XAD = )( )(,)0(vt v v = = C ]1[ C )( AR

1188 ӘОЖ 517.954

ПАРАМЕТРІ БАР ЭВОЛЮЦИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН ЕКІ НҮКТЕЛІК ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕП

Жұмаділлә Жанерке Ерланқызы jani_98_03@mail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ Іргелі математика кафедрасының студенті, Нур-Султан, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі –А.Ибатов



X Банах кеңістігі, А анықталу облысы X кеңістігіне тығыз орналасқан

 ^{D ( A )  X} 

сызықты шенелмеген оператор, ал p X параметр болсын.

) , 0 (

,t t₁

p dt Av

dv    (1)

1 1 0

, ( ) )

0

( v v t v

v  

(2)

параметр қатысатын Банах кеңістігінде берілген дифференциалдық теңдеу үшін қойылған екі нүктелік шекаралық есебін қарастырайық. v(t) абстрактілі функциясының бастапқы

v

₀ және соңғы v₁ мәндерін білу арқылы (1), (2) қатынасынан p параметрін және v(t) функциясын табу керек.

) (t

v абстрактілі функциясы келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

1) [0,t₁]кесіндісінде үзіліссіз;

2) (0,t₁] аралығында үзіліссіз дифференциалданатын;

3) (0,t₁]аралығында жатқан кез келген

t

үшін v(t) мәні D(A)жату керек;

4) (0,t₁]аралығында v(t) абстрактілі функциясы (1) теңдеуді қанағаттандыру керек;

5) v(t) функциясы (2) шекаралық шартты қанағаттандыру керек.

1 –анықтама. Егер v(t) жартылай тобы t 0 болғанда қатаң үзіліссіз және X

x x x t v

t   



 ( ) ,

lim

0 теңдігін қанағаттандыратын болса, онда v(t)жартылай тобын

C

0

класына жатады дейді.

] 1

0

[

C

класында жататын аналитикалық жартылай топ арқылы туындаған оператор қатысатын (1), (2) есебі [2] Ю.С. Эйдельман ғылыми еңбегінде қарастырылған. A операторы

C

0 класында жататын кез келген жартылай топ арқылы анықталған жағдай [6] У.

Ранделл ғылыми еңбегінде A операторына немесе

v

₀

, v

₁ шекаралық мәндерге қосымша шарттар қою арқылы қарастырылған. Бұл жағдайға, мысалы, Шредингер теңдеуіне қойылған шекаралық есебі сәйкес келеді.

Бұл жұмыста шексіз дифференциалданатын T(t)(t 0) жартылай тобы арқылы туындалған оператор қатысатын (1), (2) есебі зерттелген. Мұндай жартылай топтың нөл (t=0) нүктесінде ерекшелігі болуы мүмкін, яғни

C

₀ класына жатпайды.

(1), (2) есебін әрі қарай зерттеу үшін А операторына және

v

₀

, v

₁ мәндеріне қосымша шарттар қоямыз:

I) қандай да бір нақты



сандары үшін А операторының

R

_

( A )

резольвентасы бар болсын және Re  (  i)үшін

1

1189

) 1 0

, Im ) (

1 ) (

(   

    

 ^



A M

R (3)

. II)

v

₀

v1 і ң ,

v

₀

, v

₁

 D ( A )

.















) ( )

0

( v₀ D A

v

p dt Av

dv

і ің і і



^



T t v ^tT t s pds t

v

0

0 ( )

) ( )

( (4)

[ ! .].

)) ( ( )

( lim )

(t 0T t x x x D A

T

t  

  t 0 і ( ң)

ң .

(4) ^v(t) і і (1), (2) і ің і і

і t t₁ і



^{ }



 ¹

0

1 1

0 1

1) ( ) ( )

(

t

v pds s t T v t T t v

ң і і . (1), (2) і ің і і і і

0 1 1 0

1 ) ( )

(

1

v t T v pds s t T

t







 (5)

ң і ің і і і і . і (5) ң і і і і і . (5)

ң і ің і X _{ңі і і і} p _і D(A)

і і . і і B

і і ,



^{ }



 ¹

0

1 ) , ( )

( ),

( :

t

X B D pds s t T Bp A D X B

і (1), (2) і ің і і і і і і ң ^D(A)

ң і і і - .

 





    

 :Re (1 ) ,q 0,1 m

z q Ƚq z

 



. (3) ( [ ! .] ң ің

86 і ң ) ң і

Ƚ

q ң

. і [2] ң

dz A z R

e

B i _z

Ƚ zt

q

) 1 ( 2

1 ¹



^

 

ң і і ің і . і ң і і

(1), (2) . і ің і і і і і і ң і ің

і і .

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

2

1190

1 – .

v

₀

, v

₁

 D ( A )

і (1), (2) і ің і і

і  k  Z

t ik

k 2 , 0

1

  _{і ң і і}

і і і.

і. і і і.

) ( ,

₁

0

v D A

v 

і (1), (2) і ің і і .

 



 k Z

t ik

k 2 , 0

1

  _{і ң і}

, ң і .

dz A z R z

e

D i _z

Ƚ k

zt k

q

) ) ( (

1 2

1 ¹



^_

  

.

) (

1

1

z z

e

k zt







Ƚ

q ң

) 0 (

1

1 







Ƚq k zt

z dz z

e



. і

dz I A AR A z R

z e dz i

I A R A z I

z e i

z dz z

e dz i

A R A z I

z e D i

A I

z z

k

Ƚ k

zt z

k

Ƚ k

zt

Ƚ k

zt

Ƚ

z k

k zt k

k

q q

q q

] ) ( )

( )[(

( 1 2

] 1 ) ( ) )[(

( 1 2

1

) (

1 2

) 1 ( ) )(

( 1 2

) 1 (

1 1

1 1



 

 



 

 

 

 



 

 











 

 







 



 

ң і і .

I A zR A

AR_z( ) _z( )

і

B dz A z R

e i

dz A R z z

z e dz i

A zR A z R

z e i

dz I I A zR A z R

z e D i

A I

q

q q

q

Ƚ

z zt

Ƚ

z k k

zt

Ƚ

z z

k k

zt

Ƚ

z z

k k

zt k

k

 





 

 

 

 







 

 











) 1 ( 2

1

)]

( ) )[(

( 1 2

)] 1 ( ) ( )[

( 1 2

1

] )

( ) ( )[

( 1 2

) 1 (

1

1 1

1



 

 





 

 

ң і і і .

x D A I Bx X

x  :  (

_k

 )

_k

 

(6)

ң і і . (1), (2) і ің і і і і ң D(A) ң

і , і і - ң

) (A

D ң і ^B1 і і . і (6)

ң і і ң і і

x D B A I x D A I B Bx

B

^1



^1

( 

_k

 )

_k

 ( 

_k

 )

^1 _k .

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

3

1191

D

k

B

^1 _{ɏ ңі і і ің і}



_k

I  A

і .



k _{і ң}

і .

і і і і і.  k  Z

t ik

k 2 , 0

1

  _{і ң і}

. (1), (2) і ің і і і . і

ң ^D(A) ң і і і

і і і. ң і і [2] ң і

і. і (1), (2) і і і v(t) p і

v

0

,v

1

і .

1 – . u₁(x),u₂(x)L₂(,) u(x)u₁(x),u₂(x)

ңі і і і

x u u

x u u

x x p

u x

i u t u

x u u

x u u x

x p u t u

t t t

t t t













 





 

 







 















) 8 ( )

( ),

( )

(

) 7 ( )

( ),

( )

(

1 2 2

0 0 2 2 2 2

2 2 3

1 3 2

1 1 1

0 0 1 1 2 1

1 2 1

1 1

і ң і і і .

)) , ( ), , ( ( ) ,

(xt u₁ x t u₂ x t

u  p(x)(p₁(x),p₂(x)) і і ,

-v(x)(v₁(x),v₂(x)), v₁(x),v₂(x) )

,

2(

L ңі і і , – , і

(

)

і .

[ ! .] ң ің 198 і ң

ң

2

1



(3) і .

і і . ң і і

ің і і . 1 – (7),

(8) і ің

  ^{( ), ( )}  ^{, ( ),}

¹2

^{( )}   ^{( )}

1 1 0

2 0

1

x u x u x u x D A

u 

_{і і і .}

і і і

1. . . . – .:

, 1967, -16016. - . 11-37.

2. . .

.

. 5.1.1981 ., 44-81.- 14 .

3. Rundell W. Determination of on unknown non-Homoge-neous Term in a Linear Partial Differential Equations from the overspecified Boundary Data. –Appl.Anl., 10.-№3.-1980, P.

231-242.

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

4