N E W S
OF TH EN A T IO N A L A C A D E M Y OF SCIEN C ES OF TH E R EPU B LIC OF K A ZA K H STA N P H Y S IC O -M A T H E M A T IC A L S E R IE S
ISSN 1991-346Х h ttp s://do i.org /1 0.3 20 14/2 020 .25 18 -1 726.2 7
V olum e 2, N um ber 330 (2020), 149 - 158 DC 517.95
IRSTI 27.31.17
Z h A . S a rta b a n o v , A .K h . Z h u m a g a z iy e v , G .A . A b d ik a lik o v a K. Zhubanov Aktobe Regional State University, Aktobe, Kazakhstan.
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
ON ONE METHOD OF RESEARCH OF MULTIPERIODIC SOLUTION OF BLOCK-MATRIX TYPE SYSTEM WITH VARIOUS DIFFERENTIATION OPERATORS
A bstract. There is researched the problem of existence and integral representation of a unique multiperiodic solution in all independent variables of a linear system with constant coefficients and with various differentiation operators in the direction of a vector field. Based on the Cauchy characteristics method, a methodology is developed for constructing solutions of initial problem for a linear system with constant coefficients and various special differentiation operators along two straight lines of the independent variables space, where integration characteristics are determined using a projector. It is given a methodology for constructing a matrix of homogeneous block- triangular system, as well as a matricant of a homogeneous linear system in the general case when a Jordan block is split into the sum of two sub-blocks. The Cauchy problems for linear homogeneous and nonhomogeneous systems with integral representation are solved using this methodology. At the same time, the introduced projectors for determining characteristics were of significant importance. Along with the construction of general solutions of linear systems with two differentiation operators, a theorem on the conditions of multiperiodicity of their solutions is proved. On their basis, in noncritical case, the theorem on existence and uniqueness of a multiperiodic solution of linear nonhomogeneous system is proved and its integral representation is given. The developed methodology has the perspective of extending the results obtained to the quasilinear case of system under consideration, as well as to the cases of a system with n various differentiation operators and multiperiodic matrices with partial derivatives of the desired vector function.
Key w ords: multiperiodic solution, method of characteristics, projection operators, differentiation operators by vector fields, integral representation.
In tro d u c tio n . In solving m any problem s o f m odern science and technology, w e often have to deal w ith oscillatory processes th at are described by partial differential equations. Thusfore, research o f oscillatory processes described by single and m ultifrequency periodic solutions o f differential equations system s has im portant theoretical and applied value. It is know n th at basis o f oscillatory solutions theory o f differential equations originates from classical w orks o f A .Lyapunov, A .Poincare, N .N .B ogolyubov, N .M .K rylov, Y u.A .M itropolsky, A .M .Sam oilenko, A.N. K olm ogorov, V .I.A rnold, Y u.M oser and et al.
M ethods for integrating system s o f quasilinear differential equations w ith identical m ain part are described in fundam ental w orks [1-6]. It is know n th at basis o f the theory o f alm ost periodic and m ultiperiodic solutions o f partial differential equations system s is laid dow n in the w orks [4-10]. The w orks o f m any authors has been devoted to finding effective signs o f solvability and constructing constructive m ethods for researching problem s fo r system s o f differential equations. we note only [11,12]. The research o f periodic, both tim e and space variables o f the w ave m otion o f the particle flow , non-stationary flow s o f com pressible liquids and gases [2], and linear gas w hose m olecules have different velocity values that change each other during collisions, described by a system o f partial differential equations [13], is o f considerable interest in the continuum m echanics theory. N ote th at the integration o f quasilinear differential equations system s w ith different m ain parts is one o f the little-studied problem s in the partial
149
differential equations theory. Therefore, the developm ent o f m ethods fo r solving m ultiperiodic solutions problem s o f such system s is at the initial stage o f its developm ent. Some ideas o f these w orks m ethods, based on researches [14-17], are extended in [18,19] to study m ultiperiodic solutions problem s o f quasilinear equations system s w ith various differentiation operators along th eir characteristics. The questions o f m ultiperiodic solutions o f quasilinear equations system s w ith various differentiation operators are studied in [5] in term s o f the m atricant w hen the m atrix o f coefficients is block-diagonal. In [20] in the case o f a triangular m atrix and in [18] the block-m atrix m ethod is used to construct the m atricant, and in [19] the problem s o f m ultiperiodic solutions are researched by introducing projection operators [21].
N um erous applications o f problem s for differential equations w ith various differentiation operators and the necessity to expand the class o f m ultiperiodic functions solvable in space, the creation o f new approaches to solving such problem s represents a new scientific interest. The article proposes a m ethod for researching a m ultiperiodic solution o f system w ith various differentiation operators, constructing m atricant o f a linear system in general case, w hen splitting a Jordan block into the sum o f tw o sub-blocks, introducing projectors to determ ine characteristics, and establishing conditions for the existence o f (в, a ) - periodic solutions o f the system u nder consideration and th eir integral representations.
1. P ro b le m sta te m e n t. W e consider linear system
Dx = Ax + f ( r , t ) , (1.1)
ncti differentiation operator w ith various com ponents
w here x = (x1, x2) is unknow n vector function; xt are ni -vector, n1 + n2 = n, D = (D1, D 2) is
d_
dt
D1=TAa1, i ) ' a r )
D = i H a 2' D ' < U ' )
Dx = (D1x1, D 2x2) , l a i, is scalar product o f vectors at and — ; a 1 ^ a 2 are constant m -vectors;
\ dtI dt
( d d ^
S t / " ’ 5t„ , A = [A J i 2 is constant block n x n -m atrix w ith blocks A. o f dim ension nt x n .:
A =(Л11 А Л12А Л V A21 A22 j
( 1.2) f (r, t ) = ( f ( r , t), f 2 (r, t)) is given n -vector function w ith vector com ponents f (r, t) o f dim ension ni , i = 1,2 , (r, t) are independent variables, r e (-да,+да) = R , t = (t1,...,tm) e R m.
W e set the problem o f developing a m ethodology for integration, establishing the conditions for the existence o f ( в , a ) -periodic solutions o f system (1.1) and th eir integral representations. In connection w ith introduction o f operator w ith various com ponents ( 1.1' ) - ( 1.1"), system ( 1.1) is represented by blocks o f m atrix and functions o f input data, w hich require a new approach to the issue o f its integration.
2. M e th o d o lo g y fo r c o n s tru c tin g m a tr ic a n t o f a h o m o g en eo u s b lo c k -tria n g u la r system F or this purpose, w e consider hom ogeneous system
Dx = Ax, (2.1)
corresponding to the system ( 1.1), w hich we describe in the section o f differentiation operators D1x1 = A11x1 + A12 x2,
D 2x2 = A21x1 + A22x2 . (2.2)
The problem o f constructing a m atricant X (r) o f system (2.1), or (2.2), in accordance w ith the division into blocks o f A = [ a . ] .=12. A t first, we consider the block-triangular case w hen A12 = 0 12.
Therefore,
( A Л11 O Л12 A =
In this case, we w rite the system (2.2) as
V A21 A22 J
(2.3)
D x = A ^ ^ ( 2.4 j)
D2x2 = A21xj + A22x2 . ( 2.4Я ) (2.4)
Using [4-6, 8], w e construct a m atricant X u(r) o f system (2 .4 7) w ith condition X u(0) = E1, based on
T
X „ (r) = E + J AUX U (s)ds , ( 2 .5 j)
0
and then w e define a solution X 22 = X 22 ( t ) w ith initial condition X 22 (0 ) = E 2 from the m atrix equation (2 .4 Я ), w here E1 and E 2 are identity m atrices, E = d ia g[ e x, E 2] is n -m atrix.
It is obvious th at such initial problem is equivalent to integral m atrix equation
T
X
22 T ) = E 2 + JX
22 (t —s '')A2\X
11 (s )ds . ( 2 -5 I I )0
This solution X22 (r) can be built using the sam e m ethodology as the m atrix X u (r) is built.
Thus, we have a m atricant X (r) o f system (2.4) in the form
X ( t ) = diag [X „ (t), X 22 (t)] . (2 .5) L e m m a . I f the matrix A has form (2.3), then the matricant X (r ) o f system (2.4) is represented as (2.5), where the diagonal blocks are defined by the integral equations (2 .5 I ) and (2 .5 I I ).
3. C o n s tru c tio n of m a tr ic a n t of a h o m o g en eo u s lin e a r system in th e g e n e ra l case B y replacem ent
x = By (3.1)
w ith a nondegenerate constant n -m atrix B, w e bring the system (2 . 1) to the form
D y = J y, J = d ia g (jx,..., Jk), (3.2) J j are blocks o f Jordan m atrix J an order lj w ith subdiagonal units, j = 1,k, l1 +... + lk = n1 + n2 = n, according to com ponents D j, D 2 o f operator D, the unknow n function y has coordinates y j , y 2 .
In connection w ith equality l1 + ... + lk = n1 + n 2 , tw o cases should be distinguished:
L A + ... + lk1 = ^ lk1 +1 + ... + lk1+k2 = ^ , w here k1 + k2 = k .
II. l1 + ... + lk-1 + lk^ = щ , lk, + lki+1 +... + lki + k = n2 , w here lk, + lk. = lki , 4 . > 0 , /^ > 0 , k1 + k2 = k . In the case I, the system (3.2) has the form
Д y 1 = J y 1, J = d iag J 1,..., Jk1), ( 3 .3 I) D 2y 2 = J y2, J " = d iag (lk1+1... + lk1 + k2). ( 3 .3 I ) (3 .3i ) Then its m atricant is defined in the diagonal form
Y(r ) = diag(Y1 T ), Y (^)) (3 4)
w ith ni -blocks Yi (r ) th at are constructed using know n m ethodology fo r constructing m atricant.
In the case II, the Jordan block Jk is split into the sum o f tw o sub-blocks J'k i, J ’" and the connecting sub-block J'l" an orders lk , l'" , l'k +1k = lk and the system (3.2) is represented as
A y 1 = J y 1, (3.3Ii )
---151---
D y'K = J'klyk1 , D2y'li = J ”y'kl + J"y"kl, (3.3"n ) (3. 3Я)
D 2 y 2 = J y 2, ( 3. 3")
where ^ y k " )= y kl, J ' = diag (J 1,..., J kx- 1,1 J k = diag ( J v ^ } J " = diag (J k1 +l ,..., J kx + k2,1 k1 + k2 = k. The matricants Y^r) and Y3(r) o f systems (3.3 "n ) and (3.3 ") are constructed using the known methodology for constructing matricants of systems with single differentiation operator. In order to determine the matricant of system ( 3.3I I ), corresponding to the block J k , what is represented in sub
blocks J k , J k and Jk, we write in an easy-to-understand form
J k1 =
( u 0 0 1 u 0 0 0 0 0 0 0
' D1u л v D 2v у
0 0 ^ 0 0
u 0
1 u
( J" 0 Y w Л J" j"
K\ Jv v у
, w = y ^, v = Ук (3.5)
J" =
( u 0 0 1 u 0 0 0 0 0 0 0
0 0 u 0
1 u
(0 . . 0 1N 0 . . 0 0 J"" =
’ J k1 =
0 . . 0 0 / Assuming \ = u write down the system (3.5) in coordinate form:
D 1 w 1 = u w 1 D2v 1 = wk[ + uv 1
D1Wk[ = Wk1-1 + u w kj D 2v k1'+k1" = v k1'+k"-1 + u vk[+k"
(3.6)
Since the system (3.5) and, therefore, the system (3.6) has a block-triangular form, we construct its matricant 72 (r) based on the proved lemma. So, in case II, we have a matricant o f the form
Y (r ) = diag [y1 (r ), 72 ( 4 Z, (r ) ] . (3 .7) Therefore, from the transformation (3.1) we have the matricant o f the system (2.1)
X (r) = BY (t)b _1, (3.8)
where Y (r) is determined by the relations (3.4) and (3.7). Thus, in this section it specifies a peculiar approach to constructing a matrix o f a homogeneous linear block-matrix system (2.2) and, consequently, a system (2.1). Let's formalize the result in the form o f the following theorem.
T h e o re m 1. The matricant o f linear homogeneous system (2.1) with block constant matrix (1.2) has the form (3.8), where the matrix Y (r) has form (3.4) or (3.7).
4. S o lu tio n s o f lin e a r system s w ith v a rio u s o p e ra to rs a n d th e ir in te g ra l re p re s e n ta tio n s From the characteristic system
dt . , ,
— = ai , i = 1,2
d r (4.1)
we have solutions t = t0 + ai (t- t0) = hi (r,r0, t 0), i = 1,2 with arbitrary initial data (r0, t0) e R x R m. Let's assume that characteristic variable h = h(z,T0, t 0) changes on set o f above defined characteristics H = {h(7, t ° , t 0) , h2( t , t ° ,t 0)}. Note that hi(r0, r , t)= t 0 , i = 1,2 are the first integrals o f (4.1). Functions
u ( h i ( Л т t are zeros o f operators Di , respectively; where u(t)e c f e)(Rm), e = (1,...,1) iis m -vector.t ) )
Next, the matricant X (r) o f system (2.1) is represented using block matrices X j (t) in the form
X (т) = n ( \ 1 2 , X j (r) are ni x n f -matrices. (4.2) W V X 21 (T X 22 (r)J ’ i ->
Let the operators Pt act on function u(t) defined on one o f two characteristics t = hi (t,t0, t 0) as follows
Piu(h(r,T0, t0))= u(hi( r , r0, t0)), i = 1,2, h ( r , r 0,t°) e H . (4.3) Operators Pi can be called projectors that define a function on the corresponding characteristic.
We introduce the operator P associated with projectors P1 and P2 acting on matricant X ( r ) on the right by following relation X (r)P = [Xj. (r)P ], i = 1,2, where the blocks X j(r) and projectors Pt are defined by the formulas (4.2) and (4.3). We set the problem o f constructing a solution x o f the system (2.1) with initial condition x| t =t0= u(t) , u(t ) e c t e)(r- ), e = (1,...,1) is m -vector.
By checking directly, you can make sure that the problem has a unique solution o f the form
x(r,t) = X (т- r 0)Pu(h(r0,T,t)), h(z,T °,t°) eH . (4.4) Here X (г) is matricant o f system (2.1), P is projector. Thus, the following theorem is proved.
T h e o re m 2. The unique solution o f linear homogeneous system (2.1) with various differentiation operators D1 and D 2, satisfying initial condition x|t =t „= u(t) is determined by the relation (4.4).
Let the vector functions f (r, t) have smoothness property o f the order (0, e) = (0,1,...,1):
f T ,t) e cT;e)(R x R m). (4.5)
T h e o re m 3. Under condition (4.5), the unique solution x o f linear nonhomogeneous system (1.1) that satisfies initial condition x| 0 = u(t), u(t) e Ct(e)( rm) is determined by the relation
T
(r ,t) = X (r - т 0)Pu(h(r0,r,t))+ J X ( г - s )P f(s ,h (s ,r,t))ds . (4.6) P ro o f. It is obvious that the second term o f equality (4.6) under condition (4.5) is a solution o f a nonhomogeneous system (1.1), and the first term, in accordance with theorem 2, is a solution o f a homogeneous system (2.1) that satisfies the given initial condition. Therefore, the relation (4.6) represents the solution o f the system (1.1). Uniqueness follows from theorem 2. Q.E.D.
5. M u ltip e rio d ic so lu tio n s o f system s w ith v a rio u s o p e r a to rs a n d th e ir in te g ra l re p re s e n ta tio n s Let the vector functions f (r, t), i = 1,2 have (в , о ) -periodicity and the smoothness property
f i(т + в , t + qa>) = f i(r ,t)e CT°’e)(R xRm) , q e Z m, (5.1) where (e, w) = (e,w 1,...,wm) is a period with rationally incommensurable coordinates o 0 = e ,w 1,...,w m.
T h e o re m 4. Under condition (5.1) for ( в ,о ) -periodicity o f solution x (r,t) = ^ ( r ,t,u (h (0 ,r,t))) o f system (1.1) with initial function u(t), it is necessary and sufficient that the functional-difference system
u (t) = (р(в, t , u(t + A(t))). (5.2)
was solvable in the class о -periodic smooth functions u (t) = u(t + q o ) e c \ e^(Rm ), q e Z m.
P ro o f. Note that if x = x(r,t ) is solution o f system (1.1), then y (r, t) = x(r + e, t + q o ) , also satisfies the system (1.1), and z ( r ,t) = y ( r , t ) - x(r,t) is solution o f (2.1). It is obvious that if the initial function
---153--- x
T
u(t) o f solution x (r ,t) o f (1.1) has property u(t) = u(t + q a ) e C( ^(ftm), q e Z m, then x (r ,t) is a periodic by t e R m and vice versa. In the future, we will assume that this condition always satisfied.
If the initial conditions for these solutions x(r, t ) and y (r , t ) for the same
x(0, t ) = x(e, t ), (5.3)
then these solutions are identically equal, moreover x(r,t) = x(r + e ,t + q a ) . Conversely, if the solution x(r, t) is в -periodic by r , then the condition (5.3) is satisfy. Then by virtue o f theorem 3, we have x(r, t ) = p (r, t, u (h (0, r, t ))), at that x(0, t) = u (t) and x(e, t ) = p (в, t, u (h (0, в, t ))) = <р(в, t, u (t + Д(t))), A(t) = h (0,в ,t) - 1. Therefore, condition (5.3), depending on function u (t), has the form (5.2). Q.E.D.
T h e o re m 5. Linear system (1.1) with various operators (1.1' )-(1.1") under the conditions (5.1) and
Re 2 (a) < 0 , (5.4)
has a unique (в, a ) -periodic solution x*(r,t) with integral representation
r
x*(r,t)= J X ( r - s ) P f(s ,h (s ,r ,t))ds . (5.5)
— ад
P ro o f. By virtue o f structure o f the general solution (4.6), the system (5.2) has the form
u(t ) = X (d)Pu(t + A(t ))+ ^ (t) , (5.6)
в
arbitrary term defines by ^ (t) = J X (в — s )P f (s,h(s, в, t))ds, a -periodic by t and A(t) = — a в . If real parts
0
o f eigenvalues 2 ( a ) o f A are negative (5.4), then after k o f iterations, system (5.6) can be reduced
u(t) = X (kв)Pu (t + kA(t)) + \yk (t) (5.7)
with matrix X (k0) that is normally bounded by constant 8 from interval 0 < S < 1. Therefore, we have
||X < 8 < 1. (5.8)
Then by the method o f successive approximations by virtue o f conditions (5.4) and (5.8) it is easy to show that system (5.7) and, therefore, system (5.6) has unique smooth a -periodic solution:
0
w(t)= J X (в — s )P f(s ,h ( s ^ ,t))ds . (5.9)
— ад
It’s clear that corresponding homogeneous system (2.1) with various differentiation operators (1.1') and (1.1") under the conditions (5.4) has only a zero (в, a ) -periodic solution.
Substituting (5.9) in the formula o f general solution (4.6) we have integral representation o f the unique (в, a ) -periodic solution (5.5). Thus, theorem 5 is completely proved.
C o n clu sio n . In article on the basis o f the method o f projection operator multiperiodic it is researched the solution o f system with various operators o f differentiation, it is built a matricant o f linear system in the general case, the splitting Jordan block as a sum o f two sub-blocks, it is established the conditions for existence o f (в, a ) -periodic solutions o f the considered system and their integral representations. Note that the developed method can be generalized to the quasilinear case when the coefficients o f linear part are multiperiodic. Meanwhile, it will be necessary to use generalizations o f methods o f works [4-10], [14-16] for the case under consideration.
Ж .А . С а р т а б а н о в , Э .Х . Ж ¥ м а F а зи ев , Г .А . А б д и к а л и к о в а
К .Ж убанов аты ндагы А ктебе ещ рлш м е м л ек е тп к университет^ А ктебе, К азакстан Э Р Т У Р Л 1 Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Д А У О П Е Р А Т О Р Л Ы Б Л О К -М А Т Р И Ц А Л Ы К Т У РД Е Г 1
Ж У Й Е Н 1 Ц К 0 П П Е Р И О Д Т Ы Ш Е Ш 1 М 1 Н З Е Р Т Т Е У Д Щ Б1Р ЭД1С1 Т У Р А Л Ы
А н н о т а ц и я . Д ербес туы нды лы тендеулер жYЙелерiмен сипатталаты н тербелю п роцестерш щ кеппериодты ж эне периодты д ерлш ш еш 1м дер1н зерттеу диф ф еренциалды к тендеулер теор и я
сы ны н каз1рп дам у кезещ нде Yлкен кы зы гуш ы лы к тугы зуда. Бул тутас орта м ехан ика теориясы, сы гы латы н суйы кты к пен газдарды н стационар ем ес агы сы , белш ектер агы ны ны н толкы нды к козгалы сы ны н ф и зикалы к-техникалы к есеп тер ш щ колданы стары м ен байланы сты . Д еф орм ацияла- наты н, кристаллды к емес орталардагы процестерд1 зерттеу периодты лы к немесе периодты д ерлш касиеттерд1 ескеру к а ж е т т ш гш е алы п келетш ш е ескере кеткен ж ен.
В екторлы к ерю багы ты б ойы нш а эртYрлi диф ф еренциалдау операторлы сы зы кты туракты к о э ф ф и ц и е н т жYЙенiн барлы к айны м алы лары бойы нш а ж алгы з кепп ери одты ш еш 1м 1н1н бары ж эне интегралды к б е й н е с туралы есеп зерттелген.
И нтегралдау сипаттауы ш тары проектор аркы лы аны кталаты н тэуелш з айны м алы лар к е щ с т ш - н щ ею тYзуi бойы нда эртYрлi арнайы диф ф еренциалдау операторлы сы зы кты туракты коэф ф и ц и е н т б лок-м атрицалы к тYPдегi жYЙе Yшiн бастапкы есеп тщ ш еш 1м дер1н тургы зу т э с ш К ош идщ сипаттауы ш тар э д ю нег1з1нде тYзiлдi.
Y ш буры ш -блокты тYPдегi б1ртект1 жYЙенiн м атрицанты н куру т э и л д е м е и келп рш ген . Д иагональды блоктарды н и нтегралды к м атрицалы к тендеулерi табы лды . Ж ордан блогы екi блокш аны н косы н ды сы н а аж ы раган да ж алпы ж агдайдагы сы зы кты бiртектi жYЙенiн матрицанты н куруды н ж ана тэсiлдем есi усы ны лган.
К уры лган эдiстеме б ойы н ш а векторлар е р ю багы ты бойы нш а эртYрлi арнайы диф ф ерен циалдау операторлы бiртектi ж эне бiртектi емес сы зы кты жYЙелер Yшiн К ош и есеб ш щ ж алгы з ш еш iм iнiн бар болу туралы есеб ш щ сурагы ш еш iлдi ж эне ен етш деректер аны кталган ж аты кты кка ие болгандагы ш арт оры ндалганда и нтегралды к бейнелерi келтiрiлдi.
Осы туста диф ф еренциалдау ж эне интегралдау жYргiзiлетiн сэйкес характеристикаларды аны ктауш ы енгiзiлген п роекторларды н маны зы ш еш уш i болды . П роекторларды н кейбiр касиеттерi тагайы ндалды , оны н iш iнде проекторларды н екi характеристикаларды н бiрiнде берiлген вектор- ф ункцияга ж эне куры лган м атрицантка эсерi керсетiлдi.
ЭртYPлi ею диф ф еренциалдау операторлы сы зы кты бiртектi ж эне бiртектi ем ес жYЙелердiн ж алпы ш еш iм дерiн курум ен катар, периодты ж аты к функциялар класы ндагы ф ункционалды к- айы ры м ды к жYЙенiн ш е ш ш м д ш п н щ к а ж е т ж эне ж еткiлiктi ш арттары оры ндалганда карасты - ры лган арнайы диф ф еренциалдау операторлы жYЙенiн кеппериодты ш еш iм iнiн бар болу ш арттары дэлелденд^ А лы нган нэтиж е теорем а тYрiнде туж ы ры мдалды .
Ж огары да карасты ры лгандарды н н е п з в д е , енетiн деректер кепп ери одты лы к пен аны кталган ж аты кты к касиеттерiне канагаттанды рганда, критикалы к емес ж агдайда бiртектi емес сы зы кты блок-м атрицалы к тYPдегi жYЙенiн кеппериодты ш еш iм iнiн бар ж эне ж алгы з болуы туралы теорем а дэлелдендi ж эне он ы н проекциялау операторлары нан тэуелдi интегралды к бейнесi келтiрiлдi.
Т еореманы дэлелдеу бары сы нда кеппериодты функциялар класы н да ф ункционалды к-айы ры м ды к жYЙенiн ш еш iлiм дiлiгi ж эне ен п зш ген проекциялау операторы колданы лды . Теорем аны дэлел- дегенде бiртiндеп ж уы ктау эдiсi падаланы лы п, критикалы к емес ж эне ан ы кталган ж аты кты к касиеттерш е CYЙене карасты ры лган жYЙенiн ж алгы з ж аты к кеппериодты ш еш iм табы лды .
В екторлы к ерю багы ты бойы нш а арнайы диф ф еренциалдау операторлы блок-м атрицалы к тYPдегi сы зы кты диф ф еренциалды к тендеулер жYЙесiнiн кеппериодты ш еш iм iн куру ж эне проектор теориясы н колдану кеппериодты функциялар к е щ с т т н д е ш еш iлiм дi есептер класы ны н кенею iне келтiретiнiн ескеремiз.
Бiрiнш i р е т п дербес туы нды лы сы зы кты тендеулер жYЙесiн енетiн деректердiн м атрицалы к блоктары м ен вектор-ф ункциялары аркы лы ерн ектелетiндiгi тэуелсiз айны м алы лар к е щ с т ш н щ векторлы к ерiс багы ты бойы нш а эртYрлi арнайы сы зы кты диф ф еренциалдау операторлы жYЙенiн
155
уа^ы т ж эне к е щ с п к тэуелш з айны м алы лары б ойы нш а кепп ери одты ш еш iм iнщ бар болаты нды гы н зерттеудщ ж аца тэсiлдем есiн муруга экелдi.
К рлданы лган эдiстем ем ен алы нган нэтиж елердi ^арасты ры лган ж уй ен щ ж алпы ланган квазисызыщты ж агдайы н да да, сондай-а^, эртYрлi n диф ф еренциалдау операторлы ж уйе ж аг- д ай ы н д а ж эне б е л г ю з вектор-ф ункцияны ц дербес туы нды лары ны ц ж аны ндагы коэф ф ициенттерi кеппериодты м атрицалар болган кезде де осы э д ю т ^олданы п алуга болады.
ТYЙiн сезд ер : кеппериодты ш еш iм, характеристикалар эдiсi, проекциялау операторлары , векторльщ ерiстер бойы нш а диф ф еренциалдау операторлары , интегралдьщ бейне.
Ж .А . С а р т а б а н о в , А .Х .Ж у м а г а з и е в , Г .А .А б д и к а л и к о в а
А ктю би н ски й региональны й государственны й университет им ени К .Ж убанова, А ктобе, К азахстан О Б О Д Н О М М Е Т О Д Е И С С Л Е Д О В А Н И Я М Н О Г О П Е Р И О Д И Ч Е С К О Г О Р Е Ш Е Н И Я
С И С Т Е М Ы Б Л О Ч Н О -М А Т Р И Ч Н О Г О В И Д А
С Р А З Л И Ч Н Ы М И О П Е Р А Т О Р А М И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Я
А н н о т а ц и я . Н а соврем енном этапе развития теории д иф ф еренциальны х уравнений наибольш ий интерес п редставляет исследование м н огопериодических и почти периодических реш ений колебательны х процессов, описы ваю щ ихся систем ам и д иф ф еренциальны х уравн ен ий в частн ы х производны х. Это связано с прилож ениям и ф изико-технических задач теори и м еханики сплош ной среды , нестационарны х течений сж им аем ы х ж и дкостей и газов, волнового движ ения потока частиц. Заметим, что исследование процессов в деф орм ируем ы х, некристаллических средах приводит к необходим ости учета свойства периодичности или почти периодичности.
И сследована задача о сущ ествовании и интегральном представлении единственного м ногоп е
риодического по всем независим ы м перем енны м реш ения лин ейн ой системы с постоянны м и коэф ф ициентам и и с различны м и операторам и диф ф еренцирования по направлению векторного поля пространства независим ы х перем енны х.
Н а основе м етода характеристик К ош и разработана м етодика построения реш ен ий начальной задачи для лин ейн ой системы с постоянны м и коэф ф ициентам и и с различны м и специальны м и операторам и диф ф еренцирования вдоль двух п рям ы х пространства н езависим ы х перем енны х, где характеристики интегрирования определяю тся при пом ощ и проектора.
П ри веден а м етоди ка построения м атрицанта однородной системы блочно-треугольного вида.
Н айдены интегральны е м атричны е уравнения диагональны х блоков. П редлож ен новы й подход построения м атрицанта лин ейн ой однородной системы в общ ем случае, когда ж ордановы й блок расщ епляется на сум м у двух подблоков.
П о разработанной методике реш ен вопрос о сущ ествовании единственного реш ения задачи К ош и для лин ейн ой однородной и неоднородной систем с различны м и специальны м и операторам и диф ф еренцирования по направлению векторного поля и найдены их интегральны е представления, при условии, что входны е данны е обладаю т определенной гладкостью . П ри этом сущ ественное значение им ели введенны е проекторы по определению соответствую щ их характеристик, по которы м ведутся диф ф еренцирование и интегрирование. У становлены некоторы е свойства п роек
торов, в том числе действие проекторов на вектор-ф ункцию зад ан н ы х на одной из д вух характеристик, а такж е воздействие на построенны й матрицант.
Н аряду с построением общ их реш ений л ин ейн ы х систем с двум я оп ераторам и диф ф ерен ц и рования доказана теорем а об услови ях сущ ествования м ногопериодического реш ения рассм атри ваем ой систем ы со специальны м оп ератором диф ф еренцирования при необходим ом и достаточном условии разреш им ости ф ункционально-разностной систем ы в классе периодических гладких функций.
П ри предполож ении м ногопериодичности и определенной гладкости входны х д ан ны х на основе вы ш еизлож енного в некритическом случае доказана теорем а о сущ ествовании и единственности многопериодического реш ения лин ейн ой неоднородной системы б лочн о
матричного вида и дано его интегральное представление, зависящ ее от операторов п роекти ро
вания. В процессе доказательства теорем ы воспользовались разреш им остью ф ункционально
разностной систем ы в классе м н огопериодических ф ункций и введенны м оператором п роекти ро
вания. В ходе доказательства используя м етод последовательны х приближ ений, в силу условий некритичности и гладкости получено единственное гладкое м ногопериодическое реш ение рассм атриваем ой системы.
О тметим, что построение многопериодического реш ения системы диф ф еренциальны х уравнений блочно-м атричного вид а со специальны м и операторам и диф ф еренцирования по направлению векторного поля с прим енением теори и проектора приводит к расш ирению класса разреш им ы х задач в пространстве м н огопериодических функций.
П редставление линейной системы уравн ен ий в частн ы х производны х первого п орядка через блоки м атричной и векторной функций входны х данны х привело к разработке нового подхода исследования вопроса сущ ествования м ногопериодического реш ения как по врем енны м так и по пространственны м перем енны м системы с различны м и операторам и диф ф еренцирования по н аправлению векторного поля простран ства н езависим ы х переменны х.
Р азработанная м етодика им еет перспективу распространения п олученны х результатов на квазилинейны й случай рассм атриваем ой системы , а такж е н а случаи системы с n различны м и операторам и диф ф еренцирования и м ногопериодических м атриц при частн ы х производны х иском ой вектор-функции.
К л ю ч е в ы е с л о в а : многопериодическое реш ение, метод характеристик, операторы п роекти рования, операторы диф ф еренцирования по векторны м полям, интегральное представление.
Information about authors:
Sartabanov Zhaishylyk Almaganbetovich - K.Zhubanov Aktobe Regional State University, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, [email protected], http://orcid.org/0000-0003-2601-2678;
Zhumagaziyev Amire Khaliuly - K.Zhubanov Aktobe Regional State University, PhD student, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-6007-3311;
Abdikalikova Galiya Amirgaliyevna - K.Zhubanov Aktobe Regional State University, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-6280-4168
REFERENCES
[1] Kurant R (1964) Partial differential equations [Uravnenija s chastnymi proizvodnymi]. Moscow: Mir. (In Russian).
[2] Rozhdestvenskij BL, Janenko NN (1978) Systems of quasilinear equations and their applications to gas dynamics [Sistemy kvazilinejnyh uravnenij i ih prilozhenie k gazovoj dinamike]. Moscow: Nauka. (In Russian).
[3] Farlou S (1985) Partial Differential Equations for Scientists and Engineers [Uravnenija s chastnymi proizvodnymi dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov]. Moscow: Mir. (In Russian).
[4] Kharasakhal VKh (1970) Almost periodic solutions of ordinary differential equations [Pochti-periodicheskie resheniia obyknovennykh differentsialnykh uravnenii]. Alma-Ata: Nauka. (In Russian).
[5] Umbetzhanov DU (1979) Almost multiperiodic solutions of partial differential equations [Pochti mnogoperiodicheskie resheniia differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh]. Alma-Ata: Nauka. (In Russian).
[6] Umbetzhanov DU (1990) Almost periodic solutions of evolution equations [Pochti periodicheskie reshenija jevoljucionnyh uravnenij]. Alma-Ata: Nauka. (In Russian).
[7] Vejvoda O, Herrmann L, Lovicar V, Sova M, Straskaba I, Stedry M (1982) Partial differential equations: time-periodic solutions. Springer Netherlands.
[8] Sartabanov ZhA (2001) Periodic functions and periodic solutions of some ordinary differential equations [Periodty funkcijalar zhane kejbir karapajym differencialdyk tendeulerdin periodty sheshimderi]. Alma-Ata: RBK. (In Kazakh).
[9] Mukhambetova AA, Sartabanov ZhA (2007) Stability of solutions of the systems of differential equations with multidimensional time [Ustoichivost reshenii sistem differentsialnykh uravnenii s mnogomernym vremenem]. Aktobe: Print A.
(In Russian).
[10] Kulzhumieva AA, Sartabanov ZhA (2013) Periodic solutions of the systems of differential equations with multidimensional time [Periodicheskie resheniia sistem differentsialnykh uravnenii s mnogomernym vremenem]. Uralsk: RITs ZKGU. (In Russian).
[11] Dzhumabaev DS, Bakirova EA, Kadirbayeva ZhM (2018) An algorithm for solving a control problem for a differential equation with a parameter. News of NAS RK. Series of physico-mathematical. Volume 5, Number 321, 25-32.
https://doi.org/10.32014/2018.2518-17264
[12] Assanova AT, Bakirova EA, Kadirbayeva ZhM (2019) Numerical implementation of solving a boundary value problem for a system of loaded differential equations with parameter. Volume 3, Number 325, 33 - 41.
https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.27
157
[13] Carleman T (1960) Mathematical problems of the kinetic theory of gas [Matematicheskie zadachi kineticheskoj teorii gazov]. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoj literatury. (In Russian).
[14] Sartabanov ZA (2017) The multi-period solution of a linear system of equations with the operator of differentiation along the main diagonal of the space of independent variables and delayed arguments, AIP Conference Proceedings, Vol. 1880, 040020. Doi:10.1063/1.5000636
[15] Kulzhumiyeva AA, Sartabanov ZA (2017) On multiperiodic integrals of a linear system with the differentiation operator in the direction of the main diagonal in the space of independent variables, Eurasian Mathematical Journal, Vol. 8, 1, 67-75 p.
[16] Kulzhumiyeva AA, Sartabanov ZA (2019) Integration of a linear equation with differential operator, corresponding to the main diagonal in the space of independent variables, and coefficients, constant on the diagonal, Russian Mathematics, Vol. 63, 6, 34-47. https://doi.org/10.3103/S1066369X19060045
[17] Abdikalikova GA, Zhumagaziyev AKh (2016) On a multiperiodic solution of a system of partial differential equations [O mnogoperiodicheskom reshenii odnoj sistemy uravnenij v chastnyh proizvodnyh], International Scientific Journal, 4, 6-9.
(In Russian).
[18] Kenzhebaev KK, Sartabanov ZhA, Bekbauova AU (2010) Multiperiodic solutions of quasilinear hyperbolic systems of partial differential equations [Mnogoperiodicheskie reshenija kvazilinejnyh giperbolicheskih sistem differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh], Mathematical Journal - Matematicheskij zhurnal, Vol. 10, 1, 46-52. (In Russian).
[19] Zhumagaziyev AKh, Sartabanov ZhA, Abdikalikova GA (2019). Multiperiodic solution of one hyperbolic system and its integral representation. The Abstract Book of International Conference “Actual Problems of Analysis, Differential Equations and Algebra” (EMJ-2019), dedicated to the 10th anniversary of the Eurasian Mathematical Journal, Nur-Sultan, Kazakhstan.
P. 99-101.
[20] Zhakashbaev BZh, Berzhanov AB (1986) On the construction of an almost multiperiodic solution of a system of partial differential equations with triangular matrix coefficients [O postroenii pochti mnogoperiodicheskogo reshenija odnoj sistemy uravnenij v chastnyh proizvodnyh s treugol'nymi matrichnymi kojefficientami]. Differential equations, function theory and their applications: the abstract book - Differencial'nye uravnenija, teorii funkcij i ih prilozhenija: sbornik nauchnyh trudov, Alma-Ata, KazSSR. P. 38-40. (In Russian).
[21] Trenogin VA (1980) The Functional Analysis [Funkcional'nyj analiz]. Moscow: Nauka. (In Russian).
