[ ] [ ]n

1145

4. O.V. Besov. On L. Hermander theorems on fourier multipliers // (Russian) Trudy Mat. Inst.

Steklov 173, 1966, English trans.Proc. Steclov. Inst. Mat.Nachr. 210, 2000, P. 43-58.

5. L. Sarybekova, L-E. Persson, N.Tleukhanova. Multidimensional generalization of the Lizorkin theorem on Fourier mulripliers // Lulea Uneversity of Tehnology, Department of Mathematics, Research Report 9, 2008. P.45-47.

УДК 512.55

БЕТТІК КӚПМҤШЕЛЕР Байменова Макпал Мусаевна

mako_bm86@mail.ru

Астана, Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университеті механика және математика факультеттінің магистранты

Ғылыми жетекшісі – к.ф.-м.н. Ш.Ӛ. Абуталипова Алдымен, бізге қажет түсініктерді [1] еңбектен келтірейік.

k-ӛріс, k

  

X :k X₁,...,Xn



X₁,...,X_n айнымалыларынан тәуелді кӛпмүшелер сақинасы болсын. Ал F(F₁,...,F_n):kⁿ kⁿберілген

)) ,..., , ( ),..., ,..., , ( ( ) ,..., ,

(x₁ x₂ x_n  F₁ x₁ x₂ x_n F_n x₁ x₂ x_n

түріндегі полиномиалды бейнелеу болсын. Мұндай полиномиалды бейнелеуді керіленетін деп атаймыз егер де G(G₁,G₂,...,G_n):kⁿ kⁿ полиномиалды бейнелеуі табылып,

) ,...,

( _{1 n}

i

i G F F

X  теңдігі1inүшін орындалатын болса. Керіленуді табудың жаңа жолы 1986 жылы ашылған Грѐбнер базисі теориясы негізгі нәтиже болып табылады. 1988 жылы Дж.Маккей және С.Ванг [2]F



F₁,...,Fn



:kⁿkⁿполиномиалды автоморфизмдердің толығымен n² Fi



Xj ^0



кӛпмүшелерімен анықталатынын тапты.Fi



Xj ^0



кӛпмүшелері беттік кӛпмүшелер деп аталады. Бұл кӛпмүшелер бастапқы Fбейнелеуін құрастыруға мүмкіндік береді. Полиномиалды автоморфизмдерді қарастырудағы тағы бір нәтиже k сипаттамасы 0-ге тең алгебралық тұйық ӛріс болған жағдайда келесі тұжырым орындалады.

Егер F:kⁿkⁿ иньективті бейнелеу болса, онда Fполиномиалды автоморфизм болады.

Әрі қарай k-ӛрісіндегі кӛпмүшелер сақинасына оралайық. Керіленетін полиномиалды бейнелеулер k

 

X кӛпмүшелер сақинасы kавтоморфизмдеріне сәйкес келеді. Яғни kⁿ kⁿ берілген керіленетін полиномиалды бейнелеуді сипаттау үшін k

 

X сақинасындағы автоморфизмдерін сипаттау қажет. k

 

X сақинасындағыk- автоморфизмдер тобын Aut_kk[X] деп белгілейді.

Теорема-1.Rредукцияланған сақина,n2 және F(F₁,...,F_n)Aut_RR[X]болсын. Онда F ӛзініңn² беттік кӛпмүшелеріментолығымен анықталады.

Теорема-2.kӛріс және FAut_kk[X],G(G₁,...,G_n) F бейнелеуінің керісі болсын. Әрбір n

j



1 үшін I_j:(Y₁F₁(X_j 0),...,Y_nF_n(X_j 0))k[X₁,...,X_j1,X_j1,...,X_n,Y] идеалдары анықталсын.

Онда I_j k[Y](G_j).

Менің жұмысымның негізгі нәтижесі келесі есеп болып табылады. FAut_ZZ[X₁,X₂]болсын және оның беттік кӛпмүшелері

, 36 4

3 ) 0

( _{1 2}³ _{2 2}⁶

1 X X X X

F    

, 9 )

0

( _{1 2 2}⁶

2 X X X

F   

1146 ,

4 )

0

( _{2 1 1}²

1 X X X

F   

2 1 2

2(X 0) X

F  

арқылы анықталсын. F- ті ӛзінің беттік кӛпмүшелерінен тұрғызайық. Ол үшін жоғарыда кӛрсетілген теорема - 2 бойынша

)) 0 ( ),

0 ( (

: _{1 1 1 2 2 1}

1  Y F X  Y F X 

I

)) 0 ( ),

0 (

(

: _{1 1 2 2 2 2}

2  Y F X  Y F X 

I идеалдары

), 9 ,

36 4

3 (

: _{1 2}³ _{2 2}⁶ _{2 2 2}⁶

1 Y X X X Y X X

I      

) ,

4 (

: _{1 1 1}² _{2 1}²

2 Y X X Y X

I     осылайша анықталады.

Келесі тізбекті орындай отырып, алатынымыз:





















3 4 36 , 9 ) ( 3 4 , 9 )

(Y₁ X₂³ X₂ X₂⁶ Y₂ X₂ X₂⁶ Y₁ X₂³ Y₂ Y₂ X₂ X₂⁶























(Y₁ 4Y₂ 3X₂³,Y₂ X₂ 9X₂⁶) (Y₁ 4Y₂ 3X₂³,Y₂ X₂ 3X₂³(Y₁ 4Y₂)

, ) )

4 ( , ) ) 4 ( ( 3 4 (

) )

4 ( , ) 4 ( ( 3 4 (

) 3 4 , ) 4 ( (

1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1

3 2 2 1 2 2 1 2 2

I X Y Y Y Y

Y Y X Y Y

X Y Y Y Y Y Y X Y Y

X Y Y Y Y X Y



















































. ) 4

, ) 4 ( (

) 4

, ) 4 ( ( ) )

4 ( , (

) ,

4 ( ) ,

4 (

) ,

4 (

2 1 2 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1

I X Y Y Y Y Y

X Y Y X Y Y Y X X Y Y X Y

X Y X Y Y X Y Y X Y X

Y X X Y

























































Сонымен бірге, I₁k[Y]G₁жәнеI₂k[Y]G₂қиылысуынан тӛмендегі теңдік шығады ,

) ) 4 ( ( 3

4 _{2 2 1 2} ^{2 3}

1

1 Y Y Y Y Y

G     

2 2 1 2

2 Y (Y 4Y )

G    .

Енді Gдың беттік кӛпмүшелерін жазып аламыз

, 16 )

0 (

, ) 16 ( 3 4 ) 0 (

2 2 2 1

2

3 2 2 2 2 1

1

Y Y Y

G

Y Y Y Y

G

















. )

0 (

, 3 )

0 (

2 1 2

2

6 1 1 2

1

Y Y

G

Y Y Y

G













)) ( ),

( (

)) ( ),

(

(Y₁F₁ X Y₂F₂ X  X₁G₁ Y X₂G₂ Y теңдігі теорема-2 бойынша орындалатындықтан

)) 0 ( ),

0 ( (

: _{1 1 1 2 2 1}

1  X G Y  X G Y 

I I₂:(X₁G₁(Y₂0), X₂G₂(Y₂0))идеалдарын шығарып аламыз. Сонда,

1 2 3

2 1 2 3 2 1 2 3 2 1

2 3

2 1 3 2 1 2 2

3 2 1

2 2 3 2 2 1 2 3 2 1 2

2 2 2 2 3 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 3 2 2 2 2 1

) 4 ) 3 ( ) 3 ( 4 , 4 ) 3 ((

) 4 ) 3 ( ) 3 ( 16 , 4 3 (

) 64 3

4 , 4 3 ( ) 16 ,

4 3 (

)) 16 ( , 4 ) 16 ( 3 (

)) 16 ( , 4 ) 16 ( 3 (

)) 16 ( , ) 16 ( 3 4 (

I X X

X X

X Y X

X

X X

X X

X Y Y

X X

Y X

X X Y X X Y

Y X Y X X

Y Y X Y Y

Y X X

Y Y X Y Y

Y X X

Y Y X Y Y Y X



































































































2 3

2 1 2 3 2 1 2

1

1(X ,X ) 4(X 3X ) (X 3X ) 4X

F     

2 2 3 2 1 2 1 3 2 1

2 1 3 2 1 1 3 2 1

2 1 2 1 3 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1

2 1 2 1 4 1 2 1 2

1 2 6 1 1 1

) ) 3 ( , ) 3 (

) )

3 ( , ) 3 ((

) ,

3 ( ) ,

3 (

) ,

3 ( ) ,

3 (

I X

X X Y X X

X Y X X Y X X

Y X Y X X Y

X Y Y X X

Y X Y Y X X Y

X Y Y X



























































1147 )

) 3 ( )

,

( _{1 2 2 1 2}^{3 2}

2 X X X X X

F   

Сонымен, қорытындылай келгендеF-ті ӛзінің беттік кӛпмүшелері арқылы тұрғыздық, яғни ).

) 3 ( , 4 ) 3 ( ) 3 ( 4 ( ) ,

(F₁ F₂ X₁ X₂^{3 2} X₁ X₂³ X₂ X₂ X₁ X₂^{3 2}

F       

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. A. van den Essen. Polynomial automorphisms and the Jacobian Conjecture // Progress in mathematics, 2000, Vol. 190, P. 64-66.

2. J. McKay and S.S.-S.Wang. On the inversion formula for two polynomials in two variables // J of Pure and Applied Algebra, 1988, Vol. 52, P. 91-102.

УДК 517.5

АДАМАР ОПЕРАТОРЫН САЛМАҚТЫ БАҒАЛАУ Бақытбек Айжан

ai_zhan_94a@mail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ-ң студенті, Астана, Қазақстан Ғылыми жетекшісі – А.М. Абылаева

1 1 1, ( , )

, 0

,

0 _' I a b

p p p

b

a      

 және u,I аралығында локальды

интегралданатын, барлық жерде оң функциялар болсын.

Тӛмендегі Адамар интегралдық операторының L_p,w L_p,w(I) кеңістігінен )

, (

, L I

L_q  _q кеңістігіне шенелімділігін қарастырамыз:



^



 



 ^x  _

a

I x ds s

s x s x f

f

H , ,

ln ) ) (

( _1

 (1)

мұндағы L_q, -кеңістігі деп, нормасы



 











^{b q}

a q

q f x x dx

f

1

,_ ( ) ( )

түрінде болатын

 

a,b аралығында барлық ӛлшемді функциялардың жиынын аламыз.

(1) ӛрнекте ln W(x) a

x  болғанда, мұндағы W(x) I аралғында ӛспейтін және

үзіліссіз функция, осы оператордың шенелімділігі мен компакттылығы [1] жұмыста алынған.

Теорема 1. 0 1, 1 pq болсын. H_ операторы L_p,w кеңістігінен L_q, кеңістігіне шенелген болады, сонда тек сонда ғана, егер

 



 



















 



 



 _



 ^



^{ '}

1 1 1 1

) ( ln

sup

z p

a b q

z

q

I z

ds s dx a x

A x 





болса, сонымен қатар H_  A_.

Теорема 2. 1 .

, 0

, 1

0  q p p болсын. H_ операторы L_p,w кеңістігінен

 ,

Lq кеңістігіне шенелген болады, сонда тек сонда ғана, егер