УДК 531.8
К. Кудайкулов, К. И. Усманов
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ В ЧАСТИЧНО-ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫХ
ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ С ОСЛАБЛЕННЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Для исследования термоупругого состояния деталей машин, работающих в тепловом поле, необходимо сначала определить по- ле распределения температуры в них при реальных условиях экс- плуатации. Известно, что построение аналитического решения та- ких задач при сложных граничных условиях весьма сложно.
Для определения распределения температуры в трёхмерных телах необходимо решить квазигармоническое уравнение парабо- лического типа
∂
∂x
Kxx∂T
∂x
+ ∂
∂y
Kyy∂T
∂y
+ ∂
∂z
Kzz∂T
∂z
+Q= 0 (1) с соответствующими граничными условиями:
на поверхности S1:
T =Tгр; (2)
и на поверхностиS2:
Kxx∂T
∂xℓx+Kyy∂T
∂yℓy+Kzz∂T
∂zℓz+q+h·(T−Tгр) = 0. (3) Из курса вариационного исчисления [1] известно, что уравне- ние (1) с граничные условиями (2)–(3) даёт минимум функциона- лу:
Φ = Z
v
1 2
Kxx
∂T
∂x 2
+Kyy
∂T
∂y 2
+Kzz
∂T
∂z 2
−2QT
dv+
+ Z
s
qT +1
2h(T−Tгр)2
ds. (4)
165
Далее, дискретизируя рассматриваемую конструкцию конеч- ными элементами в виде параллелепипеда и минимизируя функ- ционал (4) по узловым значениям температуры, получим раз- решающую систему линейных алгебраических уравнений в виде [2, 3]:
[K]{T}={F}, (5) где [K]— матрица теплопроводности, {F}— вектор нагрузки.
В качестве модельного примера рассматривается задача опре- деления поля распределения температуры в прямоугольном па- раллелепипеде длиной 10 см, шириной 6 см и постоянной толщины равной 6 см (рис. 1). В середине параллелепипеда имеется сквоз- ное отверстие размером2×2×6см, на внутренной поверхности ко- торого задан тепловой поток, с интенсивностью q = 100 Вт/см2. Коэффициенты теплопроводности материала во всех направлени- ях одинаковы: Kxx = Kyy = Kzz = 75 Вт/(см◦С). Температура окружающей среды Tср = 40◦С. Значение коэффициента тепло- обмена с окружающей средой h = 10 Вт/(см2◦С). А также рас- сматриваемое тело частично теплоизолировано в правой боковой поверхности. Локально-теплоизолированная поверхность указана на рис. 1. Рассматриваемое тело дискретезирем 45-ю конечными элементами в виде паралелепипеда с восемью узлами.
Рис. 1. Расчётная схема рассматриваемого трёхмерного тела с ослабленным отверстием
Рассматриваемое тело считается жёстко-защемлённым левым концом.
Решая полученную систему линейных алгебраических урав- нений относительно 96 узловых значений температуры методом Гаусса, получаем их численное значение, которые приведены в таб- лице, а нумерация узловых точек — на рис. 2.
166
Численные результаты
Значе- Значе- Значе- Значе- Значе-
№ ние тем- № ние тем- № ние тем- № ние тем- № ние тем- узла перату- узла пературы узла пературы узла пературы узла пературы
ры в ры в ры в ры в ры в
узлах узлах узлах узлах узлах
1 57,855 2 61,226 3 62,918 4 63,044 5 61,583
6 58,352 7 60,840 8 64,960 9 65,761 10 65,962
11 65,463 12 61,226 13 60,840 14 64,960 15 65,761
16 65,962 17 65,463 18 61,226 19 57,855 20 61,226
21 62,918 22 63,044 23 61,583 24 58,352 25 60,841
26 64,939 27 66,692 28 66,828 29 65,444 30 61,227
31 64,391 32 69,144 33 71,789 34 72,041 35 69,677
36 66,001 37 64,391 38 69,144 39 71,789 40 72,041
41 69,677 42 66,001 43 60,841 44 64,939 45 66,692
46 66,828 47 65,444 48 61,227 49 60,841 50 64,939
51 66,692 52 66,828 53 65,444 54 61,227 55 64,391
56 69,144 57 71,789 58 72,041 59 69,677 60 66,001
61 64,391 62 69,144 63 71,789 64 72,041 65 69,677
66 66,001 67 60,841 68 64,939 69 66,692 70 66,828
71 65,444 72 61,227 73 57,855 74 61,226 75 62,918
76 63,044 77 61,583 78 58,352 79 60,840 80 64,960
81 65,761 82 65,962 83 65,463 84 61,226 85 60,840
86 64,960 87 65,761 88 65,962 89 65,463 90 61,226
91 57,855 92 61,226 93 62,918 94 63,044 95 61,583
96 58,352
167
Рис. 2. Нумерация узловых точек
С помощью определённых узловых значений температуры можно определить поле упругих перемещений, деформации, а так- же вычислить значение термоупругих напряжений, как показа- но в [1].
1. Эльсгольц, Л. Э.Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Э.
Эльсгольц. — М: Мир, 1969. — 271 с.
2. Зенкевич, О. С.Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. С. Зен- кевич. — М: Мир, 1975. — 392 с.
3. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Се- герлинд. — М: Наука, 1979. — 320 с.
Международный Казахско-Турецкий Университет им. Х. А. Ясави, г. Туркестан, Казахстан
168
