第七节 无穷小的比较

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第一章

, 0

时



x 3 x, x² , sin x

_{都是无穷小}

,

第七节

引例

.

x x

xlim 3²

0  0,

0 2

lim sin x

x

x  ,

x x

x 3

lim sin

0 , 3

 1

但

可见无穷小趋于

0

的速度是多样的

.

无穷小的比较

, 0 lim _k  C 





定义

.

, 0 lim 



若  则称



_是比



高阶的无穷小

,



 o(



)

, lim  



若 

若

若

, 1 lim 



若 





~





~ ,

0 lim  C 





或



 ,

设 是自变量同一变化过程中的无穷小

,

记作 则称



_是比



低阶的无穷小

;

则称



_是



的同阶无穷小

;

则称



_是关于



_的

k

阶无穷 小

;

则称



_是



的等价无穷小

,

记作

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例如

,

当

) (

 o

～

 0

x

_时

x3 6x² ; sin x x ; tan x

～

^x

x

arcsin

～

^x

0 2

cos lim1

x

x

x





2 2 0

sin lim 2 ^x

x



又如 ，

2 2) (

4 ^x 2

 1

故

x  0

_时

1 cos x

是关于

x

的二阶无穷小

x ,

cos

1

～

¹₂ x²

且

例

1.

证明

:

当

x  0

时 ,

ⁿ 1 x 1

～

¹_n ^{x .}

证

:

lim0 x

1 1 

n x

n x

1

lim0

  x



ⁿ 1 x



ⁿ 1

n x

1

 

^{n 1 x}



^{n1 }



^{n 1 x}



^{n2 }_^1



, 0

时 当 



x ⁿ _{1 x 1}

～

¹_n ^x



 ⁿ

n b

a (a  b) (a^n1  a^n2b  b^n1)

1

 x

分子

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例

2.

证明

: e^x 1 ~ x.

证

:

令

y  e^x 1,

令

x  ln(1 y),

令

x  0

令

, y  0,

0

lim e^x 1

x^ x



) 1

lim ln(

0 y

y

y 

 

y y

y ln(1 ) ¹ lim 1

0 

  ln e

 1  1

x 1 ~ x e 

x x) ~ 1

ln( 

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因此

即有等价关系

:

说明

:

上述证明过程也给出了等价关系

:

) 1

ln(

lim ₁ 1

0 _y y

y 

 

～

～

定理

1.

  





 o(



)

证

:



lim 1





, 0 )

1 lim(  



 lim   0





即 

, ) (







  o

_即 





 o(



)

例如

, x  0

时

, sin x

～

x, ^{tan x}

～

^x,

^故

, 0

时



x sin x  x  o(x), tan x  x  o(x)



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定理

2 .

设 

~



^,



^~



^,

且







lim 

_存在

_,

_则



lim









 lim 

证

:



lim







 





 



lim















^





 lim 





 lim 





^

lim







 lim 

例如

,

x x

x sin 5 2 lim tan

0 x

x

x 5

lim 2

0

 5

 2

设对同一变化过程

,  , 

_为无穷小

,

说明

:

无穷小的性质

,

(1)

和差取大规则

:

由等价 可得简化某些极限运算的下述规则

.

若

 = o() ,

(2)

和差代替规则

:

若 

~



^,



~



^

且  与  不等价

, ,

~

 





   ^

则

例如

,

x x

x

x 3

lim sin₃

0 

 x

x

xlim 3

0

 3

 1







 ~

则

. lim

lim













  ^

 

且

！ 时此结论未必成立 注意 

~



例如

,

1 1

sin 2

lim tan

0  



 x

x x

x x

x x

x 0 12

lim 2 

   2

(

见下页例

3)

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(3)

因式代替规则

:

若 

~



,

且 

(x)

极限存在或有

界

,

则

lim

 

(x)  lim

 

(x)

例如

,

sin . lim tan ₃

0 x

x x

x





0 3

lim x x x

x

 

原式



0 3

) cos 1

( lim tan

x

x x

x

 



2

 1

3 2 21

lim0

x x x

x

 



例

3.

求

1 0 sin 1 lim

sin arcsin

lim0   0  



 x x

x x

x x

解

:

原式

2 13 x

2 12 x



例

4.

求

.

1 cos

1 )

1

lim ( ³

2 1

0 





 x

x

x

解

:

当

x  0

时

,

~ 1 )

1

(  x^{2 13}  ² 3 1 x

~ 1

cos x  ²

2 1 x



lim0

 



原式

x

3

 2



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例

5.

证明

:

当

x  0^

时 ,

^{~ .}

1

ln 1 x

x x





证

:

利用和差代替与取大规则 ^说明 时，

当

x  0^

) 1

ln(

) 1

1 ln(

ln 1 x x

x

x    





) (

~ x   x x

~

) (

~ )) (

1 ln(

) 1

ln(  x    x  x

不等价 与

ln(1 )

) 1

ln(  x  x

x x) ~ 1

ln( 

内容小结

 0



  lim 

, 0

 ,

, ) 0 ( C

, 1

, 0 lim _k  C 





1.

无穷小的比较

设

 , 

对同一自变量的变化过程为无穷小

,

且



_是



_{的高阶无穷小}



_是



_{的低阶无穷小}



_是



_{的同阶无穷小}



_是



_{的等价无穷小}



_是



_的

k

阶无穷小

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2.

等价无穷小替换定理

, 0

时 当

x



~

sin x x , tan x ~ x , arcsin x ~ x ,

~ cos

1 x ¹₂ x², ⁿ 1 x 1~ ¹_n x,

思考与练习

Th 2

P59

题

1 , 2

作业

P59 3 ; 4

(2) , (3) , (4)

; 5

⁽³⁾

常用等价无穷小

:

第八节

~ ) 1

ln(  x

~ 1

e^x  x, x