«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
327
УДК 519.6 РОМАНОВ В.Г.
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия ДВУМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Относительно функции u u(x,t), xR2, рассматривается уравнение
).
, ( )
, ( ) , ( ) , ( ) ( )
, (
0
0 x u x t x t s u x s ds F x t
div t x u
t
tt
Это уравнение возникает в теории вязко-упругих тел с постоянной плотностью и коэффициентами Ламе не зависящими от переменной x3. При этом третья компонента вектора смещений удовлетворяет выписанному выше уравнению.
Предполагается, что 1) функция 0(x) известна и 2) функция (x,t) представима в виде (x,t)k(t)p(x), в котором k(t) является заданной и такой, что k(0)1, а p(x) – неизвестной функцией, носитель которой содержится открытой компактной области R2 с гладкой границей D.
Рассматриваемые постановки различаются видом импульсного внешнего источника )
, (x t
F и задаваемой информацией о решении прямой задачи.
В первой из них, источник локализован на некоторой прямой, касающейся границы области в некоторой точке yD. Точка y является параметром задачи и пробегает последовательно все множество точек границы D. Задаваемая информация о решении прямой задачи представляет собой след на D решения задачи Коши для интегро- дифференциального уравнения с нулевыми начальными данными. Этот след задается для моментов времени близких к времени прихода волны от источника в соответствующую точку границы. Показано, что рассматриваемая задача приводится к известной задаче интегральной геометрии на семействе геодезических римановой метрики, определяемой функцией 0(x).
Во второй постановке задачи источник, инициирующий колебания, сосредоточен на прямой x1 0. В качестве информации для решения этой обратной задачи задаются на D следы решения прямой задачи Коши и его нормальной производной для некоторого конечного, но достаточно большого, временного интервала. Основной результат этой части работы заключается в получении липшицевой оценки условной устойчивости решения рассматриваемой обратной задачи.
