Актаукенова Гулнур Сарбасовна (ЕНУ им. Л.Н.Гумилева. г.Астана) МКЭ в расчетах подпорных стен с учетом нелинейных свойств грунта
Numerical calculation of gravity retaining wall and analysis of stress-strained condition are investigated.
Интенсивный рост производительности ЭВМ и развитие численных методов, в частности метода конечных элементов (МКЭ), расширяют возможности моделирования. Один из этапов МКЭ, разделение области отыскания решения на подобласти - конечные элементы (КЭ), позволяет эффективно использовать различные модели. При решении некоторых задач геомеханики прибегают к приближенным численным методам расчета, т.к. возможности аналитических методов значительно ограничивается. Широкое распространение получили метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), метод граничных элементов (МГЭ). В этих методах расчетная область (в МГЭ-граница области) разбивается на отдельные элементы и решение отыскивается либо в узловых точках, либо в каждом из элементов при заданном законе изменения искомых величин в пределах элемента. В расчетах напряженно-деформированного состояния грунтового массива и взаимодействующего с ним сооружении преимущественное развитие получил МКЭ [1].
Существенным преимуществом МКЭ перед другими перечисленными методами являются легкость аппроксимации расчетных областей с любой конфигурацией, простота реализации произвольного сгущения сетки в контактных зонах материалов.
МКЭ также применим к исследованию конечных деформаций физически нелинейных анизотропных тел любой геометрической формы при произвольных граничных условиях.
Использование МКЭ позволяет учитывать такие характерные особенности грунтов, как неоднородность, слоистость, анизотропность и др.
Использование метода конечных элементов к расчету давления грунта на подпорные стены перспективно и позволяет учесть: сложное напряженно- деформированное состояние засыпки, обусловленное, в значительной степени, величиной и характером деформации стены и осадками основания при нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями грунта, представляющего засыпку, что обычно не учитываются в существующих методах расчета;
неоднородность основания и переход части грунта в пластическое состояние; разрыва сплошности среды по контакту и т.д.
МКЭ можно рассматривать как способ аппроксимации непрерывных функций дискретной моделью. Дискретная модель выражается множеством значений функции в конечном числе точек области и определения совместно с кусочно-непрерывными аппроксимациями этой области на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами.
Вывод уравнений МКЭ и их объединение в систему уравнений можно осуществить различными способами (прямой метод, метод взвешенных невязок и др.) Одним из важных пунктов при решении задач МКЭ является выбор конечных элементов, которые в значительной мере влияют на эффективность расчета. Анализ результатов (сравнение с точными решениями) показывают, что решение на базе линейных элементов оказываются наименее точными [2]. Поэтому преимущество отдается использованию более сложных элементов, однако, при использовании сложных элементов возрастает время вычислительного процесса, поскольку
необходимо применять методы численного интегрирования. Поэтому окончательный выбор типов элементов зависит от особенностей конкретной задачи.
Рассмотрим использование изопараметрических квадратичных конечных элементов: треугольные и четырехугольные, в отдельных случаях – так называемые
«контактные элементы» - квадратичные четырехугольники с нулевой толщиной [3].
Изопараметрические элементы – это элементы, в которых функции формы описывают не только поле перемещений, но и геометрические характеристики элемента (рисунок 1).
Рисунок 1. Изопараметрические конечные элементы
Для описания изопараметрических конечных элементов кроме глобальной системы координат вводится и локальная, которая позволяет в удобном виде описать функции формы для конечных элементов высокого порядка и провести интегрирования матриц элементов в стандартном аналитическом виде. В качестве локальной системы координат для четырехугольных элементов принимаются естественные безразмерные координаты с переменными и , а для треугольных элементов принимаются L- координаты (рисунок 2).
Для этих элементов интерполяционные полиномы соответственно имеют вид:
, 1 2 3 4 52 62 72 82 (1)
x,y
1
2x
3y
4x2
5xy
6y2
где неизвестные коэффициенты 1,,8, 1,,6- выражаются через узловые значения перемещений. Вектора перемещений и их приращения в любой точке внутри элемента е можно записать следующим образом:
U
N
Ue (2)где
N - матрица функций формы элемента, которая состоит из k блоков равных числу узлов в элементе.1 2 3 1 2 3 4
4 5 6 5
6 7 8 9 10
а б
L1
L2
L3 L2 L1
L3
Рисунок – 2. L-координаты в треугольных элементах
Вычисление функций формы упрощается, если ввести L-координаты. Функции формы, выраженные через L-координаты, имеют вид (рисунок 2):
1) для квадратичного элемента:
1 1 2 2 1 2 3 2 2
4 2 3 5 3 3 6 1 3
2 1 ; 4 ; 2 1 ;
4 ; 2 1 ; 4 ;
N L L N L L N L L
N L L N L L N L L
Перемещение узлов элемента, их приращения характеризуются вектором
Ue .Соотношения между глобальными и локальными координатами для изопараметрических конечных элементов имеет вид:
k
k
k x
N
x, , ,
k
k
k y
N
y, , , (3)
k
k
k L L L x
N L
L L
x 1, 2, 3 1, 2, 3 ,
k
k
k L L L y
N L
L L
y 1, 2, 3 1, 2, 3 , (4) Выражение (1) можно записать в следующем свернутом виде
k k
k k k
kU V N V
N
U (5) В свою очередь приращение вектора деформаций можно записать
x V y U
y V
x U
(6)
Связь между приращениями узловых перемещений и приращениями компонент вектора деформации конечного элемента можно получить обычным дифференцированием равенства (2) или (5)
B
Ue (7) где
B - матрица связи.В декартовой системе координат отдельные блоки матрицы связи имеют вид
x N y N
y N x N B
i i
i i
i 0
0
(8) С учетом принятого кинематического допущения связь между приращениями компонент 2-тензора напряжений и тензора деформаций принимается в следующей форме:
D
D B
Ue (9) где
D - матрица упругих постоянных.В качестве основы для разработки вычислительного алгоритма было использовано линейное относительно приращений перемещений Uiуравнение равновесия модифицированной формулировке Лагранжа, полученное исходя из принципа возможности перемещений.
Выполнив некоторые преобразования подынтегральных выражений можно записать следующее уравнение в сокращенной форме:
Ke
Ue Pe Fe (10) где
V e T
dV B D B
K – матрица жесткости элемента;
qe eP
e P P
P - вектор узловых сил элемента;
s e T
P N p dS
P - вектор сил, обусловленных поверхностными нагрузками;
V e T
q N q dV
P - вектор, обусловленных объемными
силами;
V e T
dV B
F - вектор узловых сил элемента, обусловленных напряжениями в элементе.
Для всей конечно-элементной системы уравнение (10) выглядит
K
U P F (11) где:
m
e
Ke
K
1
- глобальная матрица жесткости системы;
m
e
Pe
P
1
- глобальный вектор сил; m- число элементов, объединенных в систему;
m
e
Fe
F
1
- глобальный вектор узловых сил.
Для вычисления
K и
P необходимо произвести некоторые преобразования, так как элементы этих матриц
B и
N являются функциями
и
, либо L1,L2,L3 заданных в естественных координатах.1. Поскольку
Ni заданы в естественных координатах глобальные производные от
B необходимо выразить через локальные производные;2. Элементарный объем, по которому производится интегрирование необходимо представить в локальных координатах и соответствующим образом изменить пределы интегрирования.
Таким образом, на основе решения системы уравнений (11) при удовлетворении граничных условий находят неизвестные приращения узловых перемещений. Решение системы производится пошаговым методом. По найденным значениям узловых перемещений для каждого элемента определяются истинные напряжения Коши. Этим исчерпывается решение упругой задачи. При численном интегрировании наиболее точны значения напряжений найденных в определенных узлах.
Задачи пластического течения решаются с использованием итерационного процесса по алгоритму метода начальных напряжений. Достоинство этого метода состоит в том, что в процессе итерации системе (11) матрица
K остается постоянной.При этом матрица жесткости системы
K формируется на основе постоянных разгрузочных модулей и остается неизменной в процессе итерационного счета.Чтобы вычислить пластическую деформацию на каждом шаге итерационного процесса, необходимо сформулировать определяющие соотношения, которые и составляют так называемую математическую модель грунта.
Для исследования давления грунта на подпорные сооружения в качестве расчетной принята математическая модель грунта, предложенная Ю.К.Зарецким [].
Модель была сформулирована в рамках классической теории пластического течения с упрочнением и характеризуется кусочно-гладкой поверхностью нагружения с сингулярными точками, параметрами упрочнения которой служат интенсивность пластической деформации сдвига и пластическая объемная деформация.
Следует отметить, что понятие «поверхность нагружения» ассоциируется с границей областей упругих и пластических деформаций.
Рисунок 3. Гравитационная подпорная стена консольной схемой опирания
Литература
1. А.Б.Фадеев. Метод конечных элементов в геомеханике. –М.: Недра. 1987. -221 с 2. Р.Галлагер. Метод конечных элементов. Основы. –М.: Мир, 1984. -428 с.
3. К.Бате., Е.Вильсон. Численные методы анализа и метод конечных элементов.
–М.: Стройиздат, 1982. -447 с.
Рисунок 4. Результаты расчета по группам предельных состоянии
