台北市立建國高級中學
105 學年度 數學科 暑假作業
數學女孩秘密筆記 : 圓圓的三角函數篇
班 級: 一年七班
姓 名: 李 承 霖 座 號 : 9 號
目 錄
一、本書概要內容
1. 三角函數基本定義a.正弦函數(sin) b.
餘弦函數
(cos) 2. 利薩如圖形3. 向量與座標旋轉基本概念 a.向量與向量加法 b.
旋轉座標概念
4.圓周率a.利用方格面積逼近圓面積
b.
利用阿基米德的正多邊形逼近圓周長
5.和角定理與旋轉公式a.和角定理 b.旋轉公式
二、讀書心得
θ
一、概要內容
1.
三角函數基本定義：
a.正弦函數(sin)
透過最基礎的方法，利用直角三角形進行觀察，發現角度與邊的關係。當角度(θ)固定 時，將斜邊(c)拉長或縮短，可以找出：勾(a)、股(b)與c成等比例增長，但是三邊的比例 仍然固定不變。所以可以得知:直角三角形中，當θ固定時，a/c的值固定不變，且θ為決 定a/c值的變數。最後就可以導出函數：
sin θ =a/c
(以下即為其函數圖形)
b.
餘弦函數
(cos)運用同樣的方法，同樣發現:當角度(θ)固定時，a、b和c成等比例增長。所以我們同 樣可以得知: 當θ固定時，b/c的值固定不變，且θ為決定b/c值的變數。最後也導出函 數：
cosθ=b/c
(以下即為其函數圖形)2.
利薩如圖形
利薩如圖形是一種三角函數的表示方法，透過一個正圓做出如以下方程式的座標格線
(x,y)=(cosθ,sinθ)
而我們變動y座標，使其加上一個起始角度(ψ)，變成：
(x,y)=(cosθ,sin(θ+ψ))
發現會使原本的圓形變成橢圓形，而且當ψ>0時，會使原本圓形的左上方與右下方往中心壓 縮；相反地，當ψ<0時，就會將圓形的右上方與左下方向中心壓縮；而當ψ=0時，圖形則為 正圓。另外一種情況，我們將θ倍增，使其變成：
(x,y)=(cosθ,sin(2θ+ψ)) 發現圖形變成了蝴蝶狀的圖形(如下圖ψ=0)，
透過ψ的大小改變，可以使圖形向下凹陷或向上隆起，而將 θ的係數增大則會使圖形變 得像一張網子(如下圖)；相反地，θ的係數減小的時候會使圖中線段交叉點的數量減少。而這 種圖形可以運用於電學，表示電波頻率改變的圖形，能夠廣泛地運用。
3.向量與旋轉座標基本概念 a.向量與向量加法
同時具有方向性和數值的量值，通常用(x,y)表示，而其中x代表x方向的量值，y
代表y方向的量值。假設u=(x,y),v=(z,t)，則我們可以運用向量加法將u與v相加，
法則即為同向量值相加，使x方向量值增為x+t，y方向量值增為y+t，得到：
k=u+v=(x+z,y+t)
(如下圖)
b.旋轉座標概念
旋轉座標即是將圖形以圓點為中心旋轉，首先就從最基本的點旋轉為基礎，又以x、y 軸上的點為基礎做旋轉。假設x軸上有一點(x,0)，旋轉後的座標為(x’,y’)，而旋轉的 角度為θ(90o≧θ≧0o)，我們可以發現：
x’=xcosθ,y’=xsinθ
(如同從圖中的B點旋轉到C點)
而我們再假設 y軸上有一點(0,y)，旋轉後的座標為(x”,y”)，旋轉的角度為θ (90o≧θ≧0o)，最後找出關係式：
x”=-ysinθ,y”=ycosθ
(如同從圖中的B點旋轉到C點)
4.圓周率
a.利用方格面積逼近圓面積
藉由圓面積公式，我們可以得知：
π=S/r2 (S為圓面積，r為半徑)
首先將作正圓於102的方格的方格中，發現344>S>276，若要得到π的範圍，則 須將344與276兩數都除以102，得到的範圍為：
3.44>π>2.76
為 了 逼 近 圓 周 率 ， 使 範 圍 縮 小 ， 我 們 將 正 圓 畫 於 502個 格 子 ， 可 以 發 現: 7988>S>7636，若要得到π的範圍，就必須將7988與7636都除以502，最後可以 算出π的範圍是：
3.1952>π>3.0544 b.利用阿基米德的正多邊形逼近圓周長
藉由圓周長公式，我們可以得知：
π=l/2r (l為圓周長，r為半徑)
當我們在正圓(r=1)上做一內接正n邊形與外切正n邊形時，我們假設內接正n邊形 的邊長為2an，外接正n邊形的邊長為2an’，內接正n邊形中一邊長的弦心距為dn，則可 以得知：
an:dn=an’:1, an’=an/dn.
而根據勾股定理，可以知道：
an2=1-dn2,
an=sqrt(1-dn2). (因為an必須大於0)
為了使內接正n多邊形周長逼近l，我們將內接正n多邊形改為內接正2n多邊形，所以：
[(dn+1)/2]:d2n=d2n:1, d2n2=(dn+1)/2,
d2n=sqrt[(dn+1)/2]. (因為d2n大於0)
所以新的弦心距d2n則為sqrt[(1+dn)/2]，而且n越大，可以使內、外接正n多邊 形更加逼近l。於是我們選用內接正96邊形與外切正96邊形，最後得到：
由 an’=an/dn
an=sqrt(1-dn2) d2n=sqrt[(1+dn)/2]
Ln=2nan (Ln與Mn分別為內接正n邊形及外切正n邊形)
Mn=2nan’ (n為內切與外切正多邊形的邊數)
可知 Mn>l>Ln
所以經過計算後，
d96=sqrt[(1+d48)/2]≒0.999464587 a96=sqrt(1-d962)≒0.032719107, a96’=a96/d96≒0.032736634,
L96/2=96a96≒3.141034272, M96/2=96a96’≒3.142716864,
得出
3.142716864>π>3.141034272.5.
和角定理與旋轉公式
a.
和角定理
和角定理可以用一公式描述(θ1=角BAE,θ2=角DAE) ： sin(θ1+θ2)=sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2
prove
：
sin(θ1+θ2)=k+q,
k+q=sinθ2cosθ1+cosθ2sinθ1,
sin(θ1+θ2)=cosθ2sinθ1+sinθ2cosθ1 證畢.
b.
旋轉公式
藉由前面的向量與座標旋轉基本概念，我們將點座標設置於第一象限內，我們可以 得知：
x’=xcosθ-ysinθ,y’=xsinθ+ycosθ
而我們發現以上式子可以運用矩陣的乘法運算法則進行計算，如以下方程式：
θ1
θ2
(x’;y’)=(cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ)*(x;y)
我們也可以透過此事證出和角公式：
(cos(θ1+θ2);sin(θ1+θ2))=(cosθ2,-sinθ2;sinθ2,cosθ2)*(cosθ1,sinθ1)
若要旋轉n次，旋轉公式則為：
(x’;y’)=(cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ)n*(x;y)
二、讀書心得
雖然三角函數的理論，對一般的民眾來說彷彿天方夜譚般難以理解，但事實上，在我 們的日常生活中卻處處可見有關三角函數概念的運用。這個彷彿只是由一堆數學方程式所 描述出的觀念，只要用心去發掘也能夠找到許多應用的實例。譬如像無障礙坡道，它就是 透過三角函數來算出斜坡之高與長的比值，以利施工，讓使用者可以既省力又不至於因坡 度太陡而產生危險。我們可以了解沿斜坡上升所需的力為mgsinθ(θ為斜坡角度)，當θ愈 大時，所需施的力也越大，而當θ變小時，則只需施較小的力即可，由此可知:當m固定時，
θ具有關鍵性，可以決定所需施力的大小，所以無障礙斜坡的坡度總是幾乎很小。而這即可 以歸功於三角函數，是三角函數賦予θ如此強大的威力，才能關鍵性地決定物理現象的結 果。
又或者如書中所說的示波器的電波圖也是利用利薩如圖形所畫出。除此之外，像是向 量的內、外積(假設兩向量在二維平面且θ1>θ2)，也是利用到三角函數的概念:
向量的內積： xycos(θ1-θ2)=xcosθ1ycosθ2-xsinθ1ysinθ2
還有向量的外積：
xysin(θ1-θ2)=abs(det(i,j,k;xcosθ1,xsinθ1,0;ycosθ2,ysinθ2,0))
=abs(xcosθ1ysinθ2-xsinθ1ycosθ2k)
=xsinθ1ycosθ2-xcosθ1ysinθ2
由此可知，三角函數在向量上也佔有相當的地位，而且也和我們的生活息息相關，可 說是處處可見三角函數的運用，例如在毛細現象中，因為分子間相互吸引之作用力關係 (附著力與內聚力)產生毛細管內外液面高度差(y)的公式：
y=2Tcosθ/ρgr
(T為表面張力，θ為液體與毛細管接觸處，液面的切線方向經液體內部與固體間的夾角，
ρ為液體密度，g為重力加速度，r為毛細管半徑)由此式可知:當液體為水時，其附著力 大於內聚力，導致0o<θ<90o，使y值為正，代表毛細管中的液面高度高於管外液面高度；
相反地，當液體為水銀時，其附著力小於內聚力，導致90o<θ<180o，使y值為負，顯示 毛細管中的液面高度反而低於管外液面高度。僅僅一個θ即可使一個常見的物理現象產生 大大的變化，可見三角函數的威力是不容小覷的。
另外，像是在颱風天容易出現於山坡地的土石流也是一個經典的三角函數應用例子，
因為斜坡和重力可以造成斜面下滑加速度gsinθ，而當坡度介於15o~30o時最容易產生土 石流，因為當角度大於30o時，不易累積水分與鬆動的土石；而角度小於15o時，則因為 下滑力不足，導致不易使土石下滑，而這一切肇因皆可透過三角函數來加以分析與預防。
此外，像沙漠中常見的全反射幻象，也是有應用到三角函數中的「司乃爾定律」
n1sinθ1=n2sinθ2
(n1為入射線所處之介質折射率，n2為折射線所處之介質折射率，θ1為入射角，θ2則為折 射角)當sinθ1≧n2/n1時，θ2會大於90o，即產生全反射現象，而將地面上的影像全反射 至天空中，如海市蜃樓就是此類的例子，由此再次證明三角函數在物理現象中的威力。
另外，書中推算圓周率的方法也相當有趣，透過單位增量進行逼近，將數據的差值縮 小，並求得範圍，抑或是座標轉換的公式、矩陣的運算，看了都令人嘖嘖稱奇。總之，我從 這本書中學到了很多有關三角函數的新知，如果有機會，我一定會更深入研究三角函數，
了解更多三角函數的應用原理!
