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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

6.2.3 隐函数及其微分法

6.2 6.2 多元函数微分法 多元函数微分法

第 第 6 6 章多元函数微分学 章多元函数微分学

6.2.3 隐函数及 其微分法

隐 函 数 及 其 微 分 法

内容小结 思考题

一个方程所确定的隐函数及其导数 方程组所确定的隐函数组及其导数 方程确定的隐函数及求导习例 2-5

习例 6 、 7

6.2 6.2 多元函数微分法 多元函数微分法







 0 ) , , (

0 ) , , . (

1 G x y z z y x F







 0 )

, , , (

0 )

, , , . (

2 G x y u v

v u y x F













) , (

) , (

) , ( .

3

v u z z

v u y y

v u x x

习例 8 、 9 习例 10 、 11 、 12

一、一个方程所确定的隐函数及其导数

定理 1. 设函

数 F(x, y)_在点

P ( x

₀

, y

₀

)

_{的某一邻域内满足}

; 0 )

,

(x₀ y₀  F

则方程 F(x, y)  0在点x₀

单值连续函数 y = f (x) , y₀  f (x₀), _并有连续

y x

F F x

y   d

d ( 隐函数求导公式 ) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

① 具有连续的偏导数 ;

的某邻域内可唯一确定一个 0

) ,

(x₀ y₀  F_y

②

③

满足条件 导数

0 ))

( ,

(x f x  F

两边对 x 求导 d 0

d 



 





x y y

F x

F

y x

F F x

y   d

d

 0 Fy

, 0

) , ( )

( 为方程 所确定的隐函数 设 y  f x F x y 

在(x₀ , y₀)_{的某邻域内}

则

若 F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续 ,

2 

2

d d

x y

y2

x x y y

x x

F

F F

F

F 





3

2

2 2

y

x y y y

x y x y

x x

F

F F

F F F

F

F  





y x

F

 F

) (

y x

F F y 



 

)

2 (

y x y

x y y y

y x

F F F

F F

F

F  

 二阶导数 :

) (

y x

F F x 



 x y

x x y d d

则还有

例 1. 验证方程sin y  e^x  xy 1  0 在点 (0,0) 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y  f (x),

d 0 , d d 0

d

2 2



 x x

y x x

y

解 : 令

F ( x , y )  sin y  e

^x

 x y  1 ,

, 0 )

0 , 0

( 

F

, y e

F_x  ^x  _连续 ,

由 定理 1 可知 ,

1 )

0 , 0

( 

Fy  0

①

, ) (x f y  导的隐函数

则 x y

F_y  cos 

②

③

在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可

且

并求

d 0

d x x  y

 0



 F x F

y x



  1

x y  cos

y e

^x



0 ,

0 

 y x

d 0 d

2 2

 x x

y

cos ) d (

d

x y

y e

x

x



 



)2

cos (

x y 





3

 ¹

00



 yy ) x

( e^x  y (cos y  x)  (e^x  y)(sin y  y 1) 1

, 0 ,

0    

 y y

x

 0

 x y

0 3 d

d

2

2 x   

x y

) ( ,

0 1

sin y  e^x  xy   y  y x

y y   cos

两边对 x 求导

1 两边再对 x 求 

导 y y y

y     

 sin ( )² cos

令 x = 0 , 注意此时y  0 , y  1

 0

 

 

 

 e^x y y x y ex

  y  xy  0 cos y x (0,0) y

e^x



 

 导数的另一求法 — 利用隐函数求导

定理 2.

; 0 )

, ,

( )

3 (

; 0 )

, ,

( ) 2 (

; )

, (

) , , ( ) 1 (

0 0

0

0 0

0

0



 z

y x

F

z y x

F

P U z

y x F

z

内有连续偏导数 在

若 

. ,

) 2 (

);

, (

), ,

(

) , (

0 )

, , ( ) 1 (

0 0

0 0

z y z

x

F F y

z F

F x

z

y x

f z

y x f z

P U z

y x F



 

 

 









有连续偏导数

且 连续函数

内唯一确定了单值 在

则 

注意 : (1) 证明从略 , 求导公式推导如下 :

, 0 )]

, ( , ,

[x y f x y 

F

,

 0



 



 x

F z

F_{x z}  0,



 

 y

F z F_{y z} ,

0 F_z 

又 , .

z y z

x

F F y

z F

F x

z  



 

 

 

则 若 0,

2)

( F_x 

.

,

x z x

y

F F z

x F

F y

x  



 

 



(3) 也可求二阶偏导 .

方程确定的隐函数及求导习例

. ,

0 4

2 ₂

2 2 2

2

x z z

z y

x 

 





 求

设 例

.

, 0 )

, ( ,

) , (

3

dz

z y z F x y

x F 求

已知方程 具有连续偏导数

设

例 

. ,

, ),

, (

5 z

y y

x x

xyz z z

y x

f

z 









 



 求

设 例

. :

, 0

) ,

( )

, (

4

xy y z

y z x

x z

x y z

y x z

F y

x z z



 

 











 证明

所确定 由

函数 例

例 2. 设x²  y²  z²  4z  0, 解法 1 利用隐函数求导

0 4

2

2 



 



 

x z x

z z x

x z z

 





2

2 2

z x x

z

 





2



2 2( )² x z





2 2

2 x

z z



  4 ²₂  0



 

x z )2

(

1 x

z



 

3 2 2

) 2

(

) 2

(

z

x z





 

2 .

2

x z

 求 

再对 x 求导

解法 2 利用公

式设 F(x, y, z)  x²  y²  z²  4z 则 F_x  2x,

z x

F F x

z  



 

两边对 x 求偏 导

2 )

2 (

2

z x x x

z





 





)2

2 (

) 2

(

z

x x z z





 



 ² ₃ ²

) 2

(

) 2

(

z

x z





 

 2



 z x

z x

  2 4

2 

 z F_z

z x

F F x

z  







 

 x z

例 3.设 F( x , y) 具有连续偏导数 , ( , )  0, z

y z F x .

dz 求

解法 1 利用偏导数公式 .设 z  f (x, y) 是由方程 0

) ,

( 

z y z F x



 

 y z

2 1

2

F y F

x

F z

 



 

2 1

1

F y F

x

F z

 



 

y y x z

x

z z d d

d 

 



 

F₁  ¹z 1 

F ( ₂ )

z

 x  F₂  ( ₂ )

z

 y

F₂  ¹z

确定的隐函数 ,

) d d

( _{1 2}

2 1

y F

x F F

y F

x

z   

 

  则

) (

)

( _{2 2 2}

1 z

y z

x F

F      

已知方程

故

对方程两边求微分 :

1



F

) d d

(

d

_{1 2}

2 1

y F

x F F

y F

x

z z   

 

 

d ) ( d

₂

z

z x x

z  z z

F y F

x

¹

 

₂ ²

 d

z

y F

x

F

₁

 d 

₂

 d



解法 2 微分法 .

0 )

,

( 

z y z

F x

d ) ( d

₂

z

z y y

z  )

( d z

x  F

₂

  d ( )  0 z

y

1



F  F

₂

   0



 



  



 x

y z y x z

F z

y

x, , ) ,

令 (

 

_{1 2 2}

2 2 1

, 1 F

x F z

x F z

x F    













 

 





_{1 2}



² _{2 1 2}

1

, F F

y y z

z F

y F     















  

 

 解法 1

. :

, 0

) ,

( )

, (

4

xy y z

y z x

x z

x y z

y x z

F y

x z z



 

 











 证明

所确定 由

函数 例



_{1 2}

 ¹

₁

¹

₂

1 1

, F

F x y x

F y

z

F    



 







 







 



) , (

) (

2 1

2 1 2

F y F

x x

F x F

z y x

z

z

x   

 

 



 

 

 

) (

) (

2 1

2 2 1

F y F

x y

F y F

z x y

z

z y

 



 

 



 

 



代入所证等式的左边即可得结论 .

解法 2 ,   0



 



  

x y z

y x z

F

等式两边对 x 求偏导得：

 

⁰

1 1 1 ,

2 2

1 

















 

 

 





x z x

z x

x z F y

F

0 1 )

( 1 )

1

( _{2 2}

1  



 

 

 

 x

z x

z F x

x z F y

即 x

z



 

0 1 )

1 ( 1 )

( _{2 2}

1 



 

 

 

 

y z F x

y z y

z F y

同理可得 y

z



  代入所证等式左边即可得结论成立 .

解法 1 令F(x, y, z)  f (x  y  z, xyz)  z,

2,

1 yzf f

F_x  

则 F_y  f₁  xzf₂, F_z  f₁  xyf₂  1,

z x

F F x

z  



 

2 1

1

2

1 



 

 f xyf yzf

f ;

1 _{1 2}

2 1

xyf f

yzf f





 

x y

F F y

x  



 ;

2 1

2 1

yzf f

xzf f



 



y z

F F z

y  





2 1

2

1 1

xzf f

xyf f





 

 1 .

2 1

2 1

xzf f

xyf f





 

. ,

, ),

, (

5 z

y y

x x

xyz z z

y x

f

z 









 



 求

设

例

解法 2 求 时, z为函数, x, y为自变量. x

z





求偏导得 两边对x

xyz z

y x

f

z  (   , ),



x z





₁ (1 ) x f z



 



 ₂ ( ),

x xy z yz

f 

 





1 _{1 2} ;

2 1

xyf f

yzf f

x z





 



 

. ,

,

, 为函数 为自变量

时

求 x y z y

x





求偏导得 两边对y

xyz z

y x

f

z  (   , ),



) 1 (

0 ₁ 



 

 y

f x ₂ ( ),

y yz x xz

f 

 





;

2 1

2 1

yzf f

xzf f

y x



 

 

 

. ,

,

, 为函数 为自变量

时

求 y x z z

y





求偏导得 两边对z

xyz z

y x

f

z  (   , ),



) 1 (

1 ₁ 



 

 z

f y ₂ ( ),

z xz y xy

f 

 





1 .

2 1

2 1

xzf f

xyf f

z y





 



 

解法 3 利用两边全微分也可得到所求 .

二、方程组所确定的隐函数组及其导数

在此举例说明求偏导的方法 , 方程组确定的隐函数 一般有以下几种情形 :







 0 )

, , (

0 )

, , . (

1 G x y z

z y x

F 确定了两个一元函数 .







 0 )

, , , (

0 )

, , , . (

2 G x y u v

v u y x

F 确定了两个二元函数 .













) , (

) , (

) , ( .

3

v u z z

v u y y

v u x x

确定了一个以 u,v 为中间变量

x,y 为自变量的二元函数 z=z(x , y).







 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x 方程组 F

, ,G C¹

F 

情形 2---1

0 0 0

0 0 0 0 0 0

96 2.13

(1) ( , , ), ( , , ) ( , , ) ;

(2) , ;

(3) ( , , ) ( , , ) 0;

( , )

(4) 0;

( , )

y z

y z

P

F x y z G x y z x y z D

F G D

F x y z G x y z

F F

F G

G G

y z

 

  



定理设

在含点的一个开区域上连续 在上有连续的偏导数

(4) 式为雅可比行列式

0 0

(1) 0

( , ) ( ),

( ), ( , ( ), ( )) 0

( , ( ), ( )) 0 ,

y y x

x x

z z x F x y x z x

G x y x z x x



 



 

     

 

   



存在和定在

上惟一的

使得

则 ^义

函数

定理中隐函数存在的 证明从略 , 仅就求导 公式推导如下 :

定理：

得 求导

对

的两边 对方程组

利用隐函数求导的方法

,

0 ))

( ), ( , (

0 ))

( ), ( , (

,

x

x z x y x G

x z x y x F















 



 





 



 





0 0 z

G y

G G

z F

y F

F

z y

x

z y

x









 



 





 



 

 

x z

y

x z

y

G z

G y

G

F z

F y

F

( , )

0( ),

( , )

y z

yz

y z

F F F G

G G J y z

  

若即 

由克莱姆法则 , 知

( , ) ( , ) ( , )

( , )

x z

x z

y z

y z

F F F G

G G

dy x z

F F F G dx

G G y z



    



( , ) ( , ) ( , )

( , )

y x

y x

y z

y z

F F F G

G G

dz y x

F F F G dx

G G y z



    



xz yz

J

  J

yx yz

J

  J

同理可得 (2)

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , )

x z

x z

y z

y z

y x

y x

y z

y z

F F F G

G G

dy x z

F F F G dx

G G y z

F F F G

G G

dz y x

F F F G dx

G G y z



    







    





xz yz

J

  J

yx yz

J

  J

2 2

2 2 2

6. 2 3 20

( ), ( ) ,

z x y

x y z

dz dy z z x y y x

dx dx

  



  



 

例求由方程组所确定的隐函数

的导数

( , , , )

7 ( , ) ( , , ) 0 , ,

( , ) 0 ( , )

( , ) 0,

u f x y z t

u u x y g y z t f g h

h z t

g h u

J z t y

 

  

 



 

 

 

例设由确定,其中均可微, 且求

2 2

2 2 2

6. 2 3 20

( ), ( ) ,

z x y

x y z

dz dy z z x y y x

dx dx

  



  



 

例求由方程组所确定的隐函数

的导数

2 2

2 2 2

: ( ) ( , , )

( , , ) 2 3 20

F x y z x y z

G x y z x y z

  

   

解公式法令

( , ) ( , )

yz

J F G

y z

  

 _{4 6} ^{12 4 0}

1

2    

 yz y

z y

y G

G

F F

z y

z y

( , ) ( , )

xz

J F G

x z

  



xz x

z x

x G

G

F F

z x

z

x

12 2

6 2

1

2   



( , ) ( , )

yx

J F G

y x

 



2 2

4 8 4

4 2

y x

y x

F F y x

xy xy xy

G G y x

     

xz yz

dy J

dx J

  

3

xy yz y

6 ,

6 2

xz x yz y

  



yx yz

dz J

dx   J 

( , , , )

7 ( , ) ( , , ) 0 , ,

( , ) 0 ( , )

( , ) 0,

u f x y z t

u u x y g y z t f g h

h z t

g h u

J z t y

 

  

 



 

 

 

例设由确定,其中均可微,

且求

( , , ) 0 ( , )

: 0,

( , ) ( , ) 0

g y z t g h

z t h z t

 

     

解由知由确定 z

( ), ( )

z  z y t  t y

^{2 3} _{2 2 3 1}

1 2

( , ) ( , ) 0

zt

g g

J g h g h g h

h h z t

     



1 3 2 1

1 2 1 1

2 1

, ,

0 0

yt zy

g g g g

J g h J g h

h h

  1 _{1 2}   1 _{1 1}

yt , zy

zt zt

J J

dz dt

g h g h

dy J J dy J J

        

2 3 4 2 1 3 2 4 1

1 ( )

u dz dt

f f f f g f h f h

y dy dy J

        



定理 .

, 0 )

, ,

,

(x₀ y₀ u₀ v₀  F

的某一邻域内具有连续偏 设函数

) ,

, ,

(x₀ y₀ u₀ v₀ P

) , , , ( ,

) , , ,

(x y u v G x y u v F

则方程组 F(x, y, u, v)  0, G (x, y, u,v)  0

③

) ,

(x₀ y₀ 在点

的单值连续函数 u  u(x, y), v  v(x, y), 且有偏导数公式 :

① 在点

②

的某一邻域内可唯一确定一组满足条件

满足 :

) 0 , (

) ,

( 



 

v P

u G F J P

; 0 )

, ,

,

(x₀ y₀ u₀ v₀  G

导数；

, ) ,

( _{0 0}

0 u x y

u  )

, ( _{0 0}

0 v x y

v 

情形 2---2

1 ( , ) ( , )

u F G

x J x v

    

 

) , (

) ,

( 1

v y

G F J

y u



 

 



) ,

(

) ,

( 1

x u

G F J

x v



 

 



) ,

(

) ,

( 1

y u

G F J

y v



 

 



1 v

u v v

u v

F

F F G

G G

  

v v

v u

v

u G

F G

G

F F

 1



u u

v u

v

u G

F G

G

F F

 1



u u

v u

v

u G

F G

G

F F

 1



x x

G F

y y

G F

x x

G F

y y

G F

xv uv

J

  J

yv uv

J

  J

ux uv

J

  J

uy uv

J

  J

定理中隐函数存在的 证明从略 , 仅就求导 公式推导如下 :







 0 ))

, ( ), ,

( , , (

0 ))

, ( ), ,

( , , (

y x v y

x u y x G

y x v y

x u y x F

, , 的线性方程组 这是关于 x

v x

u















 0 )

, , , (

0 )

, , , (

v u y x G

v u y x

F 有隐函数组 则

两边对 x 求导 得

) , , (

) , (









y x v v

y x u 设方程组 u

,

 0



v u

v u

G G

F J F

在点 P 的某邻域 内

 



^ _^u_x ^ _^v_x

x u



 

x v



 

Fx  F_u  F_v  0

Gx  G_u  G_v ^{ 0}

系数行列式 故得

) , (

) ,

( 1

v x

G F J

x u



 

 



) , (

) ,

( 1

x u

G F J

x v



 

 



xv uv

J

  J

ux uv

J

  J

同样可得

) , (

) ,

( 1

v y

G F J

y u



 

 



) ,

(

) ,

( 1

y u

G F J

y v



 

 



yv uv

J

  J

uy uv

J

  J

例 8.

设 x u  y v  0, y u  x v 1, , , , . y v x

v y

u x

u













 求 

2

( , )

, , ,

( , )

, .

u f ux v y v g u x v y f g

u v x x

 



 



 

 

设其中具有一阶连续偏导数

求

例 9

例 8.

设 x u  y v  0, y u  x v  1, , , , . y v x

v y

u x

u















 解 :

x y

y J x 



J x

u  1





2

2 y

x

v x u

y y

u



 

 

 方程组两边对 x 求导，并移项得

求

x v x v x

y u  



 





x v

y u







2

2 y

x

v y u

x



 

 v

y

u x



 J

x

v  1



 x2 y2

u y v

x



 



练习 :

求 y

v y

u







 , x u

y v x

x u  



 





2 0

2  

 x y

2

2 y

x

v y u

x y

v



 

 

 答案 : 由题设

故有

2

( , )

, , ,

( , )

, .

u f ux v y v g u x v y f g

u v x x

 



 



 

 

设其中具有一阶连续偏导数

求

例 9

解 . 方程组两边对 x 求偏导得

1 2

( )

u u v

x u f f

x x x

      

  

1 2

( 1) 2

v u v

g yv g

x x x

       

  

. , x

v x

u





 由此可求得 













) , (

) , (

) , ( .

3

v u z z

v u y y

v u x x

确定了一个以 u,v 为中间变量

x,y 为自变量的二元函数 z=z(x , y).

情形 2---3

2 2 3 3

10 , , , z , z

x u v y u v z u v

x y

        例设求  

11. ( , ) , ,

u v u v

x e z z

z z x y y e

x y z uv





   

     

例设函数由方程组所确定求

解 



















2 2

3 3

v u

y

v u

x

v u

z 确定了一个以 u,v 为中间变量 x,y 为自变量的二元函数 .

方程组两边对 y 求偏导得

















 



 





y v v

y u u

y

z _{2 2}

3 3

y v y

u



 



  0

y v v y

u u



 



 2  2 1

, .

u u z

y y y

  

  

从(2)(3)式中求解出与再代入(1)式即得

2 2 3 3

10 , , , z , z

x u v y u v z u v

x y

        例设求  

②

③

①

同样地 :

求偏导得 两边对

也可由 x

v u

z

v u

y

v u

x



















3 3

2 2

















 



 







 



 



 



 

x v v

x u u

x z

x v v x

u u

x v x

u

2

2 3

3

2 2

0 1

 



 

x z