ПРИМЕНЕНИЕ КРУГОВЫХ МНОГОЧЛЕНОВ К ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2137

В работе [2] S.M. Shah найдены условия интегрируемости cо степенным весом сумм рядов ∑ и ∑ с квазимонотонными коэффициентами, а именно доказаны следующие утверждения.

Теорема А. Пусть . Если , то из сходимости ∑ вытекает

.

Теорема Б. Пусть . Если , то из сходимости ∑ вытекает

.

В следующей теореме мы переносим эти результаты на случай рядов по системе Уолша.

Теорема 1. Пусть ∑ . Если , то из сходимости

∑ вытекает .

Список использованных источников

1. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. – М.: Наука, 1987. – 344 с.

2. Shah S.M. Trigonometric series with quasi-monotone coefficients // Proc. Amer. Math. Soc.

– 1962. – Vol. 13, No. 2. – P. 266–273.

УДК 511

ПРИМЕНЕНИЕ КРУГОВЫХ МНОГОЧЛЕНОВ К ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ Куслий Раиса Александровна

rainyshka@mail.ru

Инновационный Евразийский Университет, студент гр. МТп-402, г. Павлодар, Казахстан

Научный руководитель – Д.И. Исмоилов

В данном сообщении рассматривается применение одной общей теоремы предложенной И.Д. Исмоиловым о теории делимости специальных множеств.

Сначала рассмотрим некоторые примеры:

1 2

3ⁿ  n всегда кратно 2 при любом ² n. Это более - менее легко доказывается методом математической индукции.

1 990

101ⁿ  n всегда кратно 100²при любом n. Здесь уже происходит усложнение задачи. По мере возрастания величин все труднее становится расчет таких примеров.

Сформулируем и докажем общую теорему, предложенную И.Д. Исмоиловым, из которой следуют многочисленные примеры о делимости на полный квадрат.

Справедливо равенство:

) ( ) 1 (

1 g P g

gⁿ    _n ; где P_n(g)1gg² ...g^n1 – круговой многочлен.

Применим формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

1 ) 1

( 

  g g g P

n

n ,

где g – знаменатель прогрессии.

Далее несколько поточнее изучим gⁿ1 при g2



^













1 ( 1) ( ) ( 1) ^{n 1}₀

k k n

n g P g g g

g Отсюда получим:

 

^     





 ¹

1 0.

2 ( 1)

) 1 (

1 ⁿ

k k m

m

n g q g n

g

2138

Прибавляем к обеим частям предыдущего равенства, получим:



























g g g n g A n g n g g n

g

D_n( ) ⁿ ( 2)( 1) 1 ( 1)² _g( ) ( 1) ( 1)( 2)

 _

^_ ^







 ¹

0

2 ( )

) 1

( ⁿ

k Pk g n

g

где A_g(n) - некоторое целое число, которое выписывается в явном виде.

Одновременно мы получили делимость и на (g1)² и на



^¹



0

( )

n

k

P

k

g n

.

Для разъяснения приведем пример:

1 9999 ) 10000 ( ) 10001

( ⁿ   n мы всегда знаем, что оно кратно (10000)² или (10)⁸. Таким образом, было доказано в общем случае, что такой многочлен при x2 и натуральном n

1 ) 1 )(

2

(    

 x x n

xⁿ всегда кратен (x1)²;



^





 ¹

0

) (

n

k k

n P g n

A .

Об одном применении круговых многочленов

Пусть g2- любое натуральное число, n – натуральное, k – любое неотрицательное целое.

1 ... 1

1 )

( ^{2 1}



 









 ^

g g g

g g g

P

n n

n (1) Обозначим через D_n(g,k) – следующее выражение:

)) 2

1 1 2 ( )(

( ) ,

(g k P g g g k k

D_n  _n ⁿ     (2) Тогда величина D_n(g,k)при всех указанных параметрах будет полным квадратом, т.е.

верно равенство:



^{1 ( )}



²

) ,

(g k g P g k

D_n    _n 

Доказательство проводится стандартным способом. Приведем некоторые приложения нашей теоремы.

Рассмотрим традиционный случай, когда g10. Тогда имеем

1 10

1 1 10

10 ...

10 10 ) 10

( ^{1 2}



 









 ^{ }

n n

n

Pn

Отсюда следует, что

9 1 ) 10

10

(  ⁿ 

Pn

Используя формулу (2), получим:







 











 ² (10 6 1) ²

9 1 ) 10

1 6 10 ( ) 10 ( ) , 10

( k P k k k k

D ⁿ

n n

n n

 











 















 

9

) 1 6 ( 9 10 ) 1 6 ( 10 10 9

9 ) 1 6 ( 10 10 10

6

10^{2n n} k ^{n n} k k^{2 2n n} k ⁿ k² k

2 2 2

2

3 ) 1 3 ( 10 9

)) 1 3 ( 10 ( 9

) 1 3 ( 10 ) 1 3 ( 2

10 

 



  

 

 









 ⁿ k ⁿ k ⁿ k ⁿ k



^{10 (6 1)}



²

) 10 ( ) , 10

( k P k k

D_n  _n ⁿ  

2 2

2 2

) ) 10 ( 3 3 (

1 10 3

1 3

10 3

) 1 3 ( ) 10

, 10

( k k k P k

k

D _n

n n

n

n   



 



  

 



 



  

 



 



  



2139

Легко заметить, что при любом фиксированном k0,1,2... и любом n1,2...; A_n(g,k)- есть натуральное число

k P

k

A_n(10, )3 _n(10) ,



^{(10, )}



²

) , 10

( k A k

D_n  _n

Следствие. При g m^2l 1 то при всех натуральных m имеет место



^{( 2 1)}



²

) ,

(g k m P m k

D_n  ^l _n ^l   При l 1 получим:

1

; 1

;

1 ²

2     

m g m m g

g

Список использованных источников 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965. – 431 с.

2. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 176 с.

УДК 517.09

РИККАТИ ТЕҢДЕУІ ҮШІН КОШИ ЕСЕБІ Лекерова Назерке Талапбекқызы

Қазақ мемлекеттік қыздар педогогикалық университетінің 3-курс студенті Алматы, Қазақстан

Ғылыми жетекші – А.А.Сыдыков Жалпы түрде берілген Рикатти теңдеуін қарастырайық

(1) Мұндағы және коэффициенттерін қандай да бір

интервалында анықталған және үзіліссіз функциялар деп ұйғарамыз. Бұл интервалда

және функциялары үшін жасалынған осы ұйғарымдардан кейін, (1) теңдеу үшін Пикар теоремасының шарттары орындалады, демек

бастапқы шартын қанағаттандыратын теңдеудің жалғыз шешімі бар болады.

Атап айтсақ, ол жалғыз шешім нүктесінің маңайында ғана анықталады.

Коэффициенттердің интервалындағы үздіксіздіктері, аталмыш шешімнің бар болатындығына кепілдік бере алмайды [1, 2].

Осы айтылғандарға орай, бұл мақалада біз көрсетілген интервалда Риккати теңдеуі үшін қойылған Коши есебі шешімінің бар болатыны кепілдік беретін шарттарды айқындап көрсетеміз.

Сонымен, функциясы, Пикар теоремасы негізінде бар болатын, (1) теңдеудің жалғыз шешімі болсын делік.

Ендеше ол Риккати теңдеуін қанағаттандырады, яғни теңбе-теңдікке айналдырады.

(2) Квадраттық теңдеудің түбірлері: