112年度基本學力測驗數學(A)科試題解答

第壹部分、選擇（填）題（占　85　分）

一、單選題（占　30　分）

說 　 　 　題 　 　 　題 　 5　分 明：第 至第 ，每題 。

若在計算器中鍵入某正整數　N，接著連按「

√

」鍵　(取正平方根)　3　次，視窗顯示得到答案 為　2，則　N　等於下列哪一個選項？

　　 2³　 2⁴　 2⁶　 2⁸　 2¹²

　 ：　 　　　

　　　　：

√ √ √ ^N

＝ ((N

1 2)

1 2)

1

2 ＝ N

1

8 ＝2

∴N＝2⁸

故 　 選

坐 　 O　為 1　為 標平面上，以原點 圓心、 半徑作圓，分別交坐標軸正向

於　 A、B　兩 　 C　作 點。在第一象限的圓弧上取一點 圓的切線分別交兩

軸 　 D、E， OEC＝θ， 　 tan　 θ　 於點 如圖所示。令∠ 試選出為

的 選項。

　

OE

　

OC

　

OD

　

CE

　

CD

　 ：　 　　　

　 ： OCE＝ OCD＝90^°， DOC＝ OEC ＝θ 　　　 可知∠ ∠ ∠ ∠

又

OA

＝

OB

＝

OC

＝1

　　╳：

OC

OE

_{＝sin　θ，}

OE

_＝

OC sin θ

_＝

1 sinθ 　　╳：

OC

_＝1

　　╳：

OC

OD

_{＝cos　θ，}

OD

_＝

OC cos θ

_＝

1 cosθ 　　╳：

OC

CE

_{＝tan　θ，}

CE

_＝

OC tan θ

_＝

1 tanθ

　　○：

CD

OC

_{＝tan　θ，}

CD

_＝

OC

_{tan　θ＝tan　θ}

故 　 選

某 　 s，t　 生推導出兩物理量

應 　 15 　 滿足一等式。為了驗證其理論，他做了實驗得到

筆 　 (sk , tk)，k＝1，… ，15 。 建 　 兩物理量的數據 … 老師 議他將其中的

tk　先 　 (sk , logtk)，k＝1， 取對數，在坐標平面上標出對應的點

… ，15 …

， 如 圖 所 示

； 其 中 第 一

個 　 數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得

s，t　的 關係式最可能為下列哪一選項？

　　 s＝2t 　　 s＝3t 　　 t ＝10^s 　　 t²＝10^s　 t³＝10^s

　 ：　 　　　

　　　　：點　(sk , logtk)　約略落在　y＝

1 2 _x　上 即　log　t＝

1 2 _s

由對數的定義，t＝ 10

1 2s

，即　t²＝10^s

故 　 選

將 　 1、2、3、… 、9　等　 9　個 (數 )， 　 5　 數字 … 數字排成九位數 字不得重複 使得前

位 　 5　位 從左至右遞增、且後 從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？

　

8!

4 ! 4 !



8 !

5 ! 3 !



9 !

5 ! 4 !



8!

5 !



9!

5 !

　 ：　 　　　

　 ： 　 5　位 　 5　位 　　　 ∵前 從左而右遞增，後 從左而右遞減

∴第　 5　位 　 9 必為

其 　 8　個 　 8　位 他 數字先排入剩下

但 　 4　位 (由 )， 前 只有一種排列 小到大

後　 4　位 (由 ) 也只有一種排列 大到小

∴共有

8!

4 ! 4 !

_{個滿足條件的九位數}

故 　 選

已知坐標空間中　P、Q、R　為平面　2x－3y＋5z＝

√ ⁷

上不共線三點。

令

PQ ⃑

＝(a1 , b1 , c1)，

PR ⃑

＝(a2 , b2 , c2)。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。

　　

|

－ 1 1 1 a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|



|

1 － 1 1 a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|



|

1 1 － 1 a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|

　　

|

－ 1 － 1 1 a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|

　　

|

－ 1 － 1 － 1 a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|

　 ：　 　　　

　　　　：

n ⃑

＝(2 ,－3 , 5)　為平面　2x－3y＋5z＝

√ ⁷

之法向量

|

x y z

a

₁

b

₁

c

₁

a

₂

b

₂

c

₂

|

的絕對值代表由

PQ ⃑

，

PR ⃑

，

u ⃑

＝(x , y , z)　所張成之平行六面體體積為　

|

PQ ⃑

×

PR ⃑

|　×h 其中　h＝

u ⃑

在

n ⃑

上之正射影長

112　學測　試題分析

＝|

u ⃑

|　×　|　cos　θ　|

＝|

u ⃑

|　×

| u ⃑

． n ⃑

|

| u ⃑

|| n ⃑

|

_＝

| u ⃑

． n ⃑

|

| n ⃑

|

當　|

u ⃑

．

n ⃑

|　愈大時，則　h　愈大，可得平行六面體的體積愈大 　　|

u ⃑

．

n ⃑

|＝|　(－1 , 1 , 1)．(2 ,－3 , 5)　|＝0 　　|

u ⃑

．

n ⃑

|＝|　(1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5)　|＝10 　　|

u ⃑

．

n ⃑

|＝|　(1 , 1 ,－1)．(2 ,－3 , 5)　|＝6 　　|

u ⃑

．

n ⃑

|＝|　(－1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5)　|＝6 　　|

u ⃑

．

n ⃑

|＝|　(－1 ,－1 ,－1)．(2 ,－3 , 5)　|＝4

故 　 選

坐 　 1　的 　 O。 　 O　以 標空間中，考慮邊長為 正立方體，固定一頂點 從 外的七個頂點隨機選取相

異兩點，設此兩點為　P、Q，試問所得的內積

OP ⃑

．

OQ ⃑

之期望值為下列哪一個選項？

　 4

7 

5

7 

6

7 ₁

8 7

　 ：　 　　　

　　　　：向量有　3　種長度，長度為　1　有　3　個：

OA ⃑

，

OC ⃑

，

OG ⃑

長度為

√ ²

有　3　個：

OB ⃑

，

OD ⃑

，

OF ⃑

長度為

√ ³

有　1　個：

OE ⃑

所 C₂⁷ 求內積總共有

＝21 　種 ，有以下情形

　

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝0　

① 長 　 1　的 　 2　個 度為 向量任選

② 長

√ ²

_{的 　 1　個 　 1　的} 度為 _{向量任選 ，再找長度為 向量}

共有 C₂³ ＋ C₁³ _{×1＝6　種} 　

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝1　

① 長

√ ²

_{的 　 1　個 　 1　的} 度為 _{向量任選 ，再找長度為 向量}

② 長

√ ²

_{的 　 2　個} 度為 _向量任選

③ 長 　 1　的 　 1　個

√ ³

^的 度為 向量任選 ，再找長度為 ^向量

共有 C₂³ × C₁² _＋ C₂³ ＋ C₁³ _× C₁¹ _＝12　種 　

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝2　

長

√ ²

_{的 　 1　個}

√ ³

_的 度為 _{向量任選 ，再找長度為 向量}

共有 C₁³ _× C₁¹ _＝3　種 所求期望值為　0×

6

21 _＋1×

12

21 _＋2×

3 21 _＝

18 21 _＝

6 7

故 　 選

〈 另解〉

設　 O(0 , 0 , 0) ，A(1 , 0 , 0)，C(0 , 1 , 0)， G(0 , 0 , 1)

向 　 3　類 Ⅰ： (1 , 0 , 0) ，(0 , 1 , 0) ，(0 , 0 , 1) 量分為 ：

Ⅱ：(1 , 1 , 0) ，(0 , 1 , 1) ，(1 , 0 , 1)

Ⅲ：(1 , 1 , 1)

內 積有以下情形：

　Ⅰ＋Ⅰ：

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝0，如　(1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 0)＝0，有 C₂³ ＝3　種 　Ⅰ＋Ⅱ：

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝1　或　0，如　(1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 0)＝(1 , 0 , 0)．(1 , 0 , 1)＝1　或　(1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 1)＝0

有 C₁³ _× C₁² _＋ C₁³ _× C₁¹ _＝9　種

1　 　　 0 　　　

　Ⅰ＋Ⅲ：

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝1，如　(1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 1)＝1，有 C₁³ _× C₁¹ _＝3 種

　Ⅱ＋Ⅱ：

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝1 有 C₂³ ＝3　種 　Ⅱ＋Ⅲ：

OP ⃑

．

OQ ⃑

＝2，如　(1 , 1 , 0)．(1 , 1 , 1)＝2 有 C₁³

× C₁¹

＝3　種

所求期望值為　0×

(

21^C23＋C₁³C₁¹

21

)

_＋1×

(

21^C13C12＋C₁³C₁¹ 21 ＋C₂³

21

)

_{＋2× 21}^C13C11 _＝

6 7

故 　 選

二、多選題(占　30　分)

說 　 　 　題 　 　 　題 　 5　分 明：第 至第 ，每題 。

某 新進員工 ，兩 人同 時間入 公司有甲、乙兩

職 起薪 相 。公司 甲、乙兩 員工調薪 的方式如下： 且 同 承諾給

甲 工 ：

作

滿 月 月開始月薪 加 ； 月 調薪 。 以 皆 後 依 再每滿 　 3　個 ，下 增 　 200　元 　 3　個 此方式 個

乙 工 ：

作 月 月開始月薪 加 ； 月 調薪 。 滿 以 皆 後 依 再每滿 　 12 　個 ，下 增 　 1000　元 　 12 　個 此方式 個

根 敘述 ，試選出正 據以上

確 的選項。

　甲

工 月 月 月薪比 月 月薪 增 作滿 　 8　個 後， 　 9　個 的 第　 1　個 的 加　 600　元 第

　工

作 月 乙的 月薪高 滿 一 年後，第 　 13 　個 甲的 月薪比

　工

作 月 月 乙的 月薪高 滿 　 18 　個 後， 　 19 　個 甲的 月薪比 第

　　　 　　　

　工

作 月 領 乙總共 到的 薪水少 滿 　 18 　個 時， 到的 薪水比 領 甲 總 共

　工

作 月 有 月 乙的 月薪高 滿 兩 年後，在第 　 3　年 　 12 　個 中， 恰 　 3　個 甲的 月薪比 的

　 ：　　 　　　

　 ： 　　　

　　╳ 　 9　個 ：第

月 月薪比 月 月薪 增 的 第　 1　個 的 加　 200×2＝400　元

　　╳ k＋200×4＝k＋800　元 ：甲：

，

乙 k＋1000×1＝k＋1000 　元 ：

∴第　 13 　個

月 乙的 月薪低 甲的 月薪比

　　○ k＋200×6＝k＋1200　元 ：甲：

，

乙 k＋1000×1＝k＋1000 　元 ：

∴第　 19 　個

月 乙的 月薪高 甲的 月薪比

　　╳ 除 ：考慮

了 工 這 月 的 起薪 ， 作 　 18 　個 所增 加 薪水

甲 200×3×5 ＋200×3×4 ＋200×3×3 ＋200×3×2 ＋200×3＝9000　 ：

元

，

乙 1000×3×2＝6000 　元 ：

∴甲 總共

領 乙總共 到的 薪水 多 到的 薪水比 領

　　○ 　 3　年 ：第 乙的

月 薪

比 月 月薪 多 第　 1　個 的 　 2000　元

2000 ＝200×10， 　 31 、32 、33 　個 即第

月 乙的 月薪 相 ，甲 和 同

則 　 3　年 第

恰 月 乙的 月薪高 有　 3　個 甲的 月薪比

故 　　 選

某

抽 單次中 機 為 獨 事 獎 遊 戲 獎 率 　 0.1， 獎與否皆 為 立 件。對每一正整數 　 n， 　 pn　 每次中 令

為

玩 遊戲 中 率 確 此 　 n　次 少 獎　 1　次 。試選出 的選項。 至 的機 正

　　 pn＋ 1 ＞pn

　　 p3＝0.3

　〈pn〉 為等

差 數列

　玩

此 中 且第二次中 的機 率 遊戲 兩次以上 未 獎 獎 等於 　 p2－p1 ， 第 一次

　玩

此 少 獎 率 遊戲 　 n　次 　 n ^¿ 2　時 中 　 2　次 等於 　 2pn 且 ，至 的機

　 ：　　 　　　

　 ：Pn ＝1－P(n　次 　　　

全 不中 獎 )

＝1－(1－0.1)ⁿ

＝1－0.9ⁿ

　　○ Pn ＋ 1＝1－(0.9)^{n＋ 1} ：

Pn ＝1－0.9ⁿ (0.9)

∵ ⁿ ＞(0.9)^{n＋ 1}

∴Pn＋ 1＞ Pn

　　╳ P3 ＝1－(0.9)³＝1－0.729＝0.271≠0.3 ：

　　╳ Pn 〉 ：〈

非 差 等 數列

　　○ 　 A　代 　 1　次 獎 ：設 表第 中

的 件， 的 件 事 B　代 獎 事 表第二次中

P1 　表 獎 示第一次中

的

機 率 ＝ P(A)

P2 　表 玩 示

兩 次

至 中 一次的機 率 少 獎 ＝ P(A∪B)

如 右圖，第一次

未 獎 獎 中 且第二次中 的機 率

＝P(B－A)

＝P(A∪B)－P(A)

＝ P2 －P1

　　╳ ：至

少 獎 率 中 　 2　次 的機

＝1－P(n　次

全 恰 不中 )－P(n　次 中　 1　次 )

＝1－(1－0.1)ⁿ－ C₁ⁿ _(1－0.1)n－1×0.1

＝1－0.9ⁿ－n×0.1×0.9^{n － 1}≠2Pn

故 　　 選

設　 a1，a2，a3，… ，an　是 項為 　 3　且 比 … 首 公

為 ^{數列。 試 選 出滿足不等式}

3 √ ³

^{的 比 等}

log3　 a1－log3　 a2＋log3　 a3－log3　 a4＋… ＋(－1)^{n ＋ 1} 　 log3　 an＞18 …

的 　 n　之 項數 可能選項。

　　 23 　　 24 　　 25 　　 26 　　 27

　 ：　　 　　　

　　　　：an＝3．(

3 √ ³

)^n－1＝3． ³

3(n－1)

2 ＝ 3

3n－1 2

log3　an＝

3n－1 2

得　 Sn＝log3　 a1－log3　 a2＋log3　 a3－log3　 a4＋… ＋(－1)^{n ＋ 1}　 log3　 an …

＝ 1

2 (2－5＋8－11　＋14－17＋……＋(3n－1)(－1)^n＋1)

∵Sn＞18

∴n 　為

奇 數

Þ　Sn＝ 1

2 ×(2＋3＋3＋……＋3)

n－1

2 _個

＝ 1

2 _×

(

^2＋3×n－2¹

)

_＞18

Þ　2＋

3 2 _n－

3

2 _＞36 Þ

3 2 _n＞

71 2 Þ　n＞

71

3 _＝ 232 3 又　 n　為

奇 數

故 　　 選

考 　 L：5y ＋(2k－4)x－10k＝0　 (其 　 k　為 )， 及 慮坐標平面上的直線 中 一實數 以

長 方

形 　

OABC， 　 O(0 , 0)、 A(10 , 0) 、B(10 , 6) 、C(0 , 6)。 　 L　分 　 其頂點坐標為 設 別交直線

OC、 　 AB　於 　 D、E。 直線 點 試選出正

確 的選項。

　當　 k＝4　時 　 L　通 點　 A ，直線 過

　若直線　L　通過點　C，則　L　的斜率為 －5 2

　若 　 D　在 段

OC

上 　 0 ¿ k ¿ 3 點 線 ，則

　若　k＝

1

2 _，則線段 DE 在長方形　OABC　內部(含邊界)

　若線段 DE 在長方形　OABC　內部(含邊界)，則　L　的斜率可能為 3 10

　 ：　　　 　　　

　 ：　　○ k＝4　時 L：5y ＋4x －40 ＝0 　　　 ： ，

∵5 ．0＋4．10 －40 ＝0

∴直 　 L　通 點　 A 線 過

　　╳ C(0 , 6)　代 　 5y ＋(2k－4)x－10k＝0　得 ： 入

30 －10k＝0，k＝3

Þ 　 L：2x ＋5y －30 ＝0

∴mL＝－

2 5

　　○ x＝0　代 　 5y ＋(2k－4)x－10k＝0， 　 y＝ ： 入 得

2k

∴L　和　 y　軸 　 D(0 , 2k) 交於

若　 D　在

OC

上 Þ 　 0 ¿ 2k ¿ 6 Þ 　 0 ¿ k ¿ 3

　　╳ x＝10 　代 　 5y ＋(2k－4)x－10k＝0 ： 入

得　 y＝8－2k

∴L　和

AB

←→ 交於　E(10 , 8－2k) 若　k＝

1

2 _{，E(10 , 7)} Þ DE

不 　 OABC　內 在長方形 部

　　○ 承 　 ：

Þ

0≤8－2k≤6 0≤k≤3

¿

{¿ ¿ ¿

¿ Þ　1 ^¿ k ^¿ 3

mL＝

2k－4

－5 _＝ 3

10 _{，得　k＝}

5

4 _符合　1 ¿ k ^¿ 3

∴mL　的斜率可能為 3 10

故 　　　 選

坐 　 A、B　分 標平面上，設 別表示以原點為中心，

順 針 逆 針旋轉 旋 。設 轉 矩 陣 時 、 時 　 90^°　的 　 C、D　

分 　 x＝y、x＝ y　為 別表示以直線 －

鏡 鏡 矩陣 。試選出正 的選項。 射軸 射 確 的

　　 A、C　將 　 (1 , 0)　映 點

射 同 到 一點

　　 A＝ B －

　　 C＝D^{－ 1} 　　 AB＝CD 　　 AC＝BD

　 ： 意 　　　 根據題

A＝

[ ^cos90 －sin 90

^{∘ ∘}

^{sin 90} cos90

^∘∘

]

_＝

[ － ^{0 1} 1 0 ]

B＝

[ ^{cos90 sin 90}

^∘∘

^{－ cos 90 sin 90}

^{∘ ∘}

]

_＝

[ ^{0 1 0 －1} ]

C＝

[ ^{0 1 1 0} ]

D＝

[ － ⁰ 1 0 ^－1 ]

　　╳：A

[ ^{1 0} ]

_＝^－^{01 0 01 1    }  ＝

[ ^{－ 0 1} ]

C

[ ^{1 0} ]

_＝

[ ^{0 1 1 0} ][ ^{1 0} ]

_＝

[ ^{0 1} ]

　　○：A＝

[ －1 0 ^{0 1} ]

_＝－

[ ^{0 1 0 － 1} ]

_＝－B

　　╳：CD＝

[ ^{0 1 1 0} ][ － ⁰ 1 0 ^{－ 1} ]

_＝^ ^{01 01}

－

－ ＝－I

∴C＝ D^{－ 1} －

　　╳：AB＝

[ － ^{0 1} 1 0 ][ ^{0 1 0 － 1} ]

_＝

[ ^{1 0 0 1} ]

_＝I

承　，CD＝ I －

∴AB≠CD

　　○：AC＝

[ － ⁰ 1 0 ¹ ][ ^{0 1 1 0} ]

_＝

[ ^{1 0 0} － 1 ]

BD＝

[ ^{0 1 0 － 1} ][ － ⁰ 1 0 ^{－ 1} ]

_＝

[ ^{1 0 0} － 1 ]

∴AC ＝BD

故 　　 選

令　 f　 (x) ＝sin　 x＋

√ ³

_{cos　 x， 試選出正}

確 的選項。

　鉛直線　x＝

π

6 為　y＝f　(x)　圖形的對稱軸 　若

鉛 為 軸，則 直線 　 x＝a　和　 x＝b　均 　 y＝f　 (x) 　圖 稱 　 f 　 (a)＝f　 (b) 形的對

　在

區 僅 間　 [0 , 2π) 　中 有一 　 x　滿 　 f　 (x) ＝

√ ³

個 足 實 數

　在區間　[0 , 2π)　中滿足　f　(x)＝

1

2 的所有實數　x　之和不超過　2π 　　y＝f　(x)　的圖形可由　y＝4　sin²

x

2 的圖形經適當(左右、上下)平移得到

　 ：　　 　　　

　　　　：f　(x)＝sin　x＋

√ ³

cos　x＝

2 ( ^{sin x ． 1} 2 ＋ cos x ． √ ³

2 )

＝ 2

(

^sinxcosπ3＋cosxsinπ 3

)

＝ 2sin

(

^x＋π3

)

　　○： f

(

^π6

)

_＝ ^2sin

(

^π6＋π

3

)

_＝2　sin ^π_{2 ＝2　為　f　(x)　之最大值}

∴x＝

π

6 為　y＝f　(x)　圖形的對稱軸 　　╳：當　a＝

π

6 _，b＝

7π

6 _時，

f　 (a)＝2　為　 f　 (x)　之 最大值

f　 (b)＝ 2　為　 f　 (x) 　之 － 最小值

此 　 x＝a　和　 x＝b　均 時

為 軸，但 　 y＝f　 (x)　圖 稱 　 f　 (a)≠f 形的對

(b)

　　╳：f　(x)＝ 2sin

(

^x＋π3

)

_的圖形為

y＝2　sin　x　的圖形向左平移 π

3 _單位而

得，如右圖，

有 　 x　滿 　 f 　 (x) ＝

√ ³

兩個實數 足

　　╳：承　，有兩個實數　x　滿足　f　(x)＝ 1

2 _，

且點　A、B　對稱於　x＝

7π 6

∴和為 7π

6 _×2＝

7π

3 _＞2π

　　○：y＝4　sin² x

2 _＝4×

1 cos 2

－ x

＝－2　cos　x＋2＝ 2sin

(

^x－π2

)

_＋2

＝

2sin 5 2

3 6

x  

  

 

  

 ＋－＋ 

可由　y＝f　(x)　的圖形向右平移 5π

6 單位，再向上　2　單位而得

故 　　 選

三、選填題(占　25　分)

說 　題 　題 　 5　分 　 　 明：第 至第 ，每題 。

某 新開 推出 果汁 、 間 幕 飲 料專賣店

奶

茶 、 飲料 的 杯 咖啡 三種 飲料 ，前 　 3　天 種 銷售 數量 (單 ) 各 位：

與 入總 金額 (單 收 位：

元 如第一 、 咖啡 的 、 )如 例 天果汁 奶茶 、 銷售 量分別為 　 60 　杯 80 　 下表，

杯 　 50 　杯 與

， 入總 金額 為 。 一種 飲料 每 的 相 ，則 咖啡 每 的 已 知 收 　 12900　元 同 天 售價皆 同 杯 售價 為○

○　 元 　　　　　

。

果 汁

(杯)

奶 茶

(杯)

咖 啡

(杯)

收

入 金額 總

(元) 第　 1

天

60 80 50 12900

第　 2 天

30 40 30 6850

第　 3 天

50 70 40 10800

　 ：80 　　　

　 ： 果汁 每 　　　 設

杯 ， 杯 ， 杯 　 x　元 奶茶 每 　 y　元 咖啡 每 　 z　元

Þ

60x＋80y＋50z＝12900 30x＋40y＋30z＝6850 50x＋70y＋40z＝10800

¿

{¿^{¿ ¿¿

¿

Þ

6 8 5 1290

3 4 3 685

5 7 4 1080

x y z

x y z

x y z











＋ ＋ ＋

＋ ＋ ＋

＋ ＋ ＋

①

②

③ 由②×2 －①得　 z＝80

故

咖 每 的 啡 杯 售價 為　 80 　元

設　 a，b　為 (其 　 a＞0)， 　 ax²＋(2a＋b)x－12 　除 實數 中 若多項式

以 　 x²＋(2－a)x－2a 　

所 餘 得

式

為 　 6， 　 (a , b)＝○○○ 　 。 則數對 　　　　　　　　　

　 ：(3 ,－9) 　　　

　 ： 除 　　　 由

法 原

理 可 得

ax²＋(2a＋b)x－12 ＝a〔x²＋(2－a)x－2a 〕

＋ 6

比 係數 較 得

2 2

2 2

12 2 6

a b a a a









＋ ＋ ＋

＋ ＋ ＋ ＋

①

②

由②得　 2a²＝18 ，a＝±　 3　 (負

不 合)

代 ①得　 6＋b＝6－9，b＝ 9 入 －

故 　 (a , b)＝(3 ,－9) 數對

設　O、A、B　為坐標平面上不共線三點，其中向量

OA ⃑

垂直

OB ⃑

。若　C、D　兩點在直線　AB　 上，滿足

OC ⃑

＝ 3 5OA

⃑

＋ 2 5OB

⃑

、3 AD _＝8 BD _，且

OC ⃑

垂直

OD ⃑

，則　

OB OA

_＝

○

^15-1

○

^15-2 。(化為最簡分數)

　 ： 3 　　　

4

　　　　：由

OC ⃑

＝ 3 5OA

⃑

＋ 2 5OB

⃑

可知　C　在 AB _上且

AC

_：

BC

_＝2：3

又　 3 AD _＝8 BD _且

OC ⃑

⊥

OD ⃑

可 　 B　在 AD 上 AD ： BD ＝8：3 知 且

得 AB

： BD

＝5：3

∴

OB ⃑

＝ 3 8OA

⃑

＋ 5 8OD

⃑

Þ

OD ⃑

＝ －3 5OA

⃑

＋ 8 5OB

⃑

又　0＝

OC ⃑

．

OD ⃑

＝

(

³5OA

⃑

＋2 5OB

⃑

)

_．

(

^－35OA

⃑

＋8 5OB

⃑

)

＝ － 9

25 _|

OA ⃑

|²＋ 24

25

OA ⃑

．

OB ⃑

－ 6

25

OA ⃑

．

OB ⃑

＋ 16 25 _|

OB ⃑

|²

＝ － 9

25 _|

OA ⃑

|²＋ 16

25 _|

OB ⃑

|²　(∵

OA ⃑

⊥

OB ⃑

) Þ

9

25 _|

OA ⃑

|²＝ 16

25 _|

OB ⃑

|²

數學　B　考科

Þ

|OB ⃑

|

²

|OA ⃑

|

² _＝

9 16

∴

OB OA

_＝

3 4

〈 另解〉

設　 A(a , 0)，B(0 , b)， 　 a，b＞0 其中

Þ C

(

³5a , 2

5b

)

_， ^B

(

^－35a , 8 5b

)

∵

OC ⃑

⊥

OD ⃑

Þ

OC ⃑

．

OD ⃑

＝0 Þ

(

³5a , 2

5b

)

_．

(

^－35a , 8

5b

)

_＝0

Þ 9

25 _a²_＝ 16 25 _b²

∴

OB OA

_＝

b

a _＝

√

^{169 ＝ 34}

令　 E：x＋z＝2　為 過 坐標空間中

三

點 　 A(2 , －1 , 0) 、B(0 , 1 , 2)、C( －2 , 1 , 4)　

的 　 P　在 　 z＝1　上 　 E　之 平面。另有一點 平面 且其於

投 距離 。則點 影點 與　 A、B、C　三 　 P　 點等

與

平 距 為 為 簡 面 離 最 　 E　的 ○○　 。(化 根式 ) 　　　　　　　

　 ：

2 √ ²

　　　

　 ： 　　　

設　 P(a , b , 1)，P　到　 E　上 投 的

影 點

為 　 O

由

OA

＝

OB

＝

OC

可 △OPA ^¿ △OPB ^¿ △OPC(SAS) 得

Þ PA ＝ PB ＝

PC

∴(a－2)² ＋(b＋1)² ＋1²＝a²＋(b－1)² ＋(1－2)²

＝(a＋2)²＋(b－1)² ＋(1－4)²

－4a＋2b＋6＝－2b＋2

－2b＋2＝4a－2b＋14

¿

{¿ ¿ ¿

¿ Þ　a＝－3，b＝－4

∴P(－3 , －4 , 1) 故　d(P , E　)＝

|－3＋1－2|

√

¹²＋1² _＝ 4

√

² ＝

2 √ ²

坐 　 L1： 標空間中有兩不相交直線

x＝1＋t y＝1－t z＝2＋t

¿

{¿^{¿ ¿¿

¿

，t　為 L2： 實數、

x＝2＋2s y＝5＋s z＝6－s

¿

{¿^{¿ ¿¿

¿

，s　

為 　 L3　與　 L1、L2　皆 實數，另一直線

相 直。若 交 且 垂 　 P、Q　兩 　 L1、L2　上 與　 L3　 點分別在 且

之

距 離 皆 為　 3， 　 則

P、Q　兩 點的

距

離 為 為 簡 最 ○○　 。(化 根式 ) 　　　　　　　

　 ：

5 √ ²

　　　

　 ：L1　的

ℓ

₁

⃑

　　　 方向向量

＝(1 ,－1 , 1) L2　的方向向量

ℓ

₂

⃑

＝(2 , 1 ,－1)

∵

ℓ

₁

⃑

．

ℓ

₂

⃑

＝0　∴

ℓ

₁

⃑

⊥

ℓ

₂

⃑

故 考慮上圖的情形即可

(P ，Q　在 置 其他位

時

， 結果 相 同 )

作　 L4　 //　 L2　且　 L4　和　 L1、L3　相 交於一點

令　 Q　在　 L4　上

投 影點 　 Q' 為

ℓ

₁

⃑

×

ℓ

₂

⃑

＝

( ^{| －1} 1 － ¹ 1 | , | 1 1

－ 1 2 | , | 1 － 1 2 1 | )

＝(0 , 3 , 3) 　 //　 (0 , 1 , 1) 則

包 含 　 L1　及　 L4　的 　 E　之 　 (0 , 1 , 1) 平面 一個法向量為

令　 E：y＋z＝k

取　 L1　上 　 A(1 , 1 , 2)　代 　 E　得　 k＝3 一點 入

∴E　之 程 方

式

為 　 y＋z＝3

取　 L2　上 　 B(2 , 5 , 6) 一點

Þ

QQ

^'

＝d(B , E 　 )

＝

|5＋6－3|

√

^12＋12 ＝ 8

√

² ＝

4 √ ²

又

PQ

^' _＝

√ ³

²

^＋3

² ＝

3 √ ²

∴

PQ

_＝

√ ^PQ

^'2

＋ QQ

^'2 _＝

√ ^{( 3 √ 2)}

²

^{＋( 4 √ 2 )}

² ＝

5 √ ²

第貳部分、混合題或非選擇題（占　15　分）

說 　 1　題 明：本部分共有

組 ，選 　 3　 填 題 每題

分

， 非 選 擇 題

配 。限在答題 標示題 的作答 內作答。選擇題 「 選擇題作圖部分」使用 分標 末 卷 號 區 與 非 於 題

2B　鉛

筆 更 橡皮擦擦拭 使用 修 帶 作 答 ， 正時，應以 ，切 勿 正 (液)。

18 　 - 　 20 　 題 為題

組

坐 　 O　為 給 標平面上 原點，

定 　 A(1 , 0)、B( －2 , 0)　兩 　 點。另有兩點

P、Q　在 AP ＝

OA

、

BQ

＝

OB

、 POQ 上半平面，且滿足 ∠

為 直

角

， ，試 回 如 圖 所示。令∠ AOP ＝θ。 述 答下列問題。 根據上

線

段

OP

長 (單 3　分 ) 為下列哪一選項？ 選題，

　　 sin　 θ 　　 cos　 θ 　　 2sin　 θ 　　 2　 cos　 θ 　　 cos　 2θ

　 ：　 　　　

　 ：

OP

　　　 取

中 　 M 點

∵AO

＝ AP

∴ AM

⊥

OM

可

OP

得

＝2

OM

＝2　 cos　 θ

故 　 選

若　 sin　 θ＝ 3

5 ^{， 　 Q　的 並 試求點 坐標，}

說

明

BQ ⃑

＝2

AP ⃑

。(非

選 擇 題 ， 6　分 )

　　　　： Q

(

^－3625 , 48

25

)

_，說明略

　 ： 　　　

作 ^{P P'} ⊥

AB

←→ _於　P'

QQ

^' _⊥

AB

←→ 於　Q'　Þ∠PAP'＝2θ，∠B＝180^°－(90^°－θ　)×2＝2θ Þ

AP ⃑

＝AP



_＋P P





＝(cos　 2θ , 0)＋(0 , sin 　 2θ)

＝(cos　 2θ , sin　 2θ)

＝(2　 cos²　 θ－1 , 2　 sin　 θ　 cos　 θ)

＝

( ^{2× ( 4 5 )}

²

^{－ 1 , 2× 3 5 × 5 4} )

＝

(

25⁷ , 24 25

)

同理，

BQ ⃑

＝^BQ



_＋Q Q





＝(2　 cos　 2θ , 2　 sin　 2θ)

＝2

AP ⃑

＝

(

¹⁴25 , 48 25

)

∴點　Q　坐標為

(

^－2＋1425 , 48

25

)

_＝

(

^－3625 ,48 25

)

　(承　題 )試 　 A　到 　 BQ　的 　 求點 直線

距 ， 求 邊形 選 離 擇 題 ， 並 四 　 PABQ　的 (非 6　分 ) 面積。

　　　　：點　A　到直線　BQ　的距離為 72

25 ，四邊形　PABQ　的面積為 108

25 _平方單位

　　　　：承　，

BQ ⃑

＝

(

¹⁴25 , 48

25

)

　//(7 , 24) Þ

m

_{BQ ＝} ²⁴₇

∴

BQ ←→

_：y＝

24

7 _(x＋2)

即　 24x－7y ＝ 48 －

d(A ,

BQ ←→

_)＝

|24×1－7×0＋48|

√

^{242＋(－7)2} ＝ 72 25 又

BQ ⃑

＝2

AP ⃑

得

四 梯 邊形 　 PABQ　為 形　 (∵

BQ

// AP )

所 求面積為

( AP ＋ BQ )×d ( A , BQ

←→)

2

＝

(1＋2)×72 25

2 ＝ 108

25 ^{(平 ) 方單位}

參

考 可 能 用 到 的 公 數 式 值 及

首

項 為 數列前 為 為 　 a， 差 　 d　的 差 　 n　項 和 　 S＝ n（2a＋ （n－1）d） 公 等 之

2 首

項 為 數列前 為 為 　 a， 比 　 r　 (r≠1)的 比 　 n　項 和 　 S＝ a（1－rⁿ） 公 等 之

1－r 三

角 數的 和角 公式： 函 sin(A＋B) ＝sin 　 A　 cos　 B＋cos　 A　 sin　 B

cos(A＋B) ＝cos　 A　 cos　 B－sin　 A　 sin　 B tan(A＋B) ＝ tanA＋tanB

1－tanAtanB

△ABC 　的 弦 正

定 理

： a

sinA ^＝ b sinB ^＝

c

sinC ^{＝ 2R （R　為 ＝}

△ ABC 　外 接圓半徑）

△ABC 　的

餘 定理： 弦 c²＝a²＋b²－2ab　 cos　 C

一

維 數據 　 X：x1，x2， xn， ……，

算

術 均 平 數　 μX　＝ 1

n ^{(x1 ＋x2＋ xn) ……＋}

標

準 差 　 sX 　＝ 1 ₁ ² ₂ ^{2 2}

(x _X) (x _X) (x_{n X})

n＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋   

＝ 1 ₁² ₂^{2 2 2}

n X

x x x n

n＋ ( ＋ ＋ ＋ )＋ ＋  二

維 數據 　 (X ，Y　 )：(x1 ，y1) ，(x2 ，y2) ， (xn ，yn) ， ……，

相 　 rX 關係數

,

Y＝( ¹ _X)( ¹ _Y) ( ² _X)( ² _Y) ( _{n X})( _{n Y})

X Y

x y x y x y

n

     

s s

  ＋ ＋ ＋    

迴 適合 直線）方 程 歸直線（最

式 y－μ_Y＝r_X

,Y

σ_Y

σ_X(x－μ_X) 參

考 數 值 ：

√

²

　　1.414，

√ ³

_

1.732，

√ ⁵

_

2.236，

√ ⁶

_

2.449，π　　3.142

對 log　 2　　 0.3010 ，log　 3　　 0.4771 ，log　 5　　 0.6990 ，log　 7　　 0.8451 數值：