107.11.02 範圍多項式運算應用(C) 班級一年____班姓 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.11.02 範

圍 多項式運算應用(C) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分)

1. 設 f x( )2x²⁰¹⁸ax¹⁰⁷3x5被x1整除，則a 答案： 6

解析： 由因式定理可知 f( 1)  2( 1)²⁰¹⁸ a( 1)¹⁰⁷     3 ( 1) 5 0

∴2      a 3 5 0 a 6

2. 若 f x( )x¹⁰2，則(x1)²除 f x( )之餘式為________.

答案： 10x7

解析： f x( )x¹⁰ 2 (x1)²Q x( )ax b (1) 3

f   a b   b a 3

∴x¹⁰ 2 (x1)²Q x( )ax a 3

10 2

1 ( 1) ( ) ( 1)

x x Q x a x

     

9 8 7 6 2

1 ( 1) ( )

x x x x x x x Q x a

           令x1得a10 ∴b 7 故r x( )10x7

3. 若 f x( )x³4x² 8x1, g x( )a x( 1)(x2)(x 3) b x( 1)(x 2) c x(  1) d 且 f x( )g x( )， 則( , , , )a b c d ________.

答案： (1, 2, 3, 4) 解析： ∵ f x( )g x( )

∴ f(1)      1 4 8 1 4 d g(1)

(2) 8 16 16 1 7 4 (2) 3

f        c g  c

(3) 27 36 24 1 14 2 6 4 2 10 (3) 2

f       b   b g  b

(4) 64 64 32 1 31 6 12 9 4 6 25 (4) 1

f       a    a g  a 故( , , , )a b c d (1, 2, 3, 4)

4. 若 f x( )9x⁶49x⁵ 78x⁴135x³135x²49x17，則 f(4)________.

答案： 3

解析： f(4)之值即為 f x( )除以(x4)之餘式 9 49 78 135 135 49 17 4

36 52 104 124 44 20 9 13 26 31 11 5, 3

     

     

     

∴ f(4) 3

5. 若 f x( )x⁴5x³4x²6x 2 a x( 1)⁴b x( 1)³c x( 1)²d x(  1) e，則 ( , , , , )a b c d e ________，且 f( 0.99) ________. (四捨五入到小數點第二位) 答案： (1, 9, 25, 33,18),  17.67

解析：

1 5 4 6 2 1 1 6 10 16 1 6 10 16 , 18 1 7 17 1 1 7 17 , 33 1 8 1 1 8 , 25 1 1 1, 9

    

   

  

   

  

  



 



( , , , , )a b c d e (1, 9, 25, 33,18) 

∴ f x( )(x1)⁴9(x1)³25(x1)²33(x 1) 18

4 3 2

( 0.99) (0.01) 9(0.01) 25(0.01) 33(0.01) 18

f       17.67

6. 求2011x²⁰¹¹100x¹⁰⁰1除以x² 1之餘式為__________．

答案： 2011x101

解析： 設 f x( )2011x²⁰¹¹100x¹⁰⁰1 (x2 1) ( )Q x ax b

   

(x 1)(x 1) ( )Q x ax b

    

1

x  代入得 f( 1)  2011 100 1    a b    a b 1910 1

x 代入得 f(1)2011 100 1   a b  a b 2112

得2b202 b 101代入得a2011

∴所求餘式為2011x101

7. 設 f x( )x³³x³²x³¹ x 2，則 f x( )除以(x² x 1)之餘式為________.

答案： 2

解析： 令x²   x 1 0 x²   x 1

(x 1)(x2 x 1) (x 1) 0

        x³ 1 0 將x³ 1代入 f x( )中得

原式(x^{3 11}) (x^{3 10}) x²(x^{3 10})   x x 2 1 x2 2x 2

   

2 2 3

x x

   ( x 1) 2x 3

      x 2 ∴所求為x2 8. 若多項式 f x( )除以(2x3)之餘式為16，則

(1)x f x³ ( )除以2x3之餘式為_________.

(2)x f x² ( )除以 ³

x2之餘式為_________.

答案： (1)54 (2)36

解析： 令 f x( )(2x3) ( ) 16Q x  ，∴ ( )³ 16 f 2 

(1)x f x³ ( )(2x3)[x Q x³ ( )] 16 x³ 故餘式為( )^{3 3} ( )³ 2  f 2 27

16 54

 8   (2) ² ( ) ( ³)[2 ² ( )] 16 ²

x f x  x2 x Q x  x 故餘式為( )^{3 2} ( )³ 2  f 2 9

16 36

 4 

9. 若a, b為實數，且x² x 2可整除 f x( )(x a )[(x1)²b x(  1) 18]，則數對( , )a b ____.

答案： (1, 9)

解析： ∵(x2)(x1) | f x( )

∴ ^f

 

^{1     1 a 0 a 1}

( 2) ( 2 )[9 3 18] 0 27 3 0 9

f    a  b    b  b ( , )a b (1, 9)

10. 若已知 f x( )為二次多項式函數，滿足 f(2) f( 1) 0且 f(3)8，則 f x( ) __

答案： 2x²2x4

解析： 設 f x( )a x( 2)(x1)，且a0 又 f(3)a(3 2)(3 1)  4a  8 a 2 故 f x( )2(x2)(x 1) 2x²2x4

11. 設 f x( )是一個二次函數，若 f x( )之圖形通過(2017, 4)，(2018, 5)，(2019,8)三點，則 f(2020) __________．

答案： 13

解析： 利用牛頓插值法，可設

( ) ( 2017)( 2018) ( 2017) f x a x x b x c

2017

x 代入得 f(2017) c 4 2018

x 代入得 f(2018)    b c 5 b 1 2019

x 代入得 f(2019)2a2b   c 8 a 1

∴ f x( )(x2017)(x2018)(x2017)4 (2020) 3 2 3 4 13

 f     

12. 已知deg ( )f x 3且其首項係數為2，若 f(1) f(2) f(3)4，則 f(4) . 答案： 16

解析： ∵deg ( )f x 3且其首項係數為2, (1)f  f(2) f(3)4

∴ f x( )2(x1)(x2)(x 3) 4，則 f(4)     2 3 2 1 4 16

13. 若多項式a x(3 5)⁵b x(3 5)⁴c x(3 5)³d(3x5)²e x(3  5) k

5 4 3 2

(5x 1) 4(5x 1) 72(5x 1) 56(5x 1) 15(5x 1) 10

           ，a、b、c、d、e、k為實數，

試求a b c d     e k __________．

答案： 54

解析： x2代入，得

a b c d    e k 11⁵ 4 11⁴72 11 ³56 11 ²  15 11 10 令 f x( )x⁵4x⁴72x³56x²15x10

則所求 f(11) f x( )除以(x11)之餘式 利用綜合除法

∴所求54

14. 若deg ( )f x 3，且多項式 f x( )除以(x1) ,² (x2)²的餘式分別為3x1與3x17，則 (1)以(x1)(x2)除 f x( )之餘式為________，

(2)以(x1) (² x2)除 f x( )之餘式為________.

(3)以(x1) (² x2)²除 f x( )之餘式為________.

答案： 13 x15, 16x² 35x17,32x³144x²195x81 解析： f x( )(x1)²Q x₁( ) 3 x1(x2)²Q x₂( ) 3 x17

∴ f(1)2, f(2) 11

(1)令 f x( )(x1)(x2) ( )q x₁ a x(  1) 2 f(2)      a 2 11 a 13

∴r x( ) 13(x   1) 2 13x15

(2)令 f x( )(x1) (² x2)q x₂( )b x( 1)² 3x1 f(2)      b 5 11 b 16

∴r x( ) 16(x1)² 3x1 16x² 35x17

(3)令 f x( )(x1) (² x2)²q x₃( )(cxd x)( 1)² 3x1 f x( )(x1) (² x2)²q x₃( )(cxe x)( 2)²3x17 此時(cxd x)( 1)²3x 1 (cx e x )( 2)² 3x17同義

2 (2 ) 6 1 0 6 17

1 0 3 1 ( ) 3 17

0 0 1 4 0 17

x c d

x c e

x d e

       

       

      

2 16 32

16 80

4 16 16

c d c

c e d

d e e

   

 

 

     

      

 

∴r x( )(32x80)(x1)²3x132x³144x²195x81

15. 設多項式 f x( )的次數高於三次，且 f x( )除以x1, x²2x3之餘式分別為2與4x8，則以 (x1)(x2 2x3)除 f x( )之餘式為________.

答案： 5x² 14x7

解析： f x( )(x1)Q x₁( )2(x²2x3)Q x₂( )4x8 設 f x( )(x1)(x²2x3)Q x₃( )a x( ²2x 3) 4x8

(1) 2 4 8 2 5

f  a     a

∴r x( ) 5(x²2x 3) 4x8  5x²14x7

16. 多項式 f x( )除以x² x 1可得餘式3x7，且 f( 1) 10．依此可得 f x( )除以x³1之餘式為

__________．（須按降冪排列作答）

答案： 2x² x 9

解析： ∵x³ 1 (x1)(x² x 1)

∴依題意可設 f x( )(x³1) ( )Q x a x( ²  x 1) 3x7 1

x  代入得 f( 1) 3a 4 10 a 2

∴ f x( )除以x³1之餘式為 2(x²  x 1) 3x 7 2x² x 9

17. 設 f x( )為一多項式，a, b為實數，且a0，若以(ax b )除 f x( )所得之商為q x( )，餘式為r，

則以(x b )除 ( )x

x f a 之商式為____________，餘式為______.

答案： ( )x ,

xq r br

a 

解析： f x( )(ax b q x ) ( ) r ( )x ( ) ( )x

f x b q r

a    a  ( )x ( ) ( )x ( )[ ( )x ]

x f x x b q rx x b xq r br

a a a

         (rx (x b)rbr) 故商式 ( )x

xq r

a  ，餘br 18. 若a, b為實數，且

4 3 2

2

6 1

( ) 2 1

x ax x bx

f x x x

   

   為二次函數，則數對( , )a b ________，此二次 函數之頂點坐標為________.

答案： (0, 0), ( 1, 2) 

解析： ∵ f x( )為二次函數

∴x²2x1為x⁴ax³6x² bx1之因式 1 2 1 1 6 1

1 2 1 ( 2) 5

( 2) (2 4) ( 2) (2 1) ( 2) 1

a b

a b

a a a

a a b

     

 

  

    

     

1 ( 2) 1

1 2 1 2 ( ) 0

a

a a b

  

  

  

∴ 2 0 0

0 0

a a

a b b

 

 

    

 

∴ f x( )x²2x 1 (x1)²2 頂點V( 1, 2) 

19. 81(0.666)⁴54(0.666)³63(0.666)²39(0.666) 5 的近似值為________. (四捨五入至小數 點第三位)

答案： 3.014

解析： 設 f x( )81x⁴54x³63x²39x5

4 3 2

(3 2) (3 2) (3 2) (3 2)

a x b x c x d x e

        

81 54 63 39 5 2 54 0 42 2 3 3 81 0 63 3, 3 27 0 21 1 2 18 12 6 3 3 27 18 9, 7 9 6 3 2 6 8 3 3 9 12, 5 3 4 2 2 3 3 3, 6 1

e

d

c

b a

   

   

   

  

  

   

 

 

 









4 3 2

( ) (3 2) 6(3 2) 5(3 2) 7(3 2) 3

f x  x  x  x  x 

∴ f(0.666) ( 0.002)⁴ 6( 0.002)³ 5( 0.002)² 7( 0.002) 3 3.014

20. 已知多項式 f x( )，若分別以x1,x2,x3除之餘式依次為4, 2, 6 ， f x( )除以 (x1)(x2)(x3)的餘式為ax²bxc，則a2b3c__________．

答案： 25

解析： 依題意可設 f x( )(x1)Q x₁( )4 (x 2)Q x2( ) 2

    (x 3)Q x3( ) 6

    (x 1)(x 2)(x 3) ( )Q x

    ax² bxc 1

x 代入得a b c  4 2

x 代入得4a2b c  2 3

x 代入得9a3b c 6



 得3a b  6



 得5a b 8



 得2a14 a 7 代入得b 27 代入得c24

∴a2b3c 7 54 72 25

21. 若多項式 f x( )除以x² x 2的餘式為2x3，多項式g x( )除以x²5x6的餘式為x5，則：

(1)以x1除 f x( )的餘式為________.

(2)以x1除(x3) ( )f x xg x( )的餘式為________.

答案： (1) 1 (2)4

解析： (1) f x( )(x2)(x1)Q x₁( )2x3，∴f( 1) 1 ∴ f x( )除以x1的餘式為1 (2)g x( )(x6)(x1)Q x₂( ) x 5 ∴g( 1)  6

∴[(x3) ( )f x xg x( )]除以x + 1的餘式    2 ( 6) 4

22. 設 f x( )x³2x²ax7以x2與x3分別除之其餘數相同，則a____，又其餘數為_______.

答案： 5,1

解析： ∵ f(2) f( 3) ，∴8 8 2  a    7 27 18 3a   7 a 5 餘數為 f(2) 1 23. 設 f x( )x³2x²4x1, ( )g x  f(2x3)，則以2x1除g x( )的餘式為________.

答案： 7

解析： ( ¹) (2) 8 8 8 1 7

g 2  f     

24. 設實係數多項式 f x( )除以x²2x2的餘式為6x7，則(x 1) f x( )除以x² 2x2的餘式為 __________．

答案： 11x19

解析： 依題意可設 f x( )(x²2x2) ( ) 6Q x  x7 則(x 1) f x( )(x1)[(x²2x2) ( ) 6Q x  x7]

(x2 2x 2)(x 1) ( ) (Q x x 1)(6x 7)

      

2 2

(x 2x 2)(x 1) ( ) 6Q x x x 7

      

∵6x² x 7除以x²2x2的餘式為11x19

∴(x 1) f x( )除以x²2x2的餘式亦為11x19

25. 設 f x( )3x⁴17x³28x²11x3，則 f(3)______，又 (^{4 13})

f 3 ______.

答案： 6, 2 解析：

2 2

4 3 2 2 2

(3) 6

4 13

(3 4) 13 3 8 1 0

3

3 17 28 11 3 (3 8 1)( 3 1) 2

f

x x x x

x x x x x x x x



        

         

∴ 令

∴ (^{4 13}) 0 2 2 f 3   

26. 設 ( )f x (x³⁷4x²³4x¹⁵3x²1)(x⁷2x⁶5x³ x 2)

2 44

0 1 2 44

a a x a x a x

    … ，則：

(1)a₀  a₁ a₂ … a₄₄ ____.

(2)a₁  a₃ a₅ a₇  … a₄₃ ____.

答案： 15,20

解析： a₀ a₁ a₂  … a₄₄  f(1)  ( 3) (5) 15

1 3 5 43

(1) ( 1) ( 15) 25

2 2 20

f f

a a a  … a        

27. 小胖利用綜合除法求2x⁴x³5x²2x3除以2x a 得餘式18，其算式如右，則d f ____．

答案： 23

解析： ∵b  1 2，∴b 3

∵2 3 2

a b

    ，∴a 3

 3

( 2) ( 2) ( ) 3

2 2

c     a  

3  17 + 28  11 + 3 3

+ 9  24 + 12 + 3 3  8 + 4 + 1 + 6

d     5 c 5 3 8

e 2 12 10

 3

( 10) ( ) 15

2 2

f    e a   

∴d  f 8 1523

28. 若以(x2)³除多項式 f x( )之餘式為3x² 5x1，則以(x2)²除 f x( )之餘式為______.

答案： 7 x 11

解析： f x( )(x2)³Q x( ) 3 x²5x1

2 2

3x 5x 1 3(x2) 7x11，∴餘式 7x 11