高雄市明誠中學高二數學平時測驗

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗       日期：105.10.07  範 

圍  1‐4和、差、倍角  班級  二年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題10分)

1. sin 23 cos112  sin 292 sin 67  ________.

答案： ² 2

解析： 原式sin 23 ( sin 22 )   cos 22 cos 23  cos 22 cos 23 sin 22 sin 23

      cos(22   23 ) cos 45 ²

 2 2. 若tan 2

2

  ，則tan(   45 ) __________, ^{6 sin cos} 3sin 2 cos

 

 

 

 __________.

答案： ¹, ⁷ 7 6



解析： tan tan(2 ) 2

   2 2 1 4

 



4

 3 1 ( 4) tan( 45 ) 3

1 1 ( 4) 3

    ^{ }

  

1 3 7 3

 ¹

 7

sin 4

6 1 6( ) 1

6 sin cos cos 6 tan 1 3

sin 4

3sin 2 cos 3 tan 2

3 2 3( ) 2

cos 3

   

   



  

 

  

    

24 3 12 6

 

 

21 18

 

 7

 6

3. 若45    90 ，且sin(180 2 ) ¹

 4

    ，則sin(90 )cos(270 )_________.

答案： ³

 2

解析： sin(180 2 ) sin 2 ¹

  4

      1

sin 2 2 sin cos

 4  

  

又sin(90 )cos(270 )cossin

(cossin ) 2 cos² 2 sin cos  sin² 1 1 4

  3

 4 cos sin 3

  2

   

又45     90 sin cos cos sin ³

  2

   

4. 若tan ^{1 tan} 1 tan

 



 

 ，則tan 2 __________.

答案： 1

解析： tantan²  1 tan tan2 2 tan 1 0

   

2 tan 1 tan2

  

2

2 tan 1 tan 1



  

 tan 2 1

5. ABC中，tanB1,tanC2,AC10，則BC__________.

答案： 6 5

解析： tanB    1 B 45

tanAtan[180 (BC)] tan tan tan( )

1 tan tan

B C

B C

B C

     



1 2 1 1 2

  

  3 3

sinA 10

 

設BCa 10

3 2

10 2

 a   a 6 5(正弦定理)

6. sin16 cos 316  sin 224 cos 344  ________.

答案： ³ 2

解析： 原式sin16 sin 46   ( sin 44 ) sin 74  sin16 cos 44 cos16 sin 44

     sin 60 ³

 2

7. 如圖ABED及BCFE皆為正方形，則^tan



^EAF



^________

答案： ¹ 3

解析： 設DAF  tan 2

則tan( ) tan( 45 ) ^{tan tan 45 tan 1 2 1 1} 1+ tan tan 45 1 tan 1 2 3

EAF   

 

   

       

  

8. 若135   180,135   180，且sin( ) ³

   5,sin( 45 ) ¹²

   13，則cos(  45 ) _____.

答案： ⁵⁶

65

解析： 270     360， cos( ) ⁴

  5

  

又90     45 135， cos( 45 ) ⁵

 13^

   

故cos(   45 ) cos[(  ) (   45 )] 4 5 3 12

( ) ( )

5 13 5 13

      56

 65 9. 已知a2sin 20 cos 20,b2 cos 22.5²  1, ^{2 tan 35}₂

1 tan 35

c 

 ，則此三數的大小關係為 . 答案： a b c

解析： asin 40,bcos 45,ctan 70，  a b c 10. 若  , , 為銳角，且tan ¹, tan ¹, tan ¹

8 5 2

      ，則    __________.

答案： 45

解析：

1 1 13

8 5 40 1

tan( )

1 1 39 3

1 8 5 40

   ^  

 

；

1 1 5

3 2 6

tan[( ) ] 1

1 1 5

1 3 2 6

    ^  

 

又0    45 ,0   45,0   45     0    135       45 11. 若 , 為銳角，且tan ⁸

 7,tan ¹

 15，則  __________.

答案： 45

解析：

8 1

tan tan 7 15

tan( )

1 tan tan 8 1

1 7 15

 

   

 

  

  

 120 7

105 8

 

 ^1 又 , 均為銳角     45 12. 試求：(1) sin18 ________. (2) cos 36 ________.

答案： (1) ^{5 1} 4

 (2) ^{5 1} 4



解析： (1) sin18

設   18 5   90 3   90 2 sin 3 sin(90 2 )

   

3 2

3sin 4 sin  cos 2 1 2 sin 

    

3 2

4 sin  2 sin  3sin 1 0

     (令xsin)

3 2

4x 2x 3x 1 0

    

一次有理因式檢驗定理(x1)(2x1)(4x1)可能為上式一次有理因式

∴ f(1)0(x1)(4x²2x 1) 0 1, ^{2 4 16} x  2 4

  

1 5

sin sin18 1,

 ^{ }4

    ∴sin18 ^{5 1}

4

   (2) cos 36

36 5 180 3 180 2

   

          cos 3 cos(180 2 ) cos 2

     

3 2

4 cos  3cos (2 cos  1)

    

3 2

4 cos  2 cos  3cos 1 0

     (令ycos)

3 2

4y 2y 3y 1 0,

    

一次有理因式檢驗定理(y 1) (2y 1) (4y1)可能為上式一次有理因式

∴ f( 1) 0(y1)(4y²2y 1) 0 1,^{2 4 16}

y  8

  

1 5

cos cos 36 1, 0

 ^4

      ∴cos 36 ^{5 1} 4

  

13. 若^tan



^{   45}



^{2，則sin 2 ________ .}

答案： ³ 5

解析： tan( 45 ) 2 ^{tan 1} 2 tan 1 2 2 tan tan 3

1 tan 1

    



              

 

2

2 tan 6 3

sin 2

1 tan 1 9 5

 

   

 

14. ^{f x}

 

^{8x36x1除以xcos 320}之餘式為________.

答案： 0

解析： 根據餘式定理 ( ) ( cos 320 )

f x  x  之餘式 x cos 320 cos 40代入

3 3

(cos 40 ) 8 cos 40 6 cos 40 1 2(4 cos 40 3cos 40 ) 1

f           

2 cos120 1 2 ( 1) 1 0

     2  

15. 已知270     360,90     180,cos( ) ⁴

  5,cos( ) ⁴

   5，則

cos 2__________, cos 2 __________.

答案： ⁷ , 1

25 

解析： 已知270     360 , 4 cos( )

   5 3

sin( )

   5 又90     180, cos( ) ⁴

    5 3 sin( )

  5

cos 2 cos[(  )(  )]

cos(  ) cos(  ) sin(   ) sin(  ) ⁴( ⁴) ( ^{3 3})

5 5 5 5

    7

25

  cos 2 cos[(  ) (   )]

cos(  ) cos(  ) sin(   ) sin(  ) ⁴( ⁴) ( ^{3 3})

5 5 5 5

    7

25

  4 4 3 3

( ) ( )

5 5 5 5

     1 16. 坐標平面上，O表原點，A(3, 4) ,B(5,12)，則

(1) cosAOB________. (2) sinAOB________.

答案： (1)⁶³ 65(2)¹⁶

65

解析： ∵sin ⁴, cos ³,

5 5

  ^   12 5

sin , cos

13 13

   

∴cosAOB cos(  ) 3 5 4 12 ( )

5 13 5 13

     63

65 sinAOBsin(  ) 4 5 3 12

( )

5 13 5 13

     16

65 17. tan 36 tan 24  3 tan 36 tan 24  __________.

答案： 3

解析： tan(36 24 ) ^{tan 36 tan 24} 1 tan 36 tan 24

  

   

  



tan 36 tan 24

tan 60 3 3

1 tan 36 tan 24

  

    

  

 3 3 tan 36 tan 24  tan 36 tan 24  3 tan 36 tan 24  tan 36 tan 24  3 18. 若 , 均為銳角，且cos ¹

 7,cos( ) ¹¹

   14，則 ________.

答案： 60

1 4 3

cos sin

7 7

     解析： 為銳角，

 , 均為銳角0             90 , 0  90 0   180

11 5 3

cos( ) sin( )

14 14

       

cos cos[(  )] 11 1 5 3 4 3

( )

14 7 14 7

     1

2   60 19. 若tan 3

2

 _

，則cos 2sin 2 ________.

答案： ¹⁷ 25



解析：

2

2 tan tan 2

1 tan 2



 ^ _  ^_{1 9}^{2 3}_^{  3}₄

cos 2 sin 2

  1 tan²₂ 2 tan₂

1 tan 1 tan

 

 

  

 

2

2

3 3

1 ( ) 2 ( )

4 4

1 ( 3) 4

    



 

17 25



20. 若2sin 3cos，則sin 2 ________ . 答案： ¹²

13

解析： 2 sin 3cos tan ³

      2 2 tan₂ 3 3 12

sin 2

9 13

1 tan 1 13

4 4

 

    

 

21. 已知tan110 a，則tan 50 __________.

答案： 3

1 3

a a





解析： tan 50 tan(110  60 ) tan 60 1 tan 60

a a

 

   

3

1 3

a a

 

 22. 若 , 為銳角，且tan 2,tan ¹

  2，則  __________.

答案： 90

解析：

1 5

2 2 2

tan( )

1 0

1 2 2

   ^ 

  分母為0(無意義)，又0     180     90 23. 設270   360，若sin cos ¹

  5，則(1)sin 2 ________. (2)cos ________ . 答案： (1) ²⁴

25(2)⁴ 5

解析： (1)sin cos ¹ 1 2 sin cos ¹ sin 2 ²⁴

5 25 25

            (2)



^{cos sin}



² 1 2 sin cos 1 ( ²⁴) ⁴⁹

25 25

          cos sin ⁷

  5

    （負不合, cos 0, sin 0） 又cos sin ¹ cos ⁴

5 5

     

24. cos 24 cos 48 cos 96 cos192    ________.

答案： ¹ 16

解析： 令acos 24 cos 48 cos 96 cos192   

sin 24 a sin 24 cos 24 cos 48 cos 96 cos192

       

1sin 48 cos 48 cos 96 cos192 2

1sin 96 cos 96 cos192 4

1sin192 cos192 8

    

   

  

1 1

sin 384 sin 24

16 16

   

a 16

 

25. 試求：(1) sin15 ________. (2) cos105 ________. (3) tan 75 ________.

答案： (1) ^{6 2} 4

 (2) ^{2 6} 4

 (3) 2 3

解析： (1)sin15 sin(45  30 )sin 45 cos 30  cos 45 sin 30  ^{2 3 2 1}

2 2 2 2

    6 2

4

  (2)cos105 cos(60  45 ) cos 60 cos 45  sin 60 sin 45  ^{1 2 3 2}

2 2 2 2

    2 6

4

 

(3)tan 75 tan(45  30 ) tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30

  

   

1 3 3 1 3

3

 



2 3

 

26. 若 , 均為銳角，且cos ⁵, cos ¹⁰

5 10

    ，

則(1)sin(  )________. (2)cos(  )________. (3)  ________.

答案： (1) ²

2 (2) ²

 2 (3)135

解析： sin ^{2 5}

  5 sin 3 10

  10

2 5 10 5 3 10 sin( )

5 10 5 10

      25 2 2

50 2

 

5 10 2 5 3 10 cos( )

5 10 5 10

      5 2 30 2 50

  25 2 2

50 2

   

∵0^  90 , 0^    90^，∴0^    180^, ∴  135^

27. 若cos( ) ⁴

   5,cos( ) ⁴

  5，  在第二象限，  在第四象限，則cos 2cos 2  ________.

答案： ⁷ 25

解析： sin( ) ³

  5,sin( ) ³

   5

cos 2 cos[(  )(  )] 4 4 3 3 ( ) ( )

5 5 5 5

      7 25

  cos 2 cos[(  ) (   )] 4 4 3 3

( ) ( )

5 5 5 5

     1

∴cos 2 cos 2 ⁷

  25

28. 若180   270，且cos ³

  5，則cos cos 45  sin sin 45  _______.

答案： ² 10

解析： cos cos 45  sin sin 45  ^{3 2} ( ⁴) ²

5 2 5 2

      2

 10

29. 設x² px q 0之兩根為sin, cos，則2 sin² (cos sin )²

2 2 2

  _  _

________.

答案： 1 p q

解析： ∵sincos  p sin cos  q

2 2

2 sin (cos sin )

2 2 2

  _ 

2 2

2 sin

(1 co cos

s ) (co 2

s 2 sin )

2 2

 

  

    

(1 cos )(1 sin)

  

1 (sin cos ) sin cos  

       1 ( p) q  1 p q