Көпмүшелер сақинасының аник автоморфизмі

1172





 

^

   





0

) , ( ) ( )

, ( )

,

( G R u d

u , (3)

мұндағы

)) ( ( 1

)) ( ) (

( ) ,

, ( )) ( ( ) 1

0 , ( ) ,

( _{2 1}

1

0 1 

 

 



 



 ^ _ ^ _

 

 

 



 

 f f

f R f

p d F f

u f G

белгілі тегіс функциялар.Теорема дәлелденді.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математи- ческой физики и анализа. – Москва: Наука, 1980, 287 с.

2. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука, 1978, 120 с.

3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сибирское науч- ное издательство, 2009, 457 с.

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - Москва: Наука, 1986, 288 с.

5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. – Москва: Наука, 1978, 206 с.

6. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. – Новосибирск: Наука, 1983, 207 с.

7. Елубаев С.Е., Ділман Т.Б. Гиперболалық және параболалық теңдеулер үшін кейбір кері есептер. – Қызылорда: Принт, 2012, 236 б.

УДК 512.55

КӚПМҤШЕЛЕР САҚИНАСЫНЫҢ АНИК АВТОМОРФИЗМІ Нурмуханова Айгуль Хайратовна

n.aigul1990@mail.ru

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің механика-математика факультетінің 2 курс магистранты

Ғылыми жетекші- Ш.Ӛ. Абуталипова

Алдымен [1] еңбектен негізгі анықтамалар мен мәліметтерді келтірейік.k-ӛрісі және

  

X k X X_n



k : ₁,..., kӛрісінің үстінде X₁,....,X_nайнымалыларынан тәуелдікӛпмүшелер

сақинасы болсын. Полиномиалды бейнелеу деп

)) ,..., ( ),.., ,..., , ( ( ) ,...,

(X₁ X_n  F₁ X₁ X₂ X_n F_n X₁ X_n түріндегі F (F₁,....,F_n):kⁿ kⁿ бейнелеуін айтамыз. Мұндай полиномиалды бейнелеуді керіленетін деп атаймыз, егер де

n n

n k k

G G G

G( ₁, ₂,..., ):  полиномиалды бейнелеуі табылып, X_i G_i(F_i,...,F_n),1in теңдіктері орындалатын болса.

k-ақырлы ӛріс, F:kⁿ kⁿ полиномиалды бейнелеуі болсын. Егер G:kⁿ kⁿ полиномиалды бейнелеуі табылып, кез-келген xkⁿ үшін G(F(x)) xорындалғанымен бұдан F-тің керіленетіні шықпайды. Енді кері бейнелеулерге қатысты [1] әдебиеттегі белгілі проблемалармен таныстырайық. Берілген F полиномиалды бейнелеуіне полиномиалды кері бейнелеу табыла ма, жоқ па деген сұраққа қалай жауап беруге болады.

X X F

G( ( )) , мұндағы X (X₁,...,X_n)және әрі қарай тізбек ережесімен I

X JF X F

JG)( ( )) ( ) (

1173

теңдігін аламыз. Осы теңдіктің екі жағының да анықтауышын есептейік 1

) ( det )) ( (

detJG F X JF X  .

Бұдан екі анықтауыштың да ^K

 

^X -тің элементі екенін және нӛлден ӛзге тұрақты k- ӛрісінің элементтері болатынын кӛреміз, яғни JFk^*. Сонымен, егер F:kⁿ kⁿ керіленетін болса, онда detJFk^*. Бұл шарт «detJFk^*» Якобиан шарты деп аталады және Якобиан шартын қанағаттандыратын F:kⁿ kⁿ берілген полиномиалды бейнелеуі Келлер бейнелеуі деп аталады.

K-ӛрісінің орнына Z бүтін сандар сақинасын алғанда шығатын жоғарыдағы сұрақтардың аналогын 1939 жылы Келлер тұжырымдады.Келлер сұрағы Якобиан гипотезасымен эквивалент, сондықтан кӛптеген авторлар Якобиан гипотезасына «Келлер проблемасы» деп қарайды. Якобиан гипотезасы кейінірек Стив Смэйлдің«Келесі ғасырдың математикалық проблемалары»[2] еңбегінде 18 ашық проблеманың 16-шысы болып кездеседі.

Керілену проблемасын шешу үшін біз екі жолмен жүреміз:

1. Якобиан шартымен бірге қажет шарттарды қосу арқылы жеткілікті шарт алу;

2. Керіленуді сипаттау үшін толығымен жаңа мүлдем ӛзгеше бағыт ойлап табу.

Шындығында Якобиан шартына бірнеше шартты қосу арқылы керіленуді қамтамасыз етуге болады. Сондай шарттардың бірі k

 

X сақинасыk

  

F :k F₁,...,Fn



осының үстінде бүтінділік облысы болады. Тағы бір шарт k(F)k(X) бұл Галуа шарты. Ал керіленуді табудың жаңа жолы Гребнер базисі теориясына негізделген нәтижесі болып табылады.

Бұл нәтижелерді қолдана отырып Мак Кей және Ванг 1988 жылы

n n

n k k

F F

F ( ₁,..., ):  полиномиалды автоморфизмінің n² F_i(X_j)0 кӛпмүшелерімен толығымен анықталатындығын тапты. Бұл кӛпмүшелер бастапқы F бейнелеуін құрастыруға мүмкіндік береді. Полиномиалды автоморфизмдерді қарастырғандағы тағы бір нәтиже k сипаттамасы 0-ге тең алгебралық тұйық ӛріс болсын. Егер F:kⁿ kⁿ иньективті бейнелеу болса, онда F полиномиалды автоморфизм болады.

Алгебрада барлық объектілер изоморфизмге дейінгі дәлдікпен зерттеледі. Алгебралық құрылымның автоморфизмі дегеніміз алгебралық құрылымды ӛз-ӛзіне бейнелейтін изоморфизм.

Якобиан гипотезасы k

 

X сақинасының автоморфизмдерін зерттеу негізгі құралдардың бірі болып табылады. k

 

X сақинасының kавтоморфизмдер тобын ^Autk^K

 

^X арқылы белгілейміз. Егер F:kⁿ kⁿбейнелеуі керіленетін бейнелеу болса, онда F₁,F₂,...,F_n жиынын ^k

 

^X сақинасының координаталық жүйесі деп атаймыз.

 

X k Aut_k

  автоморфизмі элементар деп аталады, егер ,

, ,

:x_i x_i  f x_j x_j ji

 1 jn,0k, f k



x₁,...,xi_1,xi_1,...,xn



түрде болса.^Autk^k

 

^X автоморфизмдерінің барлық элементар автоморфизмдерінен тұратын ішкі тобынқолға үйретілген автоморфизмдер деп аталады. Қолға үйретілмеген автоморфизмдер жабайы автоморфизмдер деп аталады. Полиномиалды автоморфизмдер теориясындағы ең маңызды мәселе ^k

 

^X автоморфизмдерінің қолға үйретілген ба немесе жабайы екендігін анықтауда.

1970 жылы М.Нагата ӛзінің әйгілі автоморфизмін құрастырды. [3] 30 жылдан кейін У.У.Умирбаев және И.П.ШестаковПуассон жақшаларын қолдану арқылы М.Нагата автоморфизмінің жабайы екендігін дәлелдеді. [4] 2004 жылы У.У.Умирбаев еркін ассоциативті алгебрада Д.Аник автоморфизмінің жабайы екендігін дәлелдеді. [5]

Мен ӛз жұмысымда керіленуге қатысты Д.Аниктің келесідей мысалын қарастырдым.

1174

Аник мысалы:F (X1X4d,X2 X3d,X3,X4)k



X1,X2,X3,X4



полиномиалды бейнелеуі берілсін, мұндағы d  X₃X₁X₄X₂. F-тың керіленетінін кӛрсетіп, керісін есептеу қажет.

Ол үшін бірінші Якобиан шартын тексереміз

detJF= 1

1 0

0 0

0 1

0 0

2 1

2 1

3 2 4

2 1 3 4 3 2

3

4 2 3 1 4

1 2

4 4

3

 













X X X

X X X X X X

X X X X X

X X

X X

Яғни detJF=1 болғандықтан F -тің керісі болады.

2 4 2 4 3 1

2 4 2 4 3 1 1

1 X X X X X X X (1 X X ) X X

F       ,

2 3 1 4 3 2

4 3 2 1 2 3 2

2 X X X X X X X (1 X X ) X X

F       ,

3

3 X

F  ,

4

4 X

F  теңдіктерінен, F -тің керісі G келесіге тең болады:

) , ), 1

( ,

) 1

(

(Y₁ Y₃Y₄ Y₂Y₄² Y₁Y₃² Y₂ Y₃Y₄ Y₃ Y₄

G      .

Тексеруді кӛрсету үшін келесідей схеманы қолданамыз: FGI, GF I.



















 , , , ) (( )(1 )

(X₁ X₁X₃X₄ X₂X₄² X₂ X₃²X₁ X₂X₃X₄ X₃ X₄ ^G X₁ X₁X₃X₄ X₂X₄² X₃X₄ , ) (

) 1

)(

( , )

(X₂ X₂X₃X₄X₁X₃² X₄² X₂X₁X₃² X₂X₃X₄ X₃X₄  X₁X₁X₃X₄ X₂X₄² X₃²



) , , , ( )

, _{4 1 2 3 4}

3 X X X X X

X 



















 , , , ) (( )(1 )

(X₁ X₁X₃X₄ X₂X₄² X₂ X₂X₃X₄ X₁X₃² X₃ X₄ ^F X₁ X₁X₃X₄ X₂X₄² X₃X₄ , , ) (

) 1

)(

( , )

(X₂X₂X₃X₄X₁X₃² X₄² X₂X₁X₃²X₂X₃X₄ X₃X₄  X₁X₁X₃X₄X₂X₄² X₃² X₃



) , , , (

) _{1 2 3 4}

4 X X X X

X 

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. A. Van den Essen. Polynomial automorphisms and the Jacobian Conjecture. Progress in mathematics. - Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 2000, 330 p.

2. S. Smale. Mathematical problems for the next century // Math. Intellingencer, 1998, № 2, P. 7-15.

3. M. Nagata. On the automorphism group of k[X, Y] // Kyoto Univ. Lectures in Math. 5, Kyoto University, Kinokuniya - Tokyo, 1972, P. 77-98.

4. I.P. Shestakov, U.U. Umirbaev. The Nagata automorphism is wild // Proc.Nat. Acad. Sci.

2003, № 22, P. 1251-1263.

5. U.U. Umirbaev. Tame and wild automorphisms of polynomial algebras and free associative algebras // Max-Planck-Institute for Mathematics, 2004, 108p.