第一节 映射与函数

第一章

分析基础

函数 极限 连续

— 研究对象

— 研究方法

— 研究桥梁

函数与极限

第一章

二、映射 三、函数 一、集合

第一节

映射与函数

元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记 作

一、 集合

1. 定义及表示法

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 . 组成集合的事物称为元素 .

不含任何元素的集合称为空集 , 记作  ^. M

a  _{( 或}a M _{) .} .

M a

注 : M 为数集

M_表示 * ^M _中排除 ⁰ _的集 ^;

M表示  M 中排除 0 与负数的集 .

简称集 简称元

表示法：

(1) 列举法

： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例 : 有限集合 ^{A }



^a₁ ^{, a}₂ ^,_^{, a}_n





 

a_{i i}ⁿ_1

自然数集 N 



0, 1, 2 ,_, n,_





 

n (2) 描述法：^{M }



^{x x} 所具有的特征



例 : 整数集合^{Z }



^{x x  N} 或  x N^



有理数集 q p



 

Q _{p Z, q  N}^_, p 与 q 互 实数集合 ^{R }



^{x x} _{为有理数或无理数} 质



开区间 ^{( a , b ) }



^{x a  x  b}



闭区间 ^{[ a , b ] }



^{x a  x  b}







)

(

 a  

 a





) ,

( a x

U^  





) ,

[ a b  x a  x  b





] ,

( a b  x a  x  b 无限区间 ^{[ a ,   ) }



^{x a  x}







] ,

( b  x x  b





) ,

(    x x  R

点的  _邻域

a





) ,

( a x

U   a   x  a 



^x



 x  a  







 x a 0

其中 , a 称为邻域中心 ,  _{称为邻域半径}

.

半开区间

去心  _邻域

左  _邻域 : (a  , a), 右  _邻域 :(a , a  ).

是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,

2. 集合之间的关系及运算

定义 2 . 则称 A

. B A  若A  B _且 B  A , 则称 A 与 B 相等

,

. B A  例如 , N Z Z  Q Q  R

显然有下列关系 :

; )

1

( A  A A  A; B

A  )

2

( 且 B  C A  C

, ,

 A



若 x  A x  B, 设有集合 A, B,

记作 记作

必有

O y

x

A c

BA

B

定义 3 . 给定两个集合 A, B,

并集 ^A_ ^{B }



^x x  A



交集 ^A _ ^{B }



^{x x  A} _且 x  B



差集 ^{A \ B }



^x x  A _且 x  B



定义下列运算 :

A B A B

余集 B_A^c  A \ B (其中B  A)

直积 ^{A B }



^{(x, y)} x  A , y  B



特例 : R  R ^记 R²

为平面上的全体点集

A B A \

B

B A

B A

B x  或

二、 映射

某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号

某班学生的集合 某教室座位 按一定规则入座 的集合

引例 1.

引例 2. y  x  sin x

 R

x y  R

引例 3.

O x

y

1

Q P



^{( , ) 2  2 1}



 x y x y C



^{(0, ) 1  1}



 y y

Y

( 点集 )

( 点集 )

C P 

 点

_{向 y 轴投影}

投影点 Q  Y

x y  sin

x y 

O x

y

x1 x₂

x x

y   sin

定义 4. 设 X , Y 是两个非空集合 ,若存在一个对应规 则 f , 使得 x  X , _{有唯一确定的} y Y _与之对应 ,则称 f 为从 X 到 Y 的映射记作, f : X  Y.

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像记作, y  f (x).

元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;

Y 的子集 R_f  f (X ) 



^{f (x) x X}



_称为 f 的 值域 . 注意 1) : 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的 , 但 y 的原像不一定唯一 .

X x f y Y

对映射 f : X  Y

若 f (X )  Y_{, 则称 f 为满射 ;}

X f _{Y  f (X )} 若x₁ , x₂  X , x₁  x₂ , _有

) (

)

(x₁ f x₂

f 

则称 f 为单射 ;

若 f 既是满射又是单射则称 , f 为双射 或一一映射 .

X ^Y

) (X f

f

引例 2, 3

引例 2

引例 2

例 1. 三角形  (三角形集合)

海伦公式 b

c

a 面积 S

 (0, )

例 2. 如图所示 , _S

x y

O

y  ex

x

) ,

0

[  



 x

对应阴影部分的面积 S [0, )

则在数集 [0,  )自身之间定义了一种映射 ^{( 满射 )} 例 3. 如图所示 ,

x y

O

) , (x y r

 

cos r

x 

 sin r

y 

) 2

,

(x y  R π) f

2 , 0 [ ) ,

0 [ )

,

(r     

 : f

则有

( 满射 )

( 满射 )

X ( 数集 或点集 ) 说明 :

在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠  ) f Y ( 数集 )

f 称为 X 上的泛函 X (≠  ) f X

f 称为 X 上的变换 f R

f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子 .

名称 . 例如 ,

定义域

三、函数

1. 函数的概念

定义 5. 设数集D  R , _则称映射 f : D  R _为定义在 D 上的函数 ,记为

D x

x f

y  ( ), 

称为值域 函数图形 :



^{(x , y)}



C  y  f (x) , x  D )

(D f

D 



自变量 因变量

x y

) ] , [

(aD xa b b y

O



^{y y f x x D}



D f

R_f  ( )   ( ), 

D x 

 f ^y  ^R_f  ^f (^D) 



^{y y}  ^f (^x), ^x ^D



( 对应规则 ) ( 值域 ) ( 定义域 )

例如 , 反正弦主值y  f (x)  arcsin x ,

] 1 , [1



D f (D)  [ ₂^π , ₂^π ]

• 定义域

• 对应规律的表示方法 :解析法^、图像法^、列表法

使表达式或实际问题有意义的自变量集合 .

定义域 值域



 

 x x

f ( ) 又如 , 绝对值函数

x y

O

x y 

0 , x  x

0

, 

 x x 定义域 D  R

值 域 f (D)  [0 ,  )

对无实际背景的函数 , 书写时可以省略定义域 . 对实际问题 , 书写函数时必须写出定义域；

O y

2



1

1

x

2

例 4. 已知函数











 

 1 , 1

1 0

, ) 2

( x x

x x x

f y

解 :

) ( ¹₂

f 及 f ( ¹_t ). 写出 f (x) 的定义域及值域 , 并求

f (x) 的定义域 D  [0,  ) 值域 f (D)  [0,  )

21 21) 2

( 

f  2

 ) ( ¹_t f

1 0  t  1 ,

1 t

1 , t

2 t

x y

O

x y  2

x y 1

1

2. 函数的几种特性

设函数 y  f (x) , x  D , _且有区间 I  D .

(1) 有界性

, D x 

 M  0, _使 f (x)  M ,_称 f (x) ,

I x 

 M  0, _使 f (x)  M , _称 f (x) 说明 : 还可定义有上界、有下界、无界

.(2) 单调性

为有界函数 . 在 I 上有界 .

, D

x 

使

若对任意正数 M , 均存在 f (x)  M ,

则称 f ( x ) 无界 .

称 为有上界 称 为有下界 ,

) (

, f x  M



), ( , M  f x



当_{1 2}时，

2

1, x I, x x

x  



, ) (

)

(x₁ f x₂

f 

若 _称 f (x) _{为 I 上的} ,

) (

)

(x₁ f x₂

f 

若 称 f (x) _{为 I 上} 的

单调增函数 ;

单调减函数 .

x1 x₂ x y

O

( 见 P11 )

(3) 奇偶性 , D x 

 _且有  x  D,

若 f (x)  f (x), _{则称 f (x) 为偶函数} 若 f (x)   f (x);,_{则称 f (x) 为奇函数} 说明 : .

若

) (x

f _{在 x = 0 有定} 义 , f (0)  0. )

(x

f _{为奇函数时 ,}

x y

O x

 x

则当 必有

例如 ,

2 e ) e

(x ^{x x}

f

y    ^

x

 ch

偶函数

x y

O

ex

x

e

x y  ch 双曲余弦

记

又如

, 奇函数

x

 sh _双曲正弦

记

再如 ,

x y x

ch

 sh _奇函数

x

 th _双曲正切

记

说明 : 给定 f (x), x (l, l)

则 2

) (

) ( 2

) (

) ) (

( f x f x f x f x

x

f      

偶函数 奇函数

O y

x 1

1

x y  th

x y

O ex

x

e y  sh x

2 e ) e

(x ^{x x}

f

y    ^

x x

x x







 

e e

e e

(4) 周期性

, 0 ,  



 x D l _且 x  l  D, )

( )

( x l f x

f  

则称 f (x)_{为周期函数} ,

π π x

 ^O

π

2 π

y

 2

若

称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).

周期为  周期为 ²_^π 注 : 周期函数不一定存在最小正周期

例如. , 常量函数f (x)  C

狄利克雷函数 f (x)  ^{x 为有理数}

x 为无理数

, 1

, 0

t

) (t f

^π

^π 2

^π

 2  _^{π O}

3. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质

若函数 f : D  f (D) _为单射 , 则存在一新映射

习惯上 , y  f (x), x  D _{的反函数记成} )

( ,

)

1(x x f D f

y  ^ 

称此映射 f ^1_{为 f 的反函数 .}

, 其反函

数 ( 减 ) ( 减 )

1) y ＝ f (x) 单调递

增

, )

1(x 存在 f

y  ^ 且也单调递增

性质 :

, )

(

1 : f D D

f ^  使 y  f (D), f ^1(y)  x, _其中f (x)  y,

2) 函数y  f (x) _{与其反函数} )

1(x f

y  ^ _{的图形关于直线} x

y  _{对称 .} 例如 ,

) ,

( ,

e    

 x

y ^x

对数函数 y  ln x , x ( 0,  ) ^{互为反函数 ,} 它们都单调递增 , 其图形关于直线 y  x _{对称 .}

指数函数

x y

O

) (x f y 

)

1(x f

y  ^

x y  )

, (b a Q

) , (a b P

Rg

(2) 复合函数

Df

u u

f

y  ( ), 

, ),

(x x D

g

u   且 R_g  D _f 则 y  f [g(x)] , x  D

设有函数链

称为由① , ② 确定的复合函数 ,

①

②

u 称为中间变量 . 注意 : 构成复合函数的条件 R_g  D _f 不可少 .

例如 , 函数链

: y  arcsinu , ^{u  cos x,}

, cos arcsin x

y 

x  R

但可定义复合函数 1 x2

u   时 , 虽不能在自然域 R 下构成复合函数 , 可定义复合函数

] 1 , 1 [ ,

) 1

arcsin(  ²  

 x x

y 当改

D g

D f

f y

x u

两个以上函数也可构成复合函数 .例如 , 0

, 

 u u y

可定义复合函数 : 2 , cot x

y  x (2k π , (2k 1) π ], k Z

2 0 cot 2 ,

π π

π  2   x 

x k

k 时

) ,

2 ,

1 ,

0 (

π ,

cot     

 v v k k u

) ,

(

2,    

 x x v

约定 : 为简单计 , 书写复合函数时不一定写出其定义域 , 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件 .

4. 初等函数

(1) 基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

(2) 初等函数

由常数及基本初等函数

否则称为非初等函数 .

例如 , y  x² ,



 

y x , x  0 0

, 

 x x

并可用一个式子表示的函数 ,

经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 .

可表为 故为初等函数 .

又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .

( 自学 , P17 – P20 )

非初等函数举例 : 符号函数



 x y sgn

当

x > 0

, 1

当

x = 0

, 0

当

x < 0

,

1 ^x

y O

1

1 取整函数

] [x

y   n , _当 n  x  n 1, n Z

x y

O 4

1

 2

3 1 2

设函数 , 1 ,

1 ,

1 ) 3

( 





 

x x

x x x

f



  )]

( [ f x

f ^{3 f (x) 1, f (x)  1}

x 换为 f (x)

1 )

( ,

)

(x f x 

f

 0 x



0 ,

4

9x  x 

1 )

1 3

(

3 x  

1 0

, 1

3x   x 

1

, x 

x 例 5

. ^{求 f [ f (x)].}

解 :

例 6. 求y  _{的反函数及其定义域 .} 解 :_当 1 x  0 _时 ,y  x²

则 x   y , y (0,1] 1

0  x 

当 时 ,y  ln x

则 x  e ^y , y ( , 0] 2

1 x 

当 时 ,y  2e^x1

则 x 1 ln ₂^y , y ( 2, 2e] 反函数 y   x , x (0,1]

] 0 , (

,

e^x x   

] e 2 , 2 ( ,

ln

1 ^x x 

定义域为

] e 2 , 2 ( ]

1 ,

(  

2 1

, e

2

1 0

,

ln

0 1

,

1 2







 





 x

x x

x x

x

2

1 2 e

2

1

1

, ] 1 , 0

(

, ] 0 , ( 



, ] e 2 , 2

(

y

O ^x

内容小结

1. 集合及映射的概念

定义域 对应规律 3. 函数的特性 有界性 , 单调性 ,

奇偶性 , 周期性 4. 初等函数的结构

作业

P21 4

(5),(8) ,(10);

6; 8; 9;

13

;

16; 17; 18

2. 函数的定义及函数的二要素

且

备用题

0 )

0

( 

f a f (x)  b f (¹_x)  ^c_x , ,

b

a  _证明 f (x)

证 : 令t  ¹_x , _则 ^{x  1}_t ^, a f (¹_t )  b f (t)  ct

由 ^x

x c

f b x

f

a ( )  ( ¹ ) 

x c x

f b f

a ( ¹_x )  ( )  消去 f (¹_x), _得

 

^{( 0)}

)

( _{2 2}  

  x

x x a

a b b

x c f

), ( )

( x f x

f   

显然 又 f (0)  0, 故 f (x)

 0

x _{时 其中}

a, b, c 为常数 , 且 为奇函数 .

为奇函数 . 1. 设

2 . 设函数 y  f (x) , x ( ,  ) _的图形与 x  a , 均对称 , 求证 y  f (x) _{是周期函数 .}

) (a b b

y  

证 : 由



 ) (a x f

) (x

f _{的对称性知} ), (a x

f  f (b  x)  f (b  x) 于是 f (x)  ^f



^{a  (x  a)}





^{a (x a)}



f  

  f (2a  x)



^{b (2a x b)}



f   





^{b (2a x b)}



f   





^{x 2(b a)}



f  



故 f (x)_{是周期函数 , 周期为} T  2(b  a)