高 中 數 學 （二）
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影 音 教 學 講 義
高 中 數 學（二）
郭 威 數 學
高 中 數 學 （ 二 ） 郭威數學
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名 師 課 程 系 列
1-1 數列
1-1-1 數列、等差數列與等比數列 1 數列的定義：
將一系列的數，依某一規則順序列出來，我們稱這一系列的數構成一個數列。
1 數列中的每一個數稱為它的項，第一個數是第一項，第二個數是第二項…，
第一項又稱為首項。
2 通常我們以 an表示一個數列的第 n 項，而以〈an〉表示第 n 項為 an的數列。
3 數列是一個 ；定義域為自然數 N 的函數。
例如：an＝3n＋2 即表示 a（n）＝3n＋2，nlN。
2 等差數列：
數列 a1，a2，a3，…，an，an+1，…，若滿足 ak+1－ak＝d 定數（klN），
則此數列成一等差數列。
1 設等差數列〈an〉的首項為 a1，公差為 d，則第 n 項 an＝a1＋（n－1）d。 2 三個數成等差，這三個數可設為 。
3 等比數列：
數列 a1，a2，a3，…，an，an+1，…，若滿足ak+1
ak
＝r 定數（klN），
則此數列成一等比數列。
1 設一等比數列〈an〉的首項為 a1（a1≠0），公比為 r（r≠0），
則第 n 項 an＝ 。
2 三個數成等比，這三個數可設為 。 4 若 a、b、c 成等差數列，則 b＝a+c
2 ，且稱 b 為 a、c 的等差中項。
若 a、b、c 成等比數列，則 b2＝ac，且稱 b 為 a、c 的等比中項。
第 1 章 數列與級數
高中數學(二) 第 1 章 數列與級數
11
已知數列一般項→列出前幾項
教學例題 1
1 試寫出數列〈3n－2〉的前五項。
2 試寫出數列
〈
4×（
23）
n〉
的前五項。3 設數列〈an〉的一般項為 an＝n（n-3）
2 ，n 為正整數，試寫出此數列的前五項。
解
類題練習 1-1
寫出以下各數列的前 6 項：
1 〈5n－3〉。
2 〈n2－n＋1〉。
3
〈
（-12）n+1n〉
。解
類題練習 1-2
1 試寫出數列〈2n－1〉的前五項。
2 設數列〈an〉的一般項為 an＝（－1）n1
n，試寫出此數列的前五項。
解
觀察規律性→寫出一般項
教學例題 2
試寫出以下各數列的一般項 an： 1 等差數列 1，5，9，13，17，…。
2 等比數列 4，4 3，4
9 ， 4 27， 4
81，…。
3 －1 2 ，1
5，－1 8， 1
11，－ 1
14，…。（分母是等差，每項正負號交錯）
解
類題練習 2-1
試觀察下列數列的規律性，並依此規律寫出下列數列的一般項 an： 1 2，4，6，8，10，……，則 an＝？
2 1，4，9，16，25，……，則 an＝？
3 1 2， 2
3，3 4，4
5，5
6，……，則 an＝？
解
類題練習 2-2
試找出下列各數列的規則，再以 n 表示其一般項 an： 1 1×2，2×3，3×4，4×5，……。
2 －2 3 ，4
7，－ 8 11，16
15，……。
高中數學(二) 第 1 章 數列與級數
13
數列【學測】
教學例題 3
設 a1，a2，……，a50 是從－1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1＋a2＋……＋a50
＝9 且（a1＋1）2＋（a2＋1）2＋……＋（a50＋1）2＝107，則 a1，a2，……，a50 當中有 幾項是 0？
解
類題練習 3-1
一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後退 2 步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以 1 步的距離為 1 單位長。令 P（n）表示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P（0）＝0。那麼下列 選項何者為真？
A P（3）＝3 B P（5）＝1 C P（10）＝2 D P（101）＝21 E P（103）＜P（104）
解
類題練習 3-2
平面上坐標皆為整數的點稱為格子點。我們將原點以外的格子點分層，方法如下：
若（acb）是原點（0c0）以外的格子點，且｜a｜和｜b｜中最大值為 n， 則稱（acb）是在第 n 層的格子點（例如（3c－4）是在第 4 層；
（8c－8）是在第 8 層）。則在第 15 層的格子點個數為 。
