МРНТИ 681.3.07
Ж.М. Есмухан1, Е.Е. Масимбаев2
2Колледж при Казахской Головной архитектурно-строительной академии, Алматы, Казахстан
(E-mail: 2[email protected])
Координатный метод построения изображений
Аннотация: Широко распространенный проекционный метод изображения оказался не так удобным в компьютерной графике. Поэтому предлагается координатный метод, позволяющий построить изображение объекта по координатам определяющих его точек.
Ключевые слова: координатный метод построения изображения, изображение, плоскость, форма, виды.
В инженерной практике принято построить изображения (чертежи) прямоугольным проецированием на грани куба.
Полученные при этом изображения называются основными видами этого изделия. При необходимости используются дополнительные виды и условные изображения (разрезы и сечения), полученные в результате рассечения изделия выбранной плоскостью. Количество изображений должно быть минимальное, но достаточное для определения формы и размеров изделий, а так же для его реконструкции. Однако, для применения компьютерных технологий такой метод построения изображений оказался неудобным [1, 2].
В качестве наглядного примера рассмотрим построение вида слева тетраэдра, заданного видами спереди и сверху (Рисунок 1,а). Согласно методике, принятой до середины ХХ века, считали заданными взаимно перпендикулярные прямые х и у, которых называли осями проекций (Рисунок 1, б). Для построения вида слева𝐴3вершины 𝐴, заданного видами спереди𝐴1 и сверху𝐴2, поступали следующим образом: через точки𝐴1 и𝐴2 проводили горизонтальные прямые. Через точку пересечения прямой, проведенной через точку𝐴2, и прямой𝑦 проводили дугу окружности с центром в точке О (точка пересечения осей проекций х и у), а через точку ее пересечения и прямой х проводили вертикальную прямую. Последняя прямая и
горизонтальная прямая, проведенная через точку𝐴1, пересекаются в искомой точке𝐴3. Такой способ построения был раскритикован пользователями, так как на рабочих чертежах отсутствуют оси проекций х и у.
а) б) в) Рисунок1.
Тогда был предложен другой способ построения, показанный на рисунке 1,в. Проводили так называемую
«постоянную прямую чертежаk», распологаемую под углом450 к горизонтальной прямой. Через точку𝐴2 проводят горизонталь- ную, а через точку ее пересечения с прямой k–вертикальную прямые. Последняя прямая пересекает горизонтальную прямую, проведенную через точку𝐴1, в искомой точке 𝐴3.Как видите,и здесьмного вспомогательных и ненужных линий. Поэтому предлагается координатный метод, который не имеет указанных недостатков проекционного метода. Аксонометрические проекции, как известно, относится к координатному методу.
Однако, в аксонометрии изображения получаютчя искаженными;
форма и размеры оригинала изменяются.
Положение точки на прямой определяются одним параметром, так как прямая, как одномерное пространство, состоит из∞1 точек. Если точка𝑀 ∈ 𝑥, то ее положение определяется длиной отрезка𝑂𝑀, где точка𝑂 ∈ 𝑥 называется началом координат (Рисунок2,а). Прямую х называем координатной осью, а величину|𝑂𝑀| = 𝑥 координатной точки М.
Если точка преднадлежит положительной полупрямой, то ее координата считается положительной𝑀(𝑥), а в противном случае
– отрицательной𝑁(−𝑥). Положительное направление координатной оси показывается стрелкой.
Положение точки на плоскости определяется двумя параметрами, так как плоскость, как двухмерное пространство, содержит∞2 точек. Поэтому две взаимно перпендикулярные прямые (для удобства) х и у, которые называются первой х и второй у координатными осями (Рисунок2,б). Тогда положение точки на этой плоскости определяется расстояниами от ней до координатных осей: |𝑂𝑀𝑥| = |𝑀𝑀𝑦| = 𝑥 − первая, а|𝑂𝑀𝑦| =
|𝑀𝑀𝑥| = 𝑦 −вторая координата точки𝑀(𝑥, 𝑦).
Трехмерное пространство содержит∞3 точек. Это означает, что положение точки в трехмерном пространстве определяется тремя параметрами. Поэтому рассматривается три взаимно перпендикулярные прямыеx, yилиz (Рисунок2,в). Которые пересекаются в точке О. В полученной системе координат положение точки определяется, как известно, расстояниями от плоскостей𝜋1(𝑥 ∩ 𝑦), 𝜋2(𝑥 ∩ 𝑧) и 𝜋3(𝑦 ∩ 𝑧),которые называются координатными плоскостями. Координаты точки𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧):
первая координата𝑥 = |𝑀𝜋3| = |𝑂𝑀𝑥|; вторая координата𝑦 =
|𝑀𝜋2| = |𝑀1𝑀𝑥|; третья координата𝑧 = |𝑀𝜋1| =
|𝑀2𝑀𝑥|. Основание точки на координатной плоскости назовем ее изображением:𝑀1 − первое,𝑀2− второе и 𝑀3−третье изображение точки М. Очевидно, что достаточно показать изображения на двух координатных плоскостях (Рисунок2,(г или д)).
Рисунок 2.
a)
б) в) г) д)
Анологично, в n-мерном пространстве положение точки определяетсяn параметрами. Мы ограничимся рассмотрением трехмерного пространства.
Пример 1. Построить изображения тетраэдраABCD на координатных плоскостях, если известны координаты его вершин: 𝐴(𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎), 𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏, 𝑧𝑏), 𝐶(𝑥𝑐, 𝑦𝑐, 𝑧𝑐), и 𝐷(𝑥𝑑, 𝑦𝑑, 𝑧𝑑).
Решение. Для построения изображения на первой координатной плоскости берем взаимно перпендикулярные прямые𝑥1 и 𝑦1(Рисунок3,а). Отметим точку𝐴𝑥 ∈ 𝑥1 так, чтобы отрезок𝑂1𝐴𝑥 был равен первой координате этой точки в выбранном масштабе:|𝑂1𝐴𝑥| = 𝑥𝑎. В точке𝐴𝑥 востановим перпендикуляр и на этот перпендикуляр откладываем отрезок, равной третьей координате:|𝐴𝑥𝐴1| = 𝑧𝑎. 𝐴1− первое изображение точки А. Анологично определяются точки𝐵1, 𝐶1 и𝐷1. Соеденяя отрезками прямых найденные точки, получаем четырехугольник𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1− первое изображение тетраэдраABCD. Невидимый на изображении отрезок𝐴1𝐶1 проводится штриховой линией. Построение изображения на второй координатной плоскости отличается от вышеизложенного только тем, что рассматривается взаимно перпендикулярные прямые𝑥2 и 𝑧2(Рисунок3,б). Определив точку𝐴𝑥 ∈ 𝑥2, восстановим перпендикуляр в этой точке к прямой𝑥2. На этом перпендикуляре определяется второе изображение𝐴2 точкиA из условия, что|𝐴𝑥𝐴2| = 𝑧𝑎. Аналогично определяются точки𝐵2, 𝐶2 и𝐷2. У четырехугольника𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2 диагональ𝐶2𝐷2 проведена штриховой линией, так как она является изображением отрезкаCD, расположенного ближе координатной плоскости𝜋2. Вспомогательные линии и обозначения на изображениях не показывают (Рисунок3,в).
Чтобы убедиться в достаточности двух изображений, рассмотрим построение изображения данного тетраэдра на плоскость𝜋3 по двум данным изображениям на плоскостях𝜋1 и𝜋2 (Рисунок3,г). Проводим прямые𝑦3 и𝑧3(𝑦3 ⊥ 𝑧3). Для определения положения𝐴3− изображения точки А нет необходимости в знании координат этой точки. На прямую𝑦3 отложим отрезок𝑂3𝐴𝑦, равный отрезку𝐴𝑥𝐴1. В точке𝐴𝑦 восстановим перпендикуляр к прямой𝑦3 и на эту прямую отложим отрезок𝐴𝑦𝐴3, равный отрезку𝐴𝑥𝐴2. Аналогично определяются
точки𝐵3, 𝐶3 и𝐷3. Четырехугольник𝐴3𝐵3𝐶3𝐷3 служит изображением данного тетраэдра на плоскости𝜋3.
а)б)
Рисунок 3.
На практике принято распологать первое и второе изображения на одной вертикали, а первое и третье изображения – на одной горизонтали (соблюдают так называемую проекционную связь), хотя это необязательно.
Пример 2. Построить дополнительное изображение геометрического тела (заданного видами спереди и сверху) цилиндрической формы с вырезом на плоскость𝛼, располо- женной перпендикулярно к плоскости𝜋2(Рисунок4,а).
Решение. Данное геометрическое тело представляет собой цилиндр вращения, который рассечен четырьмя плоскостями:
одна из них наклонена, другая расположена перпендикулярно а остальные две параллельны оси цилиндра. Линия пересечения поверхности цилиндра с наклонной плоскостьюпредставляет собой эллипс. Плоскость перпендикулярная к оси пересекает его по окружности, плоскость параллельная оси-по прямоугольнику.
Выбираем прямоугольную координатную систему𝑂𝑥𝑦𝑧 так, чтобы плоскость𝜋2(𝑥 ∩ 𝑧)совпала основанием, а вторая ось – с осью цилиндра. Тогда новая плоскость изображения𝛼(𝛼2) будет располагаться параллельно второй координатной оси у, поэтому
в)
вторые координаты точек остаются без изменений. Координат- ные осих 𝛼и𝑍𝛼 изображаются одной прямой, совпадающей с прямой𝛼2, а координатнаяось𝑦𝛼 располагается перпенди-кулярно к ним:𝑦𝛼 ⊥ 𝑥𝛼 = 𝑧𝛼.
а) б)
Рисунок 4.
Основание цилиндра изображается на плоскость𝛼 в виде отрезка𝐵2𝛼𝐹2𝛼, совпадающего с осью𝑋𝛼 = 𝑍𝛼(Рисунок4,б). Для определеия оригинала этого отрезка𝐵2𝐹2 проведена прямая через точку𝑂2 параллельно прямой𝛼2. Эллипс в общем случае изображается в эллипс. Отмечаем точки𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 и𝐻,позволяющие определить изображения эллипса на плоскости𝛼.Для этого используются новые координаты указанных точек:𝐴(|𝐴2𝑦𝛼|, |𝐴𝑋1𝐴1|), 𝐵(|𝐵2𝑦2|,
|𝐵𝑋1𝐵1|), 𝐶(|𝐶2𝐶2|, |𝐶𝑋1𝐶1|), … . Проводим взаимно перпендикулярные прямые𝑥𝛼 = 𝑧𝛼 и𝑦𝛼. Для построения нового положения𝐴𝑥 (Рисунок4,в)точки 𝐴 откладываем на прямую𝑥𝛼 = 𝑧𝛼 отрезок𝑂𝛼𝐴2𝛼, равный первой координате|𝐴2𝑦𝛼|, |𝑂𝛼𝐴2𝛼|. В точке𝐴 восстановим перпенди-куляр к прямой𝑥 = 𝑧 , на
в)
который откладываем вторую координату:|𝐴2𝛼𝐴𝛼|,
|𝐴𝑋1𝐴1|.Анологично определяются новые изображения𝐵𝛼, 𝐶𝛼, 𝐷𝛼, 𝐸𝛼, 𝐹𝛼, 𝐺𝛼 и𝐻𝛼 точек𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, и𝐻.
Через найденные точки можно проводить искомую кривую, представляющую собой эллипс. Зная, что эллипс определяется пятью точками, можно выполнить построение высокой точностью[3].
Окружность, которая получается в сечении цилиндра плоскостью, расположенную параллельно основанию цилиндра, изображается так же в отрезок прямой. Для определения изображения этого отрезка использована точка 𝐾.
Использованная литература
1. Климачева Т.Н. AutoCAD «Полный курс для профессионалов». – М.:
ООО «И.Д. Вильямс», 2010. –1200с.
2. Херн, Дональд, Бейкер, М. Паулин. Компьютерная графика и стандарт 3-е издание. – М.: Издательский дом «Вильмс», 2005. – 168 с.
3. Есмухан Ж.М., Куспеков К.А. Универсальный алгоритм построения коники//Проблемы инженерной графики и профессионального образования, 2010. -№5. – С. 29 – 36.
Ж.М. Есмухан1, Е.Е. Масимбаев2
12Қазақ Бас сәулет-құрылыс академиясының жанындағы колледж, Алматы, Қазақстан
Координаталар әдісімен көріністерді салу
Аннотация:Кескіндерді проекциялау әдісімен салу компьютерлік графика үшін қолайсыздау болғандықтан, оларды координаталар әдісімен салу ұсынылған. Негізгі көріністерімен берілген дененің қосымша көрінісі координаталар әдісімен салынған.
Кілт сөздер:координаталар әдісімен көріністерді салу, көріністер, жазықтық, түзу, нүкте.
Zh.M. Esmukhan1, E.E. Masimbayev2
2College at the Kazakh Leading Academy of Architecture and Construction, Almaty, Kazakhstan
Coordinate imaging method
Abstract: Widespread image projection method Was not convenient applied in computer graphics. Therefore, coordinate method is suggested, by constructiong the image of an object from the coordinates of its defining points.
Key words: Coordinate imaging method, plane, point,straight, kinds.
References
1. Klimacheva T.N. AutoCAD «Polnyy kurs dlya professionalov»[AutoCAD
"Full course for professionals"] (Moscow,LLC “I. D. Williams, 2010). [in Russian]
2. Khern, Donal'd, Beyker, M. Paulin. Komp'yuternaya grafika i standart [Computer graphics and standard] Uchebno-metodicheskoye posobiye [Teaching guide] (Moscow, Publishing house "Vilms", 2005). [in Russian]
3. Yesmukhan ZH. M., Kuspekov K. A. Universal'nyy algoritm postroyeniya koniki [Universal conic construction algorithm] Problemy inzhenernoy grafiki i professional'nogo obrazovaniya[Problems of engineering graphics and vocational education],5, 29-36 (2010). [in Russian]
