計算機概論 Computer Concepts

CK6126 康秩群. 計算機概論 Computer Concepts - Advanced Digital Logic. Advanced Digital Logic 進階數位邏輯 標準形式與代數化簡 布林代數可以用來設計所有的數位邏輯電路，但將一個非常複雜的布林函數，轉換成邏 輯電路時，勢必產生結構非常複雜的線路。因此學會如何將布林代數式化簡是非常重要的。 一、標準形式 在布林代數的函數式中最標準也最常用的表示式，就是「積之和」 （Sum of Product , SOP） 以及「和之積」（Product of Sum , POS）兩種形式。其中又以 SOP form 較常見。 1.積之和(SOP form) 「積之和」 ，顧名思義就是把所有的變數先「AND」起 來，再以「OR」連接。舉個例子： F = XYZ + X'YZ' 此函數由 XYZ、X'YZ'分別先 AND，再把二者 OR 起 來，所以稱為 SOP form。繪成邏輯閘形式如圖.3-4。. 2.和之積(POS form) 「和之積」，顧名思義就是把所有的變數先「OR」 起來，再以「AND」連接。舉個例子： F = (X+Y) (X+Y’) 此函數把所有單一的變數都先 OR 起來，再全部 AND 起來，故稱為 POS form。繪成邏輯閘形式就圖.3-5。. 3. 化成標準形式的好處. 標準形式布林函數屬於「雙階層執行電路」，即只經過兩層，如此可統一邏輯閘延遲時間。. 二、代數化簡 在一個看起來很冗長的布林代數式中，經常可以消除一些不必考慮的項或變數，而在化 簡後邏輯結果不變，如：. A=BC+BC’. 在這個布林代數式中不論 C 為 0 或 1 都不會影響最後的結果，因此可以把式子化簡成： A=B 如此不但看起來清楚明瞭，在執行的時候也能更有效率、更節省資源。 代數化簡最基本的方法就是利用布林代數的基本性質，例如結合、交換、分配律及迪摩 根定理等。但是這類的化簡方式並不容易，必頇有足夠的經驗判斷哪裡頇補項及如何化簡。 練習題： 1. 假設 X、Y、Z 為三個布林變數（其值均為 0 或 1） ，下面 A、B、C、D 四個布林運算式中，哪一 項與其它項不等值（具有不同的真值表）？. 【95 北市】. (A) Y or (X xor Y xor Z). (B) Y or (X and not Z) or (not X and Z). (C) (X xor Z) or (Y and not Z) or (Y and Z). (D) (X xor not Y) or (Y xor not Z). 答案：1.(D) 97 建中資訊科校內培訓講義-計算機概論-8.

CK6126 康秩群. 卡諾夫圖 卡諾夫圖是由許多小方格所組成的圖形，n 變數卡諾夫圖中便包含 2n 個小方格。它是一 個非常有效率的化簡方法，主要是利用 A+A'=1 的原理將相鄰的兩項消除，快速地得到最簡 的布林代數式（項數最少且每項的變數最少，如此可讓使用的邏輯閘數目最少） 。 代數化簡除了計算上十分不便以外，還缺乏明確的法則去檢驗到底化到最簡了沒。相反 地，使用卡諾夫圖卻可以直接明瞭地化簡，因此成為目前最常用的化簡方法。 （通常用於 4 個 變數以下的化簡） 1.二變數卡諾夫圖 一個變數可能有 0 和 1 兩個值，因此兩個 變數一共有 2 x 2 = 4 種組合，故二變數的的卡 諾夫圖是像圖.3-6(b)那樣一個 2×2 的圖形。 方格外的 0 和 1 代表那一行/列所對應的 變數的值，例如最左邊的 0 代表第一列的兩格 中 x 的值都是 0 (x’)，而 1 代表第二列中 x 的 值都是 1 (x)。 （直行橫列） 若將兩個變數當作兩位的二進位數 字，則四個格子分別對應到 00(0)、01(1)、 10(2)和 11(3)。有沒有覺得看起來很眼熟？ 沒錯！就是 SOP form，當一個布林函數被 化成 SOP 的形式，就可以輕鬆地代入卡諾 夫圖中來化簡。 將一個布林函數以卡諾夫圖的形式來 表示，只要將其轉換成 SOP form，接著在 每一項所對應的空格中填上 1 即可。 例如圖.3-7 中，Fa = xy，只要在右下角 代表 xy 的那項中填 1 即可；Fb = xy’ + xy + x’y 則在第 1、2、3 號格中填入 1。 再來就是化簡（見圖.3-8），進行化簡時 只要記得，以「邊長為 2 的次方的長方形」 盡量畫大餅。像 Fa = xy 其實已是最簡，因為 它可以直接用 1x1 的正方型框起來（雖然圖 上是用圓） 。 而 Fb = xy’ + xy + x’y 可用兩個 2x1 的長 方形（要畫橢圓也可以）分別包住兩格，此時橫向的那組中，x 的值是相同的，而 y 則 有 0 和 1 兩種，因此這組可以簡化為 x（因為不管 y 的値是 0 或 1，都不會影響這個函數 的結果） ；同理，另一組亦可化為 y；最後將每一組+（OR）起來，整個函數就成了： Fb = x + y. 97 建中資訊科校內培訓講義-計算機概論-8.

CK6126 康秩群. 2.三變數卡諾夫圖 三個變數共有 2 x 2 x 2 = 8 種組合，所以三變數卡諾夫圖就有 8 個格子啦！ （如圖.3-9） 為了讓相鄰的兩格被框在一起時能夠被 化簡，它們之間只能有一個變數的值不一樣， 因此最上排代表 y 和 z 的值必頇以 00、01、 11、10 的順序排列。 不管幾個變數的卡諾夫圖，化簡的過程都 差不多：化成 SOP form→在圖中填 1→把全部 的 1 用最少數目的 「邊長為 2 的冪次的長方形」 分別框起來（記得框得越大越好，這樣剩下的變數才會最 少，但不能框到空格）→把每個框框 OR 起來，形成化簡後 的 SOP form。可能有很多種方法都能用最少的框框把全部 的 1 框起來，這是正常的，因為一個函數可能有很多種最 簡形式，但請記得要從最大的框框開始試，就算有些框框 包含部份重複的項也沒關係。 請記得──邊界可以被穿越（有玩過貪食蛇的應該很 容易理解） ，因為 00 和 10 也只相差一個變數。例如圖.3-10 中最右邊那行的兩格可以和 最左邊兩格框在一起，變成 2x2 的大框框，所以 F 可以化簡為： F = z’ + xy’ 而此時 0 + 4 和 2 + 6 等 2x1 小框框就不必框了，因為已經被更大的框框搶先一步。 3.四變數卡諾夫圖 基本上不管多少變數都一樣，只要別忘記框框 可以穿牆，或是明明某一塊的 1 已經全部被框走， 卻硬要加一個框框製造垃圾項，就沒什麼大問題。 關於穿牆的部份，要小心像圖.3-12 這種情況， 這個函數原本是： A’B’C’ + B’CD’ + A’BCD’ + AB’C’ 因為分布在角落，一不注意就有可能會框錯， 圖示的是最佳框法，仔細看，應該會發現兩個 2x2 和一個 1x2 的框框，如此便可化簡為： B’D’ + B‘C’ + A‘CD’ 練習題： 1.設一布林函數 Y = AB+ B'C + C'A'，則 Y 等於？. 【96 北市】. (A) A + A' + B+ B' + C + C'. (B) (A + B)(B + C)(C + A). (C) (A' + B')(B+ C')(C + A). (D) A + B + C. 2.布林函數 F(X, Y, Z)= XYZ + X’YZ + XY’Z + X’YZ’可化簡為？ (A) Z (B) XZ+X’Y (C) YZ+Y’Z’ (D) YZ’+XZ+XY. 【97 軟設】. 答案：1.(C) 2.(B). 97 建中資訊科校內培訓講義-計算機概論-8.

CK6126 康秩群. 組合邏輯 一、組合電路與序向電路 邏輯電路可分為兩種──組合邏輯電路(Combinational Logic)和序向邏輯電路(Sequential Logic)。其差別在於──組合電路的輸出在任何時間都是由當下的輸入組合所決定；序向電 路除了邏輯閘外還有儲存元件，其輸出除了與當時的輸入有關外，還受儲存元件的狀態所影 響，而儲存元件的狀態和先前的輸入有關。 也就是說，組合電路只要管目前的輸入即可，序向電路則牽涉到先前的狀態。 二、基本的組合電路 組合電路包含一或多個輸入變數、邏輯閘組合以及一或多個輸出變數。這些邏輯閘從輸 入端接收訊號後，將其轉換成所需的訊號，由輸出端送出。而每個輸入或輸出變數的值都是 0 或 1，在輸入和輸出間的邏輯閘組合，就使用到先前上了很久的布林代數(終於開始實際應 用了 Orz)。以下介紹幾種基本的組合電路： 1. 加/減法器 電腦要執行許多資料處理的工作，其中最常碰到的是各式各樣的算術運算，而加法， 是一切數學運算的基礎。所謂加法器(Adder)，就是一種讓電腦可以計算加法的組合電 路。其中又分為半加器(Half Adder)和全加器(Full Adder)；利用之前學過的補數，還可以 延伸出減法(新注音跑出「剪髮」= =)的功能。 2. 編碼/解碼器 編碼器(Encoder)是將人類看得懂的訊號編碼成數位邏輯所用的二進位訊號，有 2 n(或 較少)條輸入線及 n 條輸出線，例如將十進位的數字 9 轉換成二進位的 1001。 而解碼器(Decoder)則剛好相反，把二進位訊號還原成人類較習慣的訊號表達方式， 有 n 條輸入線及 2n(或較少)條輸出線，例如將剛才的 1001 還原成 9。 3. 多工/解多工器 多工器(Multiplexer)是一種有多個輸入，一個輸出的資料選擇系統，又叫作「資料選 擇器」(Data Selector)。當一個裝置有可能接收多個不同的來源提供的資料時，往往會使 用到多工器，通常有 2 n(或較少)條輸入線及 n 條資料選擇線，還有單一的輸出。 既然有多對一的多工器，當然也有一對多的解多工器(Demultiplexer)。基本上，解多 工器和解碼器幾乎是一模一樣的東西，只不過解多工器多了一條訊號線，再將解碼器當 作資料選擇線，來決定要從哪條線輸出。 4. 比較器 比較器(Comparator)顧名思義就是將兩個東西作比較，並輸出我們想要的結果，而這 「結果」有三種，分別是 A>B、A=B 和 A<B。此外，如果將許多比較器以適當方式組合， 還可以比較多位元數值的大小。 練習題： 1.具有 n 條輸入線與 1 條輸出線的組合邏輯電路中，可以根據訊號線的指示，讓 n 條輸入線. 中，只有一條訊號從輸出線輸出，具有此功能的電路稱為. 。. 【96 軟設】. 答案：1.多工器 ※我絕對不會說這又是拿社課講義改造出來的. 97 建中資訊科校內培訓講義-計算機概論-8.