§3−2 指數函數

§3 − 2 指數函數

(甲)指數函數的定義與圖形

‹ 引入指數函數：

設某種細菌一開始在培養皿中的面積為 A，每隔 3分鐘，細菌就會增長 r%，其 面積與觀察時間的關係如下所示：

時間(分) 0 3 6 9 12 15

細菌面積 A A(1+r%) A(1+r%)² A(1+r%)³ A(1+r%)⁴ A(1+r%)⁵ 若是資源無限供應，使得細菌無限制的增長，那麼開始觀察 x 分鐘後，細菌的

面積為 f(x)，那麼 f(x)如何表示呢？

Q每隔 3 分鐘，細菌就會增長 r%

∴細菌就會增長 r%的週期為 3分鐘，x分鐘代表了x

3週期，

故 f(x)=(1 %)³

x

+r =[(1 r%)³]^x

1

+ 。

上述的函數 f(x)是型如 f(x)=a^x (a>0)的形式，我們稱為指數函數。

‹ 定義指數函數 (1)指數函數：

a>0，函數 f(x)=a^x稱為以 a 為底的指數函數。

定義域：所有的實數 值 域：所有的正數

兩個例子：

我們觀察 f(x)=2^x的圖形：

描點：

8 2 4 4 2 2 2 2 2 1

1 4 1 8 2 1

2 3 2 5 2 1 3 2 0 1 1 2 3

x

x − − −

用勻滑曲線將這些點連接起來，

可得 y=2^x的圖形，如下圖一所示：

x y

圖一 (0,1)

x y

圖二 (0,1)

觀察 y=( 1

2 )^x的圖形：

描點：

8 1 2 4

1 4 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 4 8 2) (1

2 3 2 5 2

1 3 2 0 1 1 2 3

x

x − − −

用 勻 滑 曲 線 將 這 些 點 連 接 起

來，可得 y=( 1

2 )^x的圖形，如上圖二所示：

(2)指數函數圖形的特性：

指數函數 f(x)=a^x，a>0，a≠1 具有以下的特性 (a)恆在 x 軸的上方(即 a^x>0)

(b)恆過點(0,1)

(c)對於任意實數 x1,x2，恆有 f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)。

(d)f(x)為一對一函數。

(e)當 a>1 時，f(x)=a^x為嚴格遞增函數

圖形由左向右逐漸升高，愈向右邊升高得愈快，愈向左邊圖形愈接近 x軸。

當 0<a<1 時，f(x)=a^x為嚴格遞減函數

圖形由左向右逐漸降低，愈向右邊降得愈慢，愈向右邊圖形愈接近 x 軸。。

注意：

注意：

c 當 a>1 時，f(x)=a^x為嚴格遞增函數，即 x1>x2 ⇔ a^x1 >a^x2 d 當 0<a<1 時，f(x)=a^x為嚴格遞減函數，即 x1>x2 ⇔ a^x2 >a^x1

e若函數 f(x)為嚴格遞增或嚴格遞減的函數，則 f(x)為 1−1函數。

x y

(0,1)

y=a^x(a>1)

x y y=a^x(0<a<1)

(0,1)

(3)指數函數圖形的凹凸性：

函數 y=f(x)的圖形凹口向上(下)

⇔任取圖形上兩相異點 A、B，AB在⎯ y=f(x)位於 A、B 兩點間圖形的上(下)方 對於任意的正數 a 實數 m , n 而言下列的不等式成立：

( ) ²

2

1 m n ^{m n}

a a a

+

≥

+ ，等號成立⇔m=n。

幾何解釋：

不等式證明：

對於一般的函數 y=f(x)，底下的結果會成立：

若 y=f(x)的圖形凹口向上，則1

2[f(m)+f(n)]≥f(m+n 2 )。

若 y=f(x) 的圖形凹口向下，則1

2[f(m)+f(n)]≤ f(m+n 2 )。

(4)當 a 變化時，y=a^x的圖形變化：

觀察右邊

c 當 1<a<b時，如果 x<0，a^x>b^x；如果 x>0，a^x<b^x。

d 當 0<a<b<1時，如果 x<0，a^x>b^x；如果 x>0，a^x<b^x。

[例題1] 請做下列各函數的圖形：

(1)y=2^|x| (2)y=(1

2)^|x| (3)y=− (1

2)^|x| (4)y=−2^−x (1) (2)

(3) (4)

[例題2] (函數圖形與方程式的根)

試問方程式x²=2^−|x|有幾個實數解？

[答案]：：2個

[解法]：

方程式x²=2^−|x|實根的個數

=函數y=x²與y=2^−|x|兩圖形的交點個數。

O (0,1)

x y

如圖，可知y=x²與y=2^−|x|兩圖形有2個交點。

所以方程式x²=2^−|x|有2個實數解。

[例題3] 已知a＞0，a≠1，若指數函數f(x) =a^x在區間 [ 1 , 3 ]中的最大值與最小值

之差為 ² 15

16 a ，試求a之值。Ans：a= 3

5 或 a=

5 3。

(練習1) 設 a>0，a≠1，函數 y=a^x中，當 x 值增加 2 時，y 值為原來的 9 倍，

則 a=？ Ans：3

(練習2) 利用 y=2^x與 y=(1

2)^x之圖形求作(1)y=−2^−|x| (2)y=2^|x|+1 的圖形。

(1) (2)

(練習3) (1) 方程式 2^x+x=0 有多少個實根。Ans：1 個 (2)方程式 x²=(1

2)^x 有幾個實根。 Ans：3 個 (練習4) 方程式 x² + 2^x = 2，

(1)共有幾個實根？ (2)若 p為其實根，且 n≦p＜n + 1，求n 之值。

Ans：(1)2 (2)0或−2

(練習5) 右圖中是四個指數函數 y = a^x、 y = b^x、y = c^x、y = d^x的圖形，

試比較它們的底數 a、b、c、d 與 1 的大小。

[答案]：b＜a＜1＜d＜c

[例題4] (1)下列那一個數值最小？

(A) (0.9)^−3.5 (B)(0.9)^−2.5 (C)(0.9)^−1.5 (D)(0.9)^{− 3} (E) (0.9)^{− 5} Ans：(C) (2)設a= ²

1

5 ，b= ³

2

4 ，c= ⁴

3

3 ，則a,b,c的大小順序為何？ Ans：b>c>a y

y=d^x y=c^x y=b^x

y=a^x

O

(練習6) 將下列各數依大小順序排列之：

9 9 2 3 3

4 2 1

5 3 2

) 2 ( , 2 , 2) (1 , 8 4 ,

2 ⋅ ^{− − − −} Ans： ^{9 9 3}

2 3

2 3 4 2 1

5

2 ) 2 ( 2 2)

(1 8

4 ⋅ ⁻ > ⁻ > > ⁻ > ⁻

(練習7) 設 a=

2

1 ，b=³ 3

1，c=⁵ 5

1 ，則 a,b,c 的大小順序為何？Ans：c>a>b

[例題5] 試解下列不等式：

(1)2^x+2>4^11−x (2)(0.001)^x2−x+3 <(0.1)^2x2+5x−1 Ans：(1)x>20

3 (2)x>4+ 6 或x<4− 6

[例題6] 解27^x−4⋅3^2x−1+3^x−1<0。 Ans：−1<x<0

(練習8) 解下列不等式：

(1)16^x2−x >8 (2)(0.2)^x2−3x−1 >0.008 Ans：(1)x>3

2 或 x<−1

2 (2)−1<x<4 (練習9) 解下列不等式：

(1)2^2x+2<9⋅2^x−2 (2) ) 12 3

(1 9)

(1 ^x+ ^x > Ans：(1)−2<x<1 (2)x<−1

[例題7] 設x≤3，試求f(x)=2^x+2−4^x之最大值、最小值。

Ans：4，−32

(練習10) 設−2≤x≤2，若 x=α時，f(x)=9^x−3^x+1有最大值 M，求α與 M。

Ans：α=2，M=54

綜合練習

(1) 實驗室內培養一種細菌，已測定其增長情形為1日後增為原數的k倍，

根據記錄，已知其細菌數2日後約為2000個，3.5日後約為16000個，

試求k值，並寫出x日後之細菌數為y的細菌生長公式y=f(x)。 (2) 下列那一個選項的圖形與直線x+y=0恰有一個交點？

(A)y=2^x (B)y=2^−x (C)y=2^|x| (D)y=−2^−x (E)y=x²。 (3) (如圖)為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖，

假設其關係為指數函數，試問下列何者為真？

(A)此指數的底數為2 (B)在第5月時，布袋蓮的面積就

會超過30m² (C)布袋蓮從4m²蔓延到12m²只需1.5個月

(D)設布袋蓮蔓延到2m²，3m²，6m²，所需的時間分別為

t1，t2，t3，則t1+t2=t3 (E)布袋蓮在第1到第3個月之間 蔓延平均速度等於第2到第4個月之間蔓延平均速度。

(87 學科)

(4) 若a>0且a≠1,則下列何者可能是指數函數y=a^x的部分圖形？

(A) (B) (C)

(D) (E)

(87 社)

(5) 觀察相關的圖形，判斷下列選項何者為真？

(A)10^x=x有實數解。 (B)10^x=x²有實數解。 (C)x為實數解時，10^x>x恆成立。

(D)x>0時，10^x>x恆成立。 (E)10^x=−x有實數解。 (91學科能力測驗) (6) y=x²與y=2^x有幾個交點？

(7) 試問下列各函數的圖形與y=3^x之圖形有何關係？

(a)y=3^x−2 (b)y=9⋅3^x+3 (c)y=1−3^x

(8) 假設世界人口自1980年起，50年內每年增長率均固定。已知1987年世界人口 達50億，1999年第60億人誕生在賽拉佛耶。根據這些資料推測2023年世界 人口數最接近下列哪一個數？

(A) 75億(B) 80億(C) 86億(D) 92億(E) 100億 (89學科)

1 2 3 4

1 2

4 8 16

月 面積(m²)

x y

x y

x y

x y

x y

(9) 下列五數中，何者為最小？(A)2 (B)(³¹ 1

8)⁻² (C)2⁻⁴¹ (D) )²¹ 2

(1 (E)8⁻³¹ (88 學科)

(10) 設 ⁴

1 3

1 2

1

4 , 1 3 , 1 2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ _{= =}

= b c

a 。下列選項何者為真？

(A) a > b > c (B) a < b < c (C) a = c > b (D) a = c < b (E) a = b = c (90學科) (11) 試比較下列各數之大小順序：

(a)a=(0.6) ²,b=(0.6) ³,c=(0.6)^{− 2},d =(0.6)^{− 3},e=(0.6)^1.4 (b) 3,³ 5,⁴10,⁶ 30

(12) 解3^2x+3^x−2>3^x+2+1。

(13) x為實數，若(0.25)^3x2<(0.5)^10x+4，則x的範圍為何？

(14) 請問方程式|x|=2^−|x|的實數解有幾個？

(15) 設f(x)= a^{2 x} +5x² −1，其中a＞0

(a)試說明函數f(x)的圖形對稱y軸。

(b)若α,β為方程式 a^{2 x} +5x² =1 異於0的二根，試問α,β的關係為何？

(c)承(b)若α−β=2

3，試求a之值。

進階問題

(16) 下列哪一個函數，滿足 ^{1 2} [ ( ₁) ( ₂)], _{1 2} 2

) 1

(x 2x f x f x x x

f + < + ≠

(A)f(x)=2^x (B)f(x)=( 1

2 )^x (C)f(x)=2^x+2^−x (17) 已知f(x)= _{x x}

x x

−

−

− + 3 3

3

3 ，且x≠0，則以f(x)表9^x得 ，又f(a)=5

4 ，則a= 。 (18) 設f(x)= _{x x}

x x

−

−

− + 2 2

2

2 ，x為非零的實數，若f(a)=2，f(b)=3，則f(a+b)=？

(19) 若f(x)=2^2x+1+2^−2x+1−7(2^x+2^−x)+9 (a)若t=2^x+2^−x，試以t表f(x)。

(b)若f(x)<0，求t的範圍。

(20) 已知 f(x) = _{x x}

x x

a a

a a

−

−

+

− ， 其 中 a＞0，a≠1，x為實數，

若 f(α) =1

3，f(β) =2 5， 則

(a)試以 f(x)表示a^2x； (b)求 f(2α)之值； (c)求 f(α+β)之值。

綜合練習解答

(1) k = 4；f(x) = 125×4^x (2) (A)(D)

(3) (A)(B)(D) (4) (A)(C) (5) (B)(C)(D)(E)

[解法]：若f(x)=g(x)有實數解⇔

⎩⎨

⎧

=

= ) (

) (

x g y

x f

y 兩圖形有交點

畫出y =10^x，y = x，y = x²，y = −x之圖形如右 可知：(A)10^x= x沒有實數解

(B)10^x=x²恰有一負實數解 (C)10^x>x，∀x∈R均成立 (D)10^x>x²，x>0均成立 (E)10^x= −x有實數解

(6) 3個(提示：x≥4，2^x≥x²) 如右圖所示

(7) (a) y=3^x−2的圖形是由y=3^x之圖形向右平行移動2單位得到的。(b) y=9⋅3^x+3的圖 形是由y=3^x之圖形向左平行移動2單位之後，再向上移動3單位得到的。。(c) y=1−3^x 的圖形是由y=3^x之圖形先對x軸取對稱，再向上平行移動1單位得到的。

(8) (C) (9) (E) (10) (C)

(11) (a) b<a<e<c<d (b) ³ 5< 3 <⁶ 30 <⁴10 (12) x>2

(13) x>2或x<−1 3 (14) 2個[解法]：

O (0,1)

x y

A

如圖，可知有2個實數解。

(15) (b)α+β=0 (c) 27

8

設f(x) =a^{2 x} +5x² −1，

由於f(x)= f(－x)，可知y = f(x)的 圖形對稱於y軸，因此 若α為方程式 a^{2 x} +5x² =1 之根，則－α亦為此方程式之根。

今α,β為方程式 a^{2 x} +5x² =1 之二根 ⇒ β=－α，

又α－β＝

3

2 ⇒ α＝

3

1，故 1

9

3 5

2

= +

a ， ^{3 2}

2

3) (2 9 4 =

=

a ⇒ a之值為

27 8 。 (16) (A)(B)(C)

(17) f(x)+1

f(x)−1 ，a=1 (18) 7

5 (提示：f(x)=

1 2

1 2

2 2

− +

x x

，用f(x)表示2^2x。) (19) (a)2t²−7t+5 (b)2≤t<5

2 (20) (a) a^2x=

) ( 1

) ( 1

x f

x f

−

+ (b)3 5 (c)

11 17 [解法]：

(a) f(x) = _{x x}

x x

a a

a a

−

−

+

− =

1 1

2 2

+

−

x x

a

a ⇒

1 ) (x

f =

1 1

2 2

+

−

x x

a a

⇒ 1 ( ) ) ( 1

x f

x f

−

+ =

) 1 ( ) 1 (

) 1 (

) 1 (

2 2

2 2

−

− +

− + +

x x

x x

a a

a

a ⇒ a^2x=

) ( 1

) ( 1

x f

x f

−

+ 。

(b)承(1)，a^2α=

) ( 1

) ( 1

α α f f

−

+ =

) ( 3 3

) ( 3 3

α α f f

−

+ =

1 3

1 3

−

+ = 2 ⇒ a^4α =4，

∵ f(2α) =

1 1

4 4

+

−

α α

a

a ， ∴ f(2α) = 1 4

1 4

+

− = 5 3。

(c)承(2)，a^2α= 2，同理，a^2β=

) ( 1

) ( 1

β β f f

−

+ =

) ( 5 5

) ( 5 5

β β f f

−

+ =

2 5

2 5

− + =

3 7，

⇒ a^2(α+β)= a^2α．a^2β= 2× 3 7=

3 14，

∵ f(α+β) =

1 1

) ( 2

) ( 2

+

−

+ + β α

β α

a

a =

3 3

3 3

) ( 2

) ( 2

+

−

+ + β α

β α

a

a =

3 14

3 14

+

− = 17 11。