УК 51 ИДЕАЛДЫ ЕМЕС ТҤЙІНДЕС ШАРТТЫ КОШИ ЕСЕБІ

УДК 51

КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ ҤЗІЛІСТІ ЖЫЛУӚТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУ ҤШІН ИДЕАЛДЫ ЕМЕС ТҤЙІНДЕС ШАРТТЫ КОШИ ЕСЕБІ

Кемалова Ж.Б., Мамаева В.А.

Магистранты, Әл-Фараби атындағы Қазақ Ҧлттық Университеті, Алматы Есептің қойылуы: R_t  {(x,t) :xR, 0t} облысында анықталған

29

u

i

 a

^{2 2 u i}  F (x, t) (i  1,2) (1)

t ⁱ x ^{2 i} теңдеуінің бастапқы шартты

u_i (x,0)  f_i (x), (2)

тҥйіндес шарттарын

 k₁u₁

 H[u₁  u₂ ] _x0 (3)

x _x0

u₂

 k₂ (4)

 H[u₁  u₂ ] _x0

x _x0

қанағаттандыратын шешімін табу керек. Ол ҥшін (3)-(4) шарттарын алмастырамыз да, ҥзіліс нҥктесінде (t) белгісіз функциясын енгіземіз:

u₁ u₂

(5)

k

1 x _x0  k ² x x0  k₁k₂ (t)

R_t облысында (1)-(5) шекаралық есептерін пайдаланып, Коши есебін екі шекаралық есепке

бӛлеміз:

A : u

 a ²  ² _u

 F (x, t) 0  x 

1 1

1 x ¹ x ^{2 1}

u₁ (x,0)  f₁ (x) u₁

 k2(t)

x

x0

A : u₂  a ²



₂

u

2

 F (x, t)

 x  0

2 x ² x ^{2 2}

u (x,0)  f (x) u₂  k (t)

2 2

x ¹

x0

A₁ және A₂ шекаралық есептерін жылу потенциалының кӛмегімен шешеміз. Бҧл Нейман шекаралық есептерінің шешімін жазу ҥшін жарты осьте жалғастыру әдісімен Грин функциясын қолданамыз.

A

1есебінің шешімі



u₁ (x, t) 



^{f1 ( )[G1} (x  , t)  G₁ (x  , t)]d 

0

t  t

 d F (, )[G (x  , t  )  G

2 (x  , t  )]d  2a ² k ( )G (x, t  ) d 

  ^{1 1 1} ^{2 1}  0

0 0 0

 V [ f ] V [F ] W [k ] x  0 (6)

10 1 1 1 1 2

A

2 есебінің шешімі

0

u₂ (x, t) 



^{f 2 ()[G2} (x  , t)  G₂ (x  , t)]d 



t 0 t

 d F (, )[G ₂ (x  , t  )  G ₂ (x  , t  )]d  2a ² k ( )G

2 (x, t  ) d 

  ^{2 2}  ¹  0

0  0

 V

20[ f

2] V [F ] W [k ], x  0 (7)

2 2 2 1

Бірінші тҥйіндес шарттан (t) белгісіз функциясын табу ҥшін

30

u₁

 H

[u₁  u₂ ] x k₁

шартын пайдаланамыз. Бҧл ҥшін потенциалының шегін кӛрсетеміз:

(8)

x0

есептейміз.Оны лемма ретінде

Лемма.

1) lim W₁  k₂(t) (9)

x

x0

2) lim W_i (x,t)  Wi (0,t) (10)

x0

W₁ t

 

1  ^x2  Дәлелдеуі: 1. limx0 x 2a¹²



^{k 2 ( )} x 2a ^  (t   ) ^{e 4a12 (t  )} ^{ d}

0

 1 

2k₂ t ^2  x ² 



 ^{e t  dv  k} 2 ^

(t)

2 2

 ^{ }

0  4a₁ 

t

1 t ( ) 2. limx0W(x,i t)2a² 1



^{k ( )} j d a k ^j



^d

2a₁  (t  ) ⁱ  (t  )

0 0

Бҧдан (t) функциясын аламыз

H t

( )

k ²(t)  (a k ²  a k )



^{d (t)}

k₁ ^{1 2 1}  (t  )

0

t ( )

(t)  h _ d (t)

 (t  )

0

мҧндағы h H [a k  a k ], (t)  1 (t)

2

k₁k 2 ^{1 2 1 k2}

Біртіндеп жуықтау әдісімен шығарамыз:



(t) 



^k (t)h ^k .

k 0

Әдебиеттер

x 



2a₁ t  

xd

 d

x0 3

4a (t  ) ²

1

 W_i (0, t) (i  j)

(11)

(12)

1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. «Сборник задач по математической физике». М.Наука 1980г.

2. Орынбасаров М.О. «Задачи Коши и краевые задачи для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, когда условия сопражения содержат производние по времени». Материалы каз-россической научно-практической конференции

1997г.