xn) > 0, (2) f(x1,x2

ÓLŒÆ

p “ê† ) ÛAÛ

“ µ ö“ ö

nÆêÆX

§10.5 ½g.†½Ý

½Â. ¢g.f(x₁, x₂,· · · , x_n) = X^tAX, é?¿˜|؏"¢êx₁,x₂,· · · , x_n. (1) XJokf(x₁, x₂,· · · , x_n) > 0, K¡Tg.½.

(2) XJokf(x₁, x₂,· · · , x_n) ≥ 0, K¡Tg.Œ½.

(3) XJokf(x₁, x₂,· · · , x_n) < 0, K¡Tg.K½. (4) XJokf(x₁, x₂,· · · , x_n) ≤ 0, K¡Tg.ŒK½.

(5) XJg.f(x₁, x₂,· · · , x_n) QkŒu"qku", K¡Tg.Ø½..

`². †½g.éA¢é¡¡½, †Œ½g.éA¢é¡¡Œ

½, †K½g.éA¢é¡¡K½, †ŒK½g.éA¢é¡¡

ŒK½.

~. g.f´IO/:

f(x₁, x₂,· · · , x_n) = d₁x²₁ + · · ·+d_nx²_n d_i > 0 (i = 1,2,· · · , n)ž, Kf´½.

d_i < 0 (i = 1,2,· · · , n)ž, Kf´K½. d_i ≥ 0 (i = 1,2,· · · , n)ž, Kf´Œ½.

d_i ≤ 0 (i = 1,2,· · · , n)ž, Kf´ŒK½.

d₁, d₂,· · · , d_n¥QkŒu"qku"ž, Kf´ŒK½.

¤±˜‡é´½¿‡^‡´é‚þƒÑŒu", ˜‡é´Œ½¿‡^

‡´é‚þƒÑŒuu", ˜‡é´K½¿‡^‡´é‚þƒÑu

", ˜‡é´ŒK½¿‡^‡´é‚þƒÑuu".

·K. Œ_CþO†X = P Y ±¢g.f(x₁, x₂,· · · , x_n) ½5ØC. y².

f(x₁, x₂,· · · , x_n) = X^tAX Kf²Œ_CþO†X = P Y z

g(y₁, y₂,· · · , y_n) = Y^tBY ùpB = P^tAP.

XJf´½.´g(y₁, y₂,· · · , y_n) Ø´½., K3˜|؏"¢êy_i = c_i (i = 1,2,· · · , n), ¦g(c₁,· · · , c_n) ≤ 0.







 d₁ d₂ ...

d_n









= P







 c₁ c₂ ...

c_n









P C =







 c₁ c₂ ...

c_n









D =







 d₁ d₂ ...

d_n









ϏPŒ_, ¤±d₁, d₂,· · · , d_nØ".

0 ≥ g(c₁, c₂,· · · , c_n) = C^tBC = C^tP^tAP C = D^tAD = f(d₁, d₂,· · · , d_n) Ù¥C = (c₁· · · , c_n)^t, D = (d₁,· · · , d_n)^t. ù†g.X^tAX´½.gñ.

íØ. ÝÜÓØUCݽ5.

`². lþ¡·Ky²Œ±N´wÑ, ù‡·KéuK½, Œ½, ŒK½¤á.

½Â. nA = (a_ij)fª

D_i =

a₁₁ a₁₂ · · · a_1i a₂₁ a₂₂ · · · a_2i

· · · · a_i1 a_i2 · · · a_ii

(i = 1,2,· · · , n)

¡A1i^SÌfª.

·K. ¢g.f(x₁, x₂,· · · , x_n) = X^tAX, XJA¤k^SÌfªÑØu", K

3Œ_C†X = P Y, ¦f²Œ_C† C¤

D₁y²₁ + D₂

D₁y₂² + · · ·+ D_i

D_i−1y_i² + · · ·+ D_n D_n−1y_n²

y². dy²AÜÓuédiag{D₁, ^D_D²

1,· · · ,_D^Dn

n−1}, éAê?1êÆ8B, A ê´1ž, (Øw,¤á,8Bbn−1¤á, Aênž, P

A_i =









a₁₁ a₁₂ · · · a_1i a₂₁ a₂₂ · · · a_2i

· · · · a_i1 a_i2 · · · a_ii









A =

A_n−1 β^t β a_nn

P₁ =

E_n−1 0

−βA⁻¹_n−1 1

K

P₁AP₁^T =

E_n−1 0

−βA⁻¹_n−1 1

A_n−1 β^t β a_nn

E_n−1 −A⁻¹_n−1β^T

0 1

=

A_n−1 0

0 a_nn −βA_n−1β^T

ü>1ª

D_n = |A| = |P₁AP₁^T| = |A_n−1|(a_nn −βA_n−1β^T) = D_n−1(a_nn −βA_n−1β^T) ddíÑ

a_nn −βA_n−1β^T = D_n D_n−1

¤±

P₁AP₁^T =

A_n−1 0 0 _D^Dn

n−1

duA_n−1´n −1Ý, d8Bb(ؤá, 25¿A_n−1^SÌfªÒ´A^SÌ fª, ¤±3Œ_P₂¦

P₂A_n−1P₂^T = diag{D₁,D₂

D₁,· · · ,D_n−2 D_n−1}

-

P =

P₂ 0 0 1

P₁

K

P AP^T = diag{D₁,D₂

D₁,· · · , D_n D_n−1}

½n. ¢g.f(x₁, x₂,· · · , x_n) = X^tAX÷vXed^‡ƒ˜ž, §˜½´½.. (1) é¤k؏"X = (x₁, x₂,· · · , x_n)^t ∈ RⁿÑkX^tAX > 0,

(2) é¡A¤kAŠλ₁, λ₂,· · · , λ_nŒu"

(3) é¡A.5êp = R(A) = n.

(4) A†ü EÜÓ

(5) A¤k^SÌfªŒu".

y². (1) ⇒ (2) ϏA´ ¢é¡, ¤±3O, ¦O^tAO = O⁻¹AO =

diag{λ₁, λ₂,· · · , λ_n}, ¤±²CþO†X = OY , X^tAXŒzIO/

X^tAX = Y^t(O^tAO)Y = λ₁y₁² + · · ·+ λ_ny²_n

d uŒ_CþO†ØUC½5, ¤±λ₁y₁² + · · · + λ_ny²_n ´½., u´λ_i > 0 (i = 1,2,· · · , n).

(2) ⇒ (3) ¢g.f(x₁, x₂,· · · , x_n) = X^tAXŒ±²LCþO†X = OY zIO/

λ₁y₁² + λ₂y₂² + · · ·+λ_ny_n²

Ù¥λ₁, λ₂,· · · , λ_n´ÝA¤kAŠŒu", u´¢g.IO/¥, š"²‘

‡êug.; ²‘‡êug..5ê. Ïd, R(A) =.5

ê= n.

(3) ⇒ (4) duR(A) =.5ê= n, ¤±A†ü EÜÓ.

(4) ⇒ (5) duA†ü EÜÓ, ¢g.X^tAX²Œ_CþO†X = P ZŒz5‰/

z₁² +z₂² + · · ·+ z_n²

§,´½.. duŒ_C†ØUC½5, g.X^tAX7½..

XJA,‡^SÌfªD_i = 0, A_iD_iéAAfÝ, KA_i،_, ¤±3˜|

؏"êc₁, c₂,· · · , c_i¦

A_i







 c₁ c₂ ...

c_i









= 0

P

A =

A_i B^T B C

X =



















 c₁ c₂ ...

c_i 0...

0





















K

X^TAX = 0

ù†f´½gñ. ¤±A¤k^SÌfªÑØu", ÏdfŒ±²Œ_C† C¤

D₁y²₁ + D₂

D₁y₂² + · · ·+ D_i

D_i−1y_i² + · · ·+ D_n D_n−1y_n²

duf´½¤±

D₁ > 0,D₂

D₁ > 0,· · · , D_n

D_n−1 > 0 ddíÑ

D₁ > 0, D₂ > 0,· · · , D_n > 0

(5) ⇒ (1) duA¤k^SÌfªÑŒu", ¤±fŒ±²Œ_C† C¤

D₁y²₁ + D₂

D₁y₂² + · · ·+ D_i

D_i−1y_i² + · · ·+ D_n D_n−1y_n²

duXêьu", ¤±´½, duŒ_C†ØUC½5, ¤±f´½.

íØ. é¡A½¿©7‡^‡´3þn

T =









t₁₁ t₁₂ · · · t_1n t₂₂ · · · t_2n

. . . t_nn









, Ù¥t_ii > 0, i = 1,2,· · · , n

¦A = T^tT.

y². (7‡5) ½é¡AÜÓuü E, =3Œ_P, ¦A = P^tEP = P^tP. P´

¢Œ_, ¤±Qڌ_þnR, ¦P = QR. u´, A = P^tP = R^tQ^tQR = R^tR.

dPQR©)¢S‰{Œ, þnR¥Ì郌u", ¤±T = R =¤¦. (¿©5) XJA = T^tT, KA†ü ÜÓ. ¤±A½.

~. A´½é¡,Ké?¿êm, 73˜½é¡B, ¦B^m = A.

y²: ϏA´½é¡, ¤±3O, ¦

A = Odiag{λ₁, λ₂,· · · , λ_n}O^t

Ù¥λ₁, λ₂,· · · , λ_n´AAŠ, §‚Ñ´Œu"¢ê, 3mgŠ√^m

λ_i > 0, … A = Odiag{λ₁, λ₂,· · · , λ_n}O⁻¹ = (Odiag{p^m

λ₁,· · · , p^m

λ_n}O⁻¹)^m -X = Odiag{√^m

λ₁,· · · , √^m

λ_n}O⁻¹, §´½é¡, ¦X^m = A.

2y˜5. XJk½é¡X, Y÷vX^m = Y^m = A, ϏX, Y Ñ´½é¡, Œ X = O₁diag{λ₁, λ₂,· · · , λ_n}O₁⁻¹

Y = O₂diag{µ₁, µ₂,· · · , µ_n}O⁻¹₂ Ù¥O₁, O₂´, …

0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ · · · ≤ λ_n, 0 < µ₁ ≤ µ₂ ≤ · · · ≤ µ_n

©O´X, YAŠ, u´X^mAŠ0 < λ^m₁ ≤ λ^m₂ ≤ · · · ≤ λⁿ_n, Y^mAŠ0 < µ^m₁ ≤ µ^m₂ ≤ · · · ≤ µ^m_n . dX^m = Y^m, λ^m_i = µ^m_i (i = 1,2,· · · , n). λ_i, µ_i¢ê, Ïdλ_i = µ_i (i = 1,2,· · · , n). P

D = diag{λ₁, λ₂,· · · , λ_n} = diag{µ₁, µ₂,· · · , µ_n}.

dX^m = Y^m,

O₁D^mO⁻¹₁ = O₂D^mO₂⁻¹

O = O⁻¹₂ O₁, kOD^m = D^mO. y3ŒrDU¤

D^m =









λ^m₁ E₁

λ^m₂ E₂ . . .

λ^m_t E_t









Ù¥λ₁,· · · , λ_t´D ¥Üp؃ÓAŠ. 'ªOD^m = D^mOü>,

O =







 Q₁

Q₂ . . .

Q_t









Ù¥Q_i ´†E_ikƒÓê. ùOD = DO, =O₁DO₁⁻¹ = O₂DO⁻¹₂ . lX = Y.

õ¼êN(Talor)Ðmª

f(X₀ + ∆X) = f(X₀) + (∆X)^t ∂f

∂X + 1

2!(∆X)^tA(∆X) +o(k∆Xk²) Ù¥f(X₀) = f(x⁰₁,· · · , x⁰_n),

∆X =





∆x₁ ...

∆x_n



, ∂f

∂X =







∂f

∂x₁

...

∂f

∂x_n







X=X0

A =













∂²f

∂x²₁

∂²f

∂x₁∂x₂ · · · _∂x^∂2f

1∂x_n

∂²f

∂x₂∂x₁

∂²f

∂x²₂ · · · _∂x^∂2f

2∂x_n

... ... . . . ...

∂²f

∂x_n∂x₁

∂²f

∂x_n∂x₂ · · · ^∂_∂x^2f2 n













X=X₀

XJX = X₀´4Š:, K7k^∂f

∂X|_X0 = 0. ùžk f(X₀ + ∆X) −f(X₀) = 1

2!(∆X)^tA(∆X) +o(k∆Xk²) u´3X₀ vp, þªmàKÒdg.

(∆X)^tA(∆X)

(½. AOA ½é¡ž, f(X)3X₀?4Š¶AK½é¡ž, f(X)3X₀

?4ŒŠ.

5¿. (1) þ¡?ؽ.ù(Jь†=£K½.é¡. Ϗ f(x₁, x₂,· · · , x_n) ´K½.ž, −f(x₁, x₂,· · · , x_n)Ò´½..

(2) éuŒ(K)½.kaqO^‡.

öS. SK10.4:1(1),3,4,5,6,7.