簡介
- 符號定義
- 質數
- 篩法
- 其他質數檢查與因式分解演算法
如果我们想直接存储每个数字的因子，这是最好的复杂性，但如果我们只是想确定每个数字是否是素数，我们实际上可以做得更好。如果我们只判断它们是否是素数，那么上面的算法就像一个筛子，将每个数的倍数一一筛掉，所以也被称为埃拉托色尼筛。如果我们想要控制筛选方法的复杂度，实际上需要控制每个数字被筛选的次数，一个简单的优化就是只使用素数进行筛选。这个复杂度将演化为 θ(nlog logn)（因为定理 4 告诉你素数的倒数之和是 θ(log logn)）︒。 -位数加法只需要 θ(b) 时间，乘法和除法则需要 θ(blogb) 时间︒。
为了优化这种复杂性，一种可能的方法是减少一开始就可以是素数的候选者的数量。评估 n 个点的 d 次方程需要 O(dlogd+nlog2n) 时间证明。
數論函數
- 捲積
- 積性函數
- 關於一些函數增長的估計
- 預處理其他函數
- 關於整除的求和
积分函数的狄利克雷反函数是积分的。由于 Ω(n) 完全是可加的，因此刘维尔函数是积分函数的定义 24（特征函数）。所以实际上切比雪夫函数和素数是一样的。数函数的增长有一定的相关性︒事实上，利用下面的定理，我们可以估计π(n)logn和ϑ(n)︒之间的差异。
连续加法︒此时计算Arf(r)−Alf(l)−就非常简单了。利用下面两个引理，我们可以给出这三个函数的上界和下界引理3。而下界部分通过引理6也可以得到类似的结果。
上图中的程序代码中，f是一个乘积函数。只要我们知道如何填充里面的两个空格，我们就可以在 θ(n) 时间内对 f 进行预处理。让我们来看看一些著名的功能。这样如何对产品函数进行预处理。但对于更通用的功能，似乎我们需要找到更好的方法。最直接的办法就是维持p(n)和p(n)vp(n)(n)，这样我们就可以将每个数分为一个素数次方和一个互素数︒只要素数上的乘积函数可以在 O(logn) 内完成，其他素数的值可以在 O(√ . n) 内计算，该函数可以进行线性预处理。对于加性函数和完全加性函数也是如此。至于其他的功能，就需要根据不同的情况来发挥创意了。 。
因此，使用 Sf，我们可以将右侧分成数论块并重复。是时候了。作为常数，我们可以使用 O(Klog logK) 的线性滤波器来维护稳定的线段树，从而允许我们在 O(logK) 中搜索 φ(n, p)、p≤n ≤K︒ 并将其余部分，复杂度为RN/K。
因此，可以很容易地通过线性筛进行预处理，假设N≤M，可以在O(N)内预处理多个查询，然后可以对每个查询进行O(√.N)数论分块； single query 单个query要对N和M各做一次卷积（注意DN和DM中SχP=π的值可以很好计算），复杂度为。更一般地，如果 F =f *g 是两个全机械卷积函数的函数，则 XN。
模運算
- Z 與 Z / h n i 的結構
- 擴展歐幾里得演算法
- 二次剩餘
- 高次剩餘
- 原根
- 離散對數
至此，对于CHT，我们有所有结构(Z/hni)×︒。因此，上述定理保证，通过随机选择a，我们可以平均找到非二次残差a2−n︒ 给定n模的二次残差p可以找到x，使得在最坏情况下x2 eqn (mod p)︒ O(plogp)，预期时间复杂度为 O(logp)。
假设 n 是模 p 的二次余数，Tonelli-Shanks 算法可以找到一个 x 使得 x2 eqn (mod p)︒ 在最坏情况下时间为 O(plogp)，预期时间复杂度为 O(log2p)。扩展黎曼假设是正确的，这个最坏的复杂度可以降低到O(log3p)︒现在我们看看素数的幂︒根据其乘法群的性质，二次留数必须有两个平方根，并且根据亨塞尔引理，我们有
所以我们可以花费O(k)的时间，慢慢地从模8的情况︒上推。现在，如果对一个整数取模，我们可以首先对其每个因子进行处理，然后使用 CRT 返回以获得以下算法： 。如果 n 的因式分解已知，则可以在预期的 O(logn) 时间内找到 m 模 n 的平方根。
处理平方根情况后，我们再处理高阶根︒首先注意，对于固定的 r，我们都有一个开放的 r 根算法，其预期复杂度为 O(logp)︒。 n 模 p 剩下 r 次，Adelman-Manders-Miller 算法在最坏情况下可以执行 O(plogp)，预期为 O。
知道 p−1 的因式分解，我们可以在预期的 O(log2p) 时间内找到 Z/hpi 的原根。对于素数，也适用 φ(pk) = θ(pk)。 ，上述估计都是正确的，但我们仍然有以下特征。
附錄：代數
- 么半群
- 群
- 等價︑同餘和商群
- 同態
- 有限群結構定理
- 環
- 整環︑體
- ED, PID
- UFD
- 多項式環
如果x ⋆ y = e，则x称为y︒的逆元素（同理，y也是x的逆元素）。具有逆元素的元素称为可逆元素︒。 M×表示M中可逆元素的集合，称为酉群M︒。如果存在有限集 S ⊆G 使得 G=hSi，则称 G 是有限生成的。
如果 G 是有限的，则所有元素的序列可被 |G| 整除我们希望商集合能够成为一个（模态半）群，所以我们引入它。现在我们必须定义两个（模态半）群之间的映射︒一个合理的定义，即定义52（同态） 现在我们可以陈述本节最重要的定理。
在开始证明之前，我们需要一些引理︒。那么我们只需证明每个有限群都可以分解为群p︒的直积。请注意，对于理想 I、J，I·J 不一定是理想︒因此我们定义 IJ =hI·Ji︒。
对于理想的 I ⊆R，我们可以定义 R/I ={r+I|r ∈R} 上的加法和乘法，将其变成一个环，称为商环。对于既不是零因子也不是可逆的元素 p，如果对于所有 ab=p，我们有 a∈R× 或 b∈R×，那么我们说 p 是一个不可约元素︒。这意味着 hpi 是素理想），那么我们说 p 是素元素︒ 。
在PID中，所有不可约元素都是素数︒。Ii也是一个理想︒，因为它是有限生成的，我们假设I =hx1，。
