗)∇²Ti(t) +1−/nu²_i Ei(t)hi

1 +K^∗Ni−

−1−/nu²_i+1 Ei+1(t)hi+1

1 +K^∗∇²Ni+1+ Ci

D0(t)(1 +K⁸)[q(t)−p(t)](i= 1,2..., n). (11) Таким образом, решение задачи об изгибе упругоползучих многослойных абсолютно жесткими поперечными связями пластин, лежащих на упругоползучем основании, сводится к решению систем интегро-дифференциальных уравнений (10), (11) относительно неизвестных функций при соответствующих граничных условиях.

В третьей задаче исследована модель изгиба трехслойной пластинки, которая представлена, как две прямоугольные пластинки шарнирно оперты по контуру и соединены между собой упругими связями, а третья из них лежит на упругоползучем основании. К верхней поверхности пластинки приложена равномерно распределенная внешняя нагрузка.

Под воздействием этой поперечной внешней нагрузки возникает изгиб пластинки. Задача значительно усложняется тем, что здесь вместо одного интегро-дифференциального уравнения приходится решать систему нескольких совместных уравнений.

Основным случаем внешнего воздействия является равномерная нагрузка, приложенная в момент времени и сохраняющая свою величину во времени. Решение задачи относится к такому диапазону изменения нагрузки, при котором физические характеристики материальной пластинки не изменяют своих величин. Для трехслойной пластинки, отмеченной выше, составим два интегро-дифференциальных уравнений изгиба, т.е. отдельно для верхней и для нижней пластинки. В эти уравнения необходимо включить реакции, которые возникают в связях, расположенных между пластинками и деформируемым основанием.

Разрешающие уравнения изгиба таких пластин получены в виде:

D1∇⁴W1−K1(W2−W1) +K2∇²(W2−W1) =q1(x, y, t); (12) D₂∇⁴W₂+K₁(W₂−W₁)−K₂∇²(W₂−W₁) =q₁(x, y, t)−P(x, y, t), (13) где в (12), (13) D1, D2- жесткость нижней и верхней пластинок;

W₁(x, y, t), W₂(x, y, t)- прогиб нижней и верхней пластинок, P(x, y, t)- реактивное давление упруго-ползучего основания,

q1(x, y, t), q2(x, y, t)- интенсивность внешних нагрузок, действующих на верхнюю и нижнюю части пластинки,

K1, K2- параметры модели Пастернака - Власова.

Система уравнений (12), (13) решается для симметричной формы изгиба, которая возникает при нагружении верхней и нижней пластин симметричными нагрузками. В этом случае прогиб верхней пластинки будет равен по величине прогибу нижней пластинки, но они будут обратны по закону. Следовательно, для этого случая уравнения (12), (13) приводятся к:

193

(4)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилева, 2010, №6

1

2(D1+D2)∇⁴W + 2K1W −2K2∇²W = 1

2[q(x, y)−p(x,8, t)], (14) здесь q(x, y, t) =−q₂(x, y, t)−q₁(x, y, t). Если жесткость обоих плит одинакова, то D₁ =D₂=D .

D∇⁴W + 2K₁W −2K₂∇²W = 1

2(q−p); (15)

Физический смысл этих преобразований сводится к тому, что при симмет-ричном нагружении трехслойной пластинки, средняя плоскость пластинки по условиям симметрии остается неподвижной. Тогда каждая пластинка совершает изгиб, сжимая или растягивая связи, расположенные между пластинками.

Внешнюю нагрузку q(x, y, t) представим в виде:

q(x, y, t) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

q_nm(t) sinnπx a

mπy

b , (16)

где - q_nm(t) = _ab⁴ Ra 0

Rb

0 g(x, y, t) sin^nπx_a ^mπy_b dxdy. Решение уравнения (15) при (16) удовлетворяющее граничным условиям: P(x, y, t) = 0 ^∂_∂x²^p2 = 0 при x = 0 и a; P(x, y, t) = 0

∂²p

∂y² = 0 при y= 0 и b; ищем в виде

P(x, y, t) =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

Pnm(t) sinnπx a

mπy b , P_nm(t) находится в уравнении интегрального вида:

P_nm(t)− Z t

τ1

K(t, τ¯ )P_nm(τ)dτ = 1 Dγ_nm

где K(t, τ¯ ) = ^K(t,τ)_γ , gamma= 1 +pi⁴[(ⁿ_a)²+ (^m_b)²]²+^4K_D¹ +^2K_D²^pi² + [(ⁿ_a)²+ (^m_b)²], D= D₁+D₂

В дальнейшем расчёте плиты остальные показатели, как изгибающие моменты и перерезывающие силы, определяем обычным формулам теории пластин.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширинкулов Т.Ш. Расчет конструкции на сплошном основании с учетом ползучести.

Ташкент, Изд-во "Фан", 1969. -271с.

2. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Гостехтеориздат, 1952. - 324 с.

3. Месчян С.Р. Ползучесть глинистых грунтов. Ереван: Изд.-во АН Арм. ССР, 1967. - 318с.

Жусупбеков А.Ж., Дасибеков А.Д., Әбiлмаженов Т.Ш

Бiрқалыпты емес және серпiмдi жылжымалдылығын есепке алып негiзiнiң көп қабатты плитамен әрекетiсуi

Бұл мақала серпiмдi жылжымалы бiрқалыпты емес грунттi негiзiнiң көп қабатты плитталарымен әрекетiсу мәселерiне арналған.

Zhusupbekov A.Zh., Dasibekov A.D., Abilmazhenov T.Sh.

Interaction many - layer elastic creeping slabs with elastic creeping inhomoge-neous soil basis

This article is devoted with the problems of interaction many - layer elastic creeping slabs with elastic creeping inhomo- geneous soil basis.

Поступила в редакцию 01.09.10 Рекомендована к печати 16.10.10

194