Б. Рысбайулы, З.Б. Биртаева
Определения коэффициента теплопроводности многослойного грунта с учетом конвекции влаги
( Казахстанско-Британский технический университет, г. Алматы) (Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова, г. Костанай)
В работе изучается обратная задача процесса распространения тепла в неоднородной среде. Использую температуры и влаги грунта на поверхности земли определяется коэффициент теплопроводности грунта.
1 Постановка задачи.Конвективный перенос тепла в грунте осуществляется водой или воз- духом. Передвижение влаги может осуществляться в грунте или в результате фильтрации (т.
е. под воздействием гравитационных сил), или в результате миграции (т. е. под воздействием
"внутренних"сил, возникающих в самом грунте на поверхностях раздела вода - минеральный скелет), или тем и другим путем одновременно. Мартынов Г.А., Глобус А.М. [1,2] и другие уче- ные доказали, что механизм движения в обоих случаях совершенно одинаков, хотя силы, вызы- вающие его, различны. В работе [3-5] изучены математические свойства разностных схем для однородного грунта, а в работе [6-7] изучено метод определения коэффициента теплопроводно- сти однородного грунта с учетом конвекций влаги. В областиθ= (0, H)×(0, T)рассматривается конвективное распространение тепла. Уравнение движение влаги и тепла записываются в сле- дующем виде:
γ0c∂θ
∂t = ∂
∂z
λ∂θ
∂z
, (1)
∂ω
∂t = ∂
∂z
D∂ω
∂z
+ ∂
∂z
Dµ∂θ
∂z
. (2)
Для уравнений (1) ставятся слудующие начально-граничные условия θ
z=H =T1, λ∂θ
∂z
z=H =−α(θ
z=H −Tb(t)), θ
z=H =θ0(z). (3) Уравнение влаги (2) решается при следующих условиях
ω
z=0=ω1,∂ω
∂z
z=H =A(t), ω
z=0 =ω0(z) (4) Кроме того, при переходе от одного слоя к другому слою ставятся условия
λ∂θ
∂z
z=hk
= 0,
D∂ω
∂z +Dµ∂θ
∂z
z=hk
= 0 [θ]z=h
k = 0,[ω]z=h
k = 0, k= 1,2, K (5) Здесь z =hk, k = 1,2, K коордиаты точки перехода. Для того чтобы определить коэффи- циент теплопроводности задаются условия
θ
z=H =Tq(t), ω
z=H =ωq(t). (6) 2.Задача с обратными временем
Коэффициент теплопроводности определяется итрационным методом. Решение системы (1) - (6) при начениях λn(z) и λn+1(z) обозначим через (θn(z, t), ωn(z, t)) и (θn+1(z, t), ωn+1(z, t)) соответственно. Тогда для разностиδθ=θn+1(z, t)−θn(z, t) выводится система
γ0c∂δθ
∂t = ∂
∂z
λn∂δθ
∂z +δλ∂θn+1
∂z
, (7)
δθ
z=H = 0, δθ t=H,
λn
∂δθ
∂z + ∆λ∂θn+1
∂z
z=H =−λδθ
z=H; (8)
[δθ]h
k = 0
λn
∂δθ
∂z + ∆λ∂θn+1
∂z
hk
= 0. (9)
Здесьδλ=λn+1(z)−λn(z) А для влаги соответствующее уравнение записывается в виде
∂δω
∂t = ∂
∂z
D∂δω
∂z +Dµ∂δθ
∂z
(10) δω
z=H = 0,∂δω
∂
z=H = 0, δω
t=0= 0 [δθ]h
k = 0,
D∂δω
∂z +Dµ∂δθ
∂z
hk
= 0 (11)
Умножим (7) на произвольную функциюψ(z, t)и итегрируем по областиQ= (0, H×(0, t)).
Тогда
RH 0 dzRH
0 γ0c∂δθ∂t ψdt=RT 0 dtRH
0
∂δ
∂zψdz, где σ=λn∂δθ∂z +δλ∂θ∂zn+1. Интегрируем по частям по переменной t и z:
RH 0 γ0c
δθψ t=T
−δθψ t=0
dz − RH
0 γ0cdzRT
0 δθ∂ψ∂zdz = RT
0 dtRh1−0 0
∂σ
∂zψdz + RT
0 dtRh2−0 h1+0
∂σ
∂zψdz+RT 0 dtRH
h2+0
∂σ
∂zψdz
В данном случае предполагается, что k=2. Данное предположение не нарушает общность поставки задачи. Принимая во внимание начальные условия из (8) и дополнительно к этому полагая,ψ(z, T) = 0 получаем равенство
−RH
0 γ0cdzRH
0 δθ∂ψ∂z =RT
0 dtRh1−0 0
∂σ
∂zψdz+RT
0 dtRh2−0 h1+0
∂σ
∂zψdz+RT 0 dtRH
h2+0
∂σ
∂zψdz.
Каждый интеграл в правой части знака равенство интегрируется по частям. Предполагаем непрерывность функцииψ(z, t)в точкахhk, k= 1,2. То естьψ(hk+0, t) =ψ(hk−0, t) =ψ(hk−t), или, иначе [ψ]h
k = 0, k= 1,2.. Тогда перегруппируя, слагаемые записываем равенство в виде
−RT 0
RH
0 γ0δθ∂ψ∂t = RT
0
σψ
z=H −δψ z=0
dt−RT
0 [σ]h1ψ(h1, t)dt−RT
0 [σ]h2ψ(h2, t)dt−RT 0 dtRH
0 σ∂ψ∂zdz.
Второе условие системы (9) записывается в виде [σ]h
kk = 1,2. Поэтому, дополнительно предполагая , что ψ(0, t) выводим равенство
−RT 0
RH
0 γ0cδθ∂ψ∂tdzdt=RT 0 σψ
z=Hdt−RT 0 dtRH
0 σ∂ψ∂z.
Граничное условие в новой переменнойσ(z, t)записыватся в видеσz=H =−αδθ
z=H, поэто- му
−RT 0
RH
0 γ0cδθ∂ψ∂t =−αRT 0 δθψ
z=Hdt−RT 0 dtRH
0 δλ∂θ∂zn+1∂ψ∂zdz−RT 0 dtRH
0
∂δθ
∂zλn∂ψ∂zdz.
Последний интеграл в правой части знака равенство снова интегрируетсяпо частям. Учи- тываем непрерывность функцийδθ в точкахhk, т.е.[δθ]h
k и принимая во внимание граничное условие δθ
z=0= 0 выводим, что
− Z T
0
Z H
0
δθ
γ0c∂ψ
∂t +∂ψ
∂z(λn
∂ψ
∂z)
dtdz+ Z T
0
δθ
αψ+λn
∂ψ
∂z
z=Hdt=
=− Z T
0
dt Z H
0
δλ∂θn+1
∂z + Z T
0
δλ(h1, t)
λn∂ψ
∂z
h1
dt+ Z T
0
δθ(h2, t)
λn∂ψ
∂z
h2
dt (12) 1)Умножим (10) на произвольную функциюu(z, t)и интегрируем по всем внутренним точ- кам области Q= (0, H)×(0, T):
RH 0 dzRT
0
∂δψ
∂t udt=RT
0 dtRh1−0 0
∂δR
∂z udz+RT
0 dtRh2−0 h1+0
∂δR
∂z udzRT 0 dtRH
h2+0
∂δR
∂z udz.
Здесь
δR=D∂δR∂z +Dµ∂δR∂z . Интегрируем по частям по двум переменным t и z. Тогда
RH 0 dz
δωu
t=T −δωu t=0
−RH 0 dzRT
0 δω∂u∂tdt=RT 0
δRu
z=H −δRu z=0
dt− RT
0
δRu
h1+0
−δRu h1−0
dt−RT 0
δRu
h2+0
−δRu h2−0
dt−RT 0 dtRH
0 δR∂u∂zdz.
Для функцийu(z, t)ставим следующие конечные, граничные и внутренние граничные усло- вия
u(z, T) = 0, u(0, t) = 0,[u]h1 = 0,[u]h2 = 0.
В этом случае предыдущее равенство имеет следующий вид
−RH 0
RT
0 δω∂u∂tdtdz=RT 0 δRu
z=Hdt−RT
0 [δR]h1u(h1, t)dt−RT
0 [δR]h2u(h2, t)dt−RT 0 dtRH
0 δR∂u∂zdz.
Учитывая вид функцийδR записываем его в виде
−RH 0
RT
0 δω∂u∂tdtdz=RT
0 D∂δω∂z u
z=Hdt+RT
0 Dµ∂δθ∂z u
z=Hdt−RT
0 [δR]h1u(h1, t)dt− RT
0 [δR]h2u(h2, t)dt−RH 0
RT 0
∂δθ
∂zD∂u∂zdtdz−RH 0
RT 0
∂δθ
∂z Dµ∂u∂zdtdz.
Последнее два интеграла в правой части знака равенство интегрируются по частям по переменной z. Кроме этого учитывается граничное условие (11). Учитывая непрерывностьδω и δθ в точках h1 и h2, т.е. [δω] = 0, [δθ] = 0 и однородные граничные условия из (8) и (11) выводим
−RT 0
RH
0 δω∂u∂tdz=RT
0 Dµ∂δθ∂z u
z=Hdt−RT
0 δωD∂u∂z
z=Hdt+RT 0
D∂u∂z
h1δω h1
dt+ RT
0
D∂u∂z
h2δθ h2
dt+RT 0
RH
0 δθ∂z∂ D∂u∂z
dzdt−RT
0 δθDµ∂u∂z
z=H+RT 0
Dµ∂u∂z
h1δθ h1
dt+ RT
0
Dµ∂u∂z
h2δθ h2
dt+RT 0
RH
0 δθ∂z∂ Dµ∂u∂z dzdt.
Предполагаем непрерывность величиныD∂u∂z в точках h1 иh2, то есть D∂u∂z
h1 = 0, D∂u∂z
= 0.
Тогда
− Z T
0
Z H
0
δω ∂u
∂t + ∂
∂z
D∂u
∂z
dzdt− Z T
0
Z H
0
δθ ∂
∂z
Dµ∂u
∂z
dzdt=
Z T
0
Dµ∂δθ
∂z u
z=Hdt− Z T
0
δωD∂u
∂z
z=Hdt− Z T
0
δθDµ∂u
∂z
z=Hdt+
Z T
0
Dµ∂u
∂z
h1
δθ h1
dt+ Z T
0
Dµ∂u
∂z
h2
δθ h2
dt. (13)
Складывая (12) и (13) и группируя подобные слагаемые, олучим
−RT 0
RH 0 δω
γ0c∂ψ∂t +∂z∂ λn∂ψ∂z
+∂z∂ Dµ∂u∂z
dzdt−RT 0
RH
0 δω ∂u∂t +∂z∂ D∂u∂z
dzdt+ RT
0 δω z=H
λn∂ψ∂z +αψ+Dµ∂u∂z
z=Hdt+RT 0 δω
z=HD∂u∂z
z=Hdt=RT
0 Dµ∂δθ∂z u
z=Hdt+ RT
0 δω h1
h λn∂ψ
∂z +Dµ∂u∂z i
h1
dt+RT 0 δω
h2
h λn∂ψ
∂z +Dµ∂u∂z i
h2
dt−RT 0
RH
0 δλ∂θ∂zn+1∂ψ∂zdzdt.
Предполагаем выполнение следующих равенств γ0∂ψ
∂t +∂z∂
λn∂ψ
∂z
+∂z∂ Dµ∂u∂z
= 0,∂u∂t +∂z∂ D∂u∂z
= 0 h
λn∂ψ∂z +Dµ∂u∂zi
hk
= 0, k= 1,2.
Тогда
Z T
0
δθ z=H
λn∂ψ
∂z +αψ+Dµ∂u
∂z
z=Hdt+ Z T
0
δω
z=HD∂u
∂z
z=Hdt= Z T
0
Dµ∂δθ
∂z u
z=Hdt− Z T
0
Z H
0
δλ∂θn+1
∂z
∂ψ
∂zdzdt (14)
Учитывая граничное условие (3) на поверхности земли преобразуем:
∂δθ
∂z
z=H =−λα
nδθ
z=H +(λδλα
n)2(θz=Hn+1 −Tb).
Подставляем в (14), тогда RT
0 δθ z=H
λn∂ψ∂z +αψ+Dµ∂u∂z +αDµλ
n u
z=Hdt+RT
0 δωD∂u∂z
z=Hdt= RT
0
δλαDµ
(λ2n)2 (θn+1−Tb)z=Hudt−RT
0
RH
0 δλ∂θ∂zn+1∂u∂zdtdz.
Пусть
λn∂ψ∂z +αψ+Dµ∂u∂z +αDµλ
n u
z=H = 2(θ−Tq(t))
z=H, D∂u∂z
z=H = 2A0(ω−ωq(t)) z=H
. Тогда
2RT
0 δθ(θ−Tq(t))
z=Hdt+ 2A0RT
0 δω(ω−ωq(t)) z=H = RT
0
αDµδλ
λ2n (θn+1−Tb)u
z=Hdt−RT 0
RH
0 δλ∂θ∂zn+1∂u∂zdzdt.
Получены следующие сопряженные задачи
∂u
∂t +∂z∂ D∂u∂z
= 0, γ0c∂ψ∂t +∂z∂ λn∂ψ∂z
+∂z∂ Dµ∂u∂z
= 0;
u(0, t) = 0, D∂u∂z
z=H = 2A0(ω−ωq(t))
z=H, u(z, T) = 0;
ψ[0, t] = 0, ψ[z, T] = 0,
λn∂ψ
∂z +αψ+Dµ∂u∂z + αDµλ
n u
z=H = 2(θ−Tq(t)) z=H; [u]hk = 0,
D∂u∂z
hk = 0,[ψ]hk = 0, h
λn∂ψ
∂z +Dµ∂u∂z i
hk
= 0, k= 1,2.
3. Итерационный методЗадается начальное значениеλn(z), следующее значение коффи- циента теплопроводностиλn+1(z)определяется так, чтобы имело место неравенствоJ(λn+1)<
λn,
J(λ) =RT
0 (θ(H, t)−Tq(t))2dt+A0RT
0 (ω(H, t)−ωq(t))2dt+RT
0 (δθ)2z=Hdt+A0RT 0 (δω)
2 z=Hdt.
Подставляя выше пллученное соотношение, получаем что J(λn+1)−J(λn) = RT
0
αDµδλ
λ2n (θn+1−Tb)u
z=Hdt−RT 0
RH
0 δλ∂θ∂zn+1∂ψ∂zdzdt+RT
0 (δθ)2z=Hdt+A0RT 0 (δω)
2
z=Hdt.
Перепишем его в следующем виде J(λn+1)−J(λn) =RT
0
αDµδλ
λ2n (θn+1−Tb)u
z=Hdt−RT 0
RH
0 δλ∂θ∂zndzdt+RT 0
αDµ λ2n (δλδθ)
z=H − RT
0
RH
0 δλ∂δθ∂z ∂ψ∂zdzdt+RT
0 (δθ)2z=Hdt+A0RT 0 (δω)
2
z=Hdt.
Пусть
δλ=−βn(z)h RT
0 αDµ
λ2n (θn−Tb)z=Hudt−RT 0
∂θn
∂z
∂ψ
∂zdti Обозначим через
Bn(z) =RT 0
αDµ
λ2n (θn−Tb)z=Hudt−RT 0
∂θn
∂z
∂ψ
∂zdt.
Тогда δλ=βn(z)Bn(z)или λn+1(z)−λn(z) =−βn(z)Bn(z). В этом случае J(λn+1)−J(λn) =
−βn(z)Bn2+RT 0
αDµ
λ2n (δλδθ)u
z=Hdt−RT 0
RH
0 δλ∂δθ∂z ∂ψ∂zdzdt+RH
0 (δθ)2z=Hdt+A0
RH 0 (δω)
2
z=Hdt.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геориологии (мерзлотоведения) (под. ред.Н.А. Цытович)- M.: 1959, гл VI -C. 153-192
2. Глобус А.М. Физика неизотермического внутрипочвенного влагообмена.- Л.: Гидрометиздат, 1983.- 279 с.
3. Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т. Махамбетова Г.И. Обратная задача кондуктивного рас- пространения тепла в однородной среде//Вестник НАН РК, 2008.-№1.- C.11-13
4. Рысбайулы Б.,Махамбетова Г.И.Обратная задача распространения температуры в неодно- родном грунте.//Алматы,Вестник КБТУ ,№4(7),2008.-C.75-78.
5. Жумагулов Б.Т., Рысбайулы Б., Адамов.А.А. Сходмось разностной схемы для обобщенной задачи Стефана конвективного распространения влаги //Вестник НАН РК 2007.-№5.-С.30-41.
6. Рысбайулы Б.,Биртаева З.Б. Итерационный метод определения коэффициента теплопро- водности с учетом конвекции влаги в однородной среде//Вестник КБТУ, 2009 7. Рысбайулы Б.,Биртаева З.Б. Сходимость итерационного метода определения коэффициента теплопровод- ности с учетом конвекции влаги в однородной среде//Вестник КБТУ, 2009 (в печати)
Рысбайұлы Б., Биртаева З.Б.
Ылғалдың конвекциясын ескерiп көпқабатты грунттың жылу өткiзушiлiк коэффициентiн анықтаулар Жұмыста бейтектi ортамен жылу таралуы процесiнiң керi есебi қарастырылады. Жер бетiндегi берiлген топырақ температурасы мен ылғалдылығын пайдалана отырып топырақты жылу өткiзгiштiк коэффициентi табылады.
Rysbaiuly B., Birtaeva Z.B.
Determination of the heat conductivity coefficient of multilayer soil, with regard to convection of moisture.
This work studes the inverse problem of the propagation of heat in a no homogeneous medium Ising temperature and soil moisture on the surfase of the land is determinet by the thermal conductivity of soils.
Поступила в редакцию 15.05.10 Рекомендована к печати 31.05.10
