92.03.12 班級範圍1-4 對數函數、圖形+Ans 座號姓

高雄市明誠㆗㈻ 高㆒數㈻平時測驗 ㈰期：92.03.12 範 班級

圍

1-4對數函數、圖形

+Ans 座號

姓

㈴

㆒. 單㆒選擇題 (每題 10 分) 1、解log log₃ 1

5

1 x≥ ，則x的範圍為______。

答案答案：：1<x≤⁵ 3 解析解析：：log log₃ 1

5

1 x≥ ∴∴

5 log 1

0< ₃ x≤ ∴∴ ⁵

1

≤3

< x

1 ∴∴1<x≤⁵ 3 2、函數y=f(x)與函數y= f ⁻¹(x)的圖形在坐標平面上對稱於直線______。

答案答案：：x= y

3、解 log 10

) 2 9 3 (

log_{3 x} + = x+ ₃

，則x=______或______。

答

答案案：：00,, 44

解析解析：：3^x +9=3^2x ×10 令令 3²

x

t = ∴∴t² −10t+9=0 ∴∴t =1或或99

∴∴3^2x =1或或3^2x =9 ∴∴x=0或4

4、設x , y滿足 ，則





=

= 10000

log log

3 _{2 2}

xy

y

x x=______ ,y=______。

答案答案：：1100,, 11000000

解析解析：：∵∵3log₂ x=log₂ y ∴∴x³ = y

又又xy=10⁴ ∴∴x⁴ =10⁴ ∴∴x=±10((-1-100不合不合)),, y=1000 5、方程式2logx⁴ =log(2x+3)⁴，則x=______。

答案答案：：33或或--11

解析解析：：2logx⁴ =log(2x+3)⁴ ∴∴x⁸ =(2x+3)⁴

∴∴x² =2x+3 或 或 x² =−2x−3 ∴∴x=3或或-1-1

6、解不等式 9

2 log 1 8

log_0.5 x+ _x ≥ ，則x的範圍為______或______。

答 答案案：：

256

0<x≤ 1 , , 1 2

1 ≤x≤ 解析解析：：令令t =log_0.5x ∴∴

x t 1 2

log 1 = ,, +8 ≥9 t t

1 0

∴

∴t(t−1)(t−8)≥0 ∴∴t ≥8或或 ≤t ≤ ∴∴

256

0< x≤ 1 , , 1 2

1 ≤ x≤ 7、解不等式log_0.5(x² +3x)>−2，則其解為_______。

答案答案：：−4< x<−3或或0<x<1 解

解析析：：∵∵0.5<1 ∴∴ ² ) ² 2 (1 3 < ⁻ + x

x ∴∴−4< x<1 又自又自然然限限制制x² +3x>0 ∴∴x>0或或x<−3

∴∴−4< x<−3或或0<x<1

8、設logx−2logy =1，則x² −y²之最小值為______。

答案答案：： 400

− 1 解

解析析：：∵∵logx−2logy =1 ∴∴ ₂ =10 y

x ∴∴

10

2 x

y =

∴

∴ 400

) 1 20 ( 1 10

2 2

2

2 − = − x = x− −

x y x

∴

∴當當 20

= 1 x ,,

20

= 2

y 時時，，x² −y²有最有最小小值值 400

− 1

9、設 log 2

7

= 1

a , b=log ₃ 2,

5 log 1

3

= 1

c ,

7 log

1

3

=

d , e=−1，則這五數中最大者為 ______，最小者為______。

答案答案：：cc,, ee

解析解析：：a=−log₇2 ∴∴−1<a<0 1

2 log 2 ₃ >

= b

1 5 log₃ >

= c

7 log

1

3

= d

1

0<d < 且且c>b ∴∴c>b>1>d >0>a>e ∴最∴最大大為為cc，，最最小小為為e e

10、設 7

log 1

2

= 1

a ,

3 log 1

2

= 1

b , log 3

2

= 1

c , log 5

2

= 1

d , e=2，則a, b, c, d, e之大小順序為 ______。

答

答案案：：d <c<b<e<a 解析解析：：∵∵

7 ) 1 2 (1 3 3 1

5> > > ² > 又又 1 2

0< 1 < ∴∴d <c<b<e<a 11、解x_2log^x =1000x ，則x=______。

答案答案：：1100,,

10 10

1

解析解析：： 1000) log(

) log( ^2log

x ^x = x

令令logx=t ∴∴2t² =3−t ∴∴t =1或或 2

−3 ∴∴x=10或或 10 10

1 12、對數方程式log₁₀(x+1)+log₁₀(x−2)=1的解為______。

答案答案：：44

解析解析：：(x+1)(x−2)=10 x² −x−12=0 x= −4, 3 ∵x>2 ∴x∴x == 44 13、求下列函數之反函數

) 1 1(

) 1 ( ) 3 (

) 1 ( 3 2 )

( ) 2 (

2 4 ) ( ) 1 (

2

− + ≠

=

−

≥ + +

=

−

= x x x f

x x x x f

x x

f

答案答案：：

1 4 1 1 1

(1) ( ) (2) ( ) 2 ( 2)(3) ( ) 1 ( 0)

2

f x x f x x x f x x

x

− = − − = − ≥ − = − ≠

解析解析：：

) 0 ( 1 1 ) ( 1 1

1 1 1

) 1 3 (

2 1

2 )

( 1 2

) 1 (

2 1

, ) 1 ( 2 , 3 2 )

2 (

2 ) 4 2 (

2 4 4 ) 1 (

1 1

2 2

1

≠

−

=

∴

−

=

∴

= + + ∴

=

≥

−

−

=

∴

−

−

=

∴

−

≥

−

= + +

=

− + +

=

= −

− ∴

=

∴

−

=

−

−

−

x x x y f

y x x x

y

x x

x f y

x

x y

x x

y x x y

x x y f

x x y

且

∵

14、方程式x+log₃ x=3共有______個實根。

答案答案：：11 解析解析：：





−

=

= x y

x y

3 log₃

其

其圖圖形形為為恰恰有有一一個個交交點點 ∴共∴共有有11個實個實根根

15、解方程式(log5x)(log4x)=2，得其兩根為α,β，則αβ =______。

答案答案：： 20

1 解

解析析：：令令t =logx ∴∴(t+log5)(t+log4)=2兩根兩根為為 α

1 =log

t ,, t₂ =logβ ∴∴t₁+t₂ =logα +logβ =logαβ 又

又 20

log 1 20 log )

5 log 4

2 (log

1 +t =− + =− =

t ∴∴

20

= 1 αβ 16、解log₃x−6log_x3−5=0，則x=______。

答案答案：：3⁶,, 3 1 解

解析析：：令令log₃x=t ∴∴ −6−5=0

t t ∴∴t=6或或--11 ∴∴x=3⁶或或 3 1

17、設 0

2500 log 1 )

2

2 −(log ⋅x+ =

x 的二根為α,β，則10^α +10^β =______，又二根α,β為何？

答 答案案：：

50

100 1 , , 22或或log2−2

解析解析：：x² −(log2)x−(4−2log2)=0 ∴∴(x−2)(x+2−log2)=0

∴∴x=2或或log2−2 ∴∴10^α +10^β =

50 100 1 10

10² + ^log2−2 = 18、解方程式2log₂ x−log₂(2x+1)=1，則x=______。

答案答案：：2+ 6

解析解析：： 1 1 log 2

2

2 =

x+

x ∴∴x² −4x−2=0 ∴∴x=2± 6 但 但 ∵∵x>0且且2x+1>0 ∴∴x=2+ 6

㆓. 計算與證明題 (每題 10 分)

1、解方程式(x^log5)(5^logx)−4(x^log5)−5=0。 答案答案：：令令t =5^logx = x^log5 ∴∴t² −4t−5=0

∴∴t =5或或-1-1((不不合合)) ∴∴5^logx =5 ∴∴x=10

2、設對任意實數x，恆有 1 0

1 1 log 2 ₂²

3

1 + ≥

+ +

+ +

x x

ax

x ，則a之範圍為何？

答案答案：：對對任任意意實實數數x，， 3 1

1 2

2

2 ≤

+ +

+ +

x x

ax

x 恆成恆成立立

且且 0

1 1 2

2

2 >

+ +

+ +

x x

ax

x ∵∵∀x∈R，R，x² +x+1>0恆恆成成立立

∴∴2x² +ax+1>0恆成恆成立立 ∴∴a² −8<0 ∴∴−2 2<a<2 2

又又x² +(3−a)x+2≥0恆恆成成立立 ∴∴(3−a)² −8≤0 ∴∴3−2 2≤a≤3+2 2 ∴∴ 2

2 2

2 ≤ <

− a

3

3、解不等式log₃(x² −x+1)≥log₃(x+2)+1 答案答案：：自自然然限限制制x² −x+1>0,, x+2>0

不

不等等式式(x² −x+1)≥3(x+2)

∴

∴(x>−2)且且(x≥5或x≤−1)

∴

∴−2< x≤−1或x≥5 4、求解方程式：

(1) log(x−4)+log(x+3)=log30

(2) 0

2 log 3

2

log ₁₆ ²

4

1 x+ x − =

答案答案：：((11)) log(x−4)+log(x+3)=log30 30

) 3 )(

4

( − + =

⇒ x x ⇒ x² −x−42=0

0 ) 7 )(

6

( + − =

⇒ x x ⇒ x=−6或x=7

但因但因x=−6時時，，x−4=−6−4=−10<0，不，不合合，，所所以以x=7。 。

(2(2)) 0

2 log 3

2

log ₁₆ ²

4

1 x+ x − =

2 0 3 2 log log 2 log 2

log + − =

⇒ − x x

0 log log

2 log 3 log 2

log + − =

−

⇒ x x ⇒ x= 8 ⇒x=8

5、求滿足下列不等式的x之所在範圍：

(1) 4^x−2^x <12 (2) (logx)² ≥(logx²)+3

答案答案：：((11)) 4^x−2^x <12 ⇒(2^x)² −2^x−12<0 ⇒(2^x +3)(2^x −4)<0 4

2 3< <

−

⇒ ^x

因為因為2^x恆為恆為正正數數，，故故0<2^x <4=2²，故，故−∞< x<2。。

(

(22)) (logx)² ≥logx² +3 ⇒(logx+1)(logx−3)≥0 3

log 1

log <− >

⇒ x 或 x

10 0< < 1

⇒ x 或或x>1000 6、解不等式log_x(3x−2)≥2，則其解的範圍為何？

答案答案：：((11))設設x>1 ∴∴3x−2≥ x² ∴∴1≤x≤2 ∴∴1< x≤2

(2(2))設設0<x<1 ∴∴3x−2≤x² ∴∴x≥2或或x≤1 ∴∴0< x<1 又

又自自然然限限制制為為3x−2>0 ∴∴ 3

> 2

x ∴∴ 1

3

2 <x< 或或1< x≤2

7、求滿足下列不等式的x值所在之範圍：

(1) log₃x>2 (2) log₃(x+4)≥2 (3) log_0.25x>−1 (4) −1<log_0.5 x≤1 答案答案：：((11)) log₃x>2⇒x>3² ⇒x>9

(2(2)) log₃(x+4)≥2⇒ x+4≥3² ⇒x≥5 (3(3)) log_0.25x>−1⇒5x<5 ⇒x<1 (

(44))

2 ) 1

2 (1 1 log

1< _0.5 ≤ ⇒ ¹ > ≥

− x ⁻ x

2 2> ≥ 1

⇒ x

㆔. 配合題 (每小題 5 分)

1、

圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) 圖(五)

圖(六) 圖(七) 圖(八) 圖(九) 圖(十) 設y =log_a x的圖形為圖(一)，則

(1)y=log_a x 的圖形為_____。 (2)y=−log_a x 的圖形為_____。

(3)y log₁( x)

a

−

= 的圖形為_____。 (4) y =log_a x的圖形為______。

答

答案案：：((11))圖圖((五五)) ((22))圖圖((八八)) ((33))圖圖((四四)) ((44))圖圖((十十)) 解

解析析：：

(1(1))y=log_a x的的圖圖形形為為圖圖((一一))

當當x>0時時y =log_a x，，當當x<0時時y=log_a(−x) ∴∴y=log_a x 的的圖圖形形為為圖圖((五五)) (2(2))當當log_a x>0時時y=−log_a x，，當當log_a x<0時時y =log_a x

∴∴y =−log_a x 之之圖圖形形為為圖圖((八八))

(3(3))y log₁( x) log_a( x)

a

−

−

=

−

= 是是y=log_a x以以原原點點為為中中心心的的對對稱稱圖圖形形，，故故其其圖圖形形為為圖圖((四四)) (4(4)) y =log_a x ∴∴log_a x>0，若，若y>0，，則則y=log_a x

若

若y<0，，則則y=−log_a x，故，故其其圖圖形形為為圖圖((十十))