Simpangan Antar Kuartil Misal X1 , X2 , X3

UKURAN SIMPANGAN DAN VARIANSI

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

Mendefinisikan karakteristik dari setiap data bedasarkan ukuran simpangan dan ukuran dispersi.

Materi :

5.1 Ukuran Simpangan 5.1. 1. Rentang

Misal ^X1 , ^X2 , ^X3 , …, ^Xn adalah hasil pengamatan dari sampel, X_max=max

(

^X1, X₂, X₃, … , X_n

)

dan Xmin=min

(

^X1, X₂, X₃,… , X_n

)

, maka rentang data tersebut adalah

Rentang=X_max−X_min Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,4,5,2,6,2,9,10,14,13, dan 4. Tentukan berapakah rentang dari data tersebut!

Jawab:

Xmax=14 dan Xmin=2 Maka Rentang=14−2=12

5.1. 2. Rentang Antar Kuartil

Misal ^X1 , ^X2 , ^X3 , …, ^Xn adalah hasil pengamatan dari sampel, ^K1

adalah kuartil ke-1 dari data tersebut dan K3 adalah kuartil ke-3, maka rentang antar kuartil yang dilambangkan (RAK) adalah

RAK =K₃−K₁

5

Latihan:

Tentukan rentang antar kuartil dari data berikut Interval Kelas F

0.2 – 1.2 1.3 - 2.3 2.4 – 3.4 3.5 – 4.5 4.6 – 5.6 5.7 – 6.7

1 0 2 1 1 6 8 2 3

5.1. 3. Simpangan Antar Kuartil

Misal X1 , X2 , X3 , …, Xn adalah hasil pengamatan dari sampel, K1

adalah kuartil ke-1 dari data tersebut dan ^K3 adalah kuartil ke-3, maka simpangan antar kuartil yang dilambangkan (SK) adalah

SK =1

2

(

^K3−K₁

)

Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,4,5,2,6,2,9,10,14,13, dan 4. Tentukan berapakah simpangan antar kuartil dari data tersebut!

Jawab:

5.1. 4. Rata-rata Simpangan 1. Data Tunggal

Untuk sampel berukuran n yaitu X1 , X2 , …, Xn dan rata-ratanya ´x maka rata-rata simpangnya adalah

RS=|X₁−x|+|X₂−x|+ .. .+|X_n−x|

n =^{i =1}

n

Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,6,5. Tentukan berapakah simpangan antar kuartil dari data tersebut!

Jawab:

X_i

|

^Xi−´x

|

9 3 2 6 5

4 2 3 1 0 Jumla

h 9

2. Data Kelompok

RS=f₁|X₁−x|+f₂|X₂−x|+. ..+ f_n|X_n−x|

f₁+f₂+. ..+ f_n =

∑

i =1 k

f_i|X_i−x|

∑

i=1 k

f_i Dengan:

X_i : Nilai tengah kelas ke-i f_i : frekuensi kelas ke-1 k : banyak kelas

´x : rata-rata hitung

Contoh:

Kelas f x_i

|

^xi−´x

|

^fi

|

^xi−´x

|

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.

5 45.

5 55.

5 65.

5 75.

5 85.

5 95.

5 Jumlah 80

Dari tabel diatas dapat dilihat

∑

^fi

|

^xi−´x

|

^{=856 Maka}

RS=¿

5.2 Ukuran Dispersi 5.2. 1. Varians

Ukuran-ukuran yang diperoleh dari populasi disebut parameter. Untuk populasi berukuran N dan rata-ratanya μ maka variansnya

N

Ukuran-ukuran yang diperoleh dari sampel disebut statistik. Untuk sampel berukuran n dan rata-ratanya ´x maka variansnya

s²=

∑ (

^xi−´x

)

²

n−1

Contoh:Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4 dengan rata-rata ´x=3.8 ? x_i x_i−´x

(

^xi−´x

)

²

5 7 1 2 4

1.2 3.2 -2.8 -1.8 0.2

1.44 10.24

7.84 3.24 0.04

Jumlah 22.8

Berdasarkan tabel di atas didapat:

∑ ⁽

^xi− ´x

)

²⁼22.8 dan n = 5 Maka s²=22.8

4 =5.7

Jika data sampel tidak diketahui rata-ratanya maka formula varians:

s²=n

∑

^xi

2−

( ∑

^xi

)

²

n (n−1)

Contoh: Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4?

x_i x_i² 5 7 1 2 4

25 49 1 4 16 1 9

95

Data Kelompok

s²=

∑

^fi

(

^xi−´x

)

n−1 Dengan

x_i = nilai tengah kelas ke-i

´x = rata-rata hitung n=

∑

^fi

Contoh:

Kelas f x_i x_i−´x f_i

(

^xi−´x

)

²

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.

5 45.

5 55.

5 65.

5 75.

5 85.

5 95.

5 Jumlah 80

Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80 dan

∑

^fi

(

^xi− ´x

)

^2=¿

Maka diperoleh: _s²=¿

menggunakan

s²=n

∑

^fix_i²−

( ∑

^fix_i

)

²

n (n−1) Dengan

x_i = nilai tengah kelas ke-i n=

∑

^fi

Contoh:

Kelas f X_i f_ix_i f_ix_i² 31-40

41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.

5 45.

5 55.

5 65.

5 75.

5 85.

5 95.

5 Jumlah 80

Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80,

∑

^fixi2=476650 dan

∑

^fix_i=6070 . Maka diperoleh: s²=80 (476650)−(6070)²

80 (79) =203.66

Untuk data kelompok yang panjang kelasnya sama untuk formula variansnya menjadi:

s²=p²

(

ⁿ

^∑

^{fin (n−1)ci−}

^{( ∑}

^fici

⁾ )

Dengan

c_i = kode kelas ke-i (pengkodean sama sewaktu menentukan rata-rata hitung) n=

∑

i=1 k

f_i

p = panjang kelas Contoh:

Kelas f c_i f_ic_i f_ic_i² 31-40

41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Berdasarkan tabel di atas diperoleh: p = 10, n = 80,

∑

^{fici2=¿ dan}

∑

^fic_i=¿

Maka diperoleh: s²=¿

Untuk data yang terdiri dari jumlah sampel ( n₁, n₂, … , n_{k )} dan simpangan bakunya ( s₁, s₂, …, s_{k )} maka varians gabungannya:

s_gab² =

∑

i=1 k

(

ⁿi−1

)

^si 2

( ^∑

i=1 k

n_i

)

^−k

Contoh:

Misal n1=45 dengan s₁=10 , n2=48 dengan s₂=18 , dan n3=50 dengan s₃=12 . Berapakah varians gabungannya?

s_gab² =(45−1)

(

10²

)

+(48−1)

(

18²

)

+(50−1)

(

12²

)

(45+48+50)−3 =26684

140 =190.6 5.2. 2. Simpangan Baku

Simpangan baku adalah akar positif dari varians

s=

√ ^∑

^{i=1n n−1}

⁽

^xi−´x

⁾

²

Contoh: Untuk data kelompok di atas dengan varians s²=203.66 , maka simpangan bakunya s=

√

203.66=14.27

5.2. 3. Angka Baku

Angka baku adalah mengukur perbedaan nilai observasi dengan ´x per simpangannya baku)

z_i=x_i− ´x s Contoh:

A mendapat nilai 86 pada ujian akhir Matematika, di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok masing-masing 78 dan 10. Padas ujian akhir Statistika di mana rata-rata kelompok 84, dan simpangan baku kelompok 18, A mendapat nilai 92. Dalam mata ujian manakah A mencapai kedudukan yang lebih baik?

Jawab:

z_Mat=86−78

10 =0.8 z_stat=92−84

12 =0.44

Harga z ini menunjukkan bahwa, A mendapatkan 0,8 s di atas rata-rata nilai Matematika dan 0,44 s di atas rata-rata nilai Statistika. Berarti kedudukan A lebih tinggi dalam Matematika.

Untuk rata-rata = ´x0 , simpangan baku s0 didapat angka baku dengan rumus:

z_i= ´x₀+s₀

(

^xi−´s ^x

)

5.2. 4. Koefisien Variasi

Definisi: Jika dari sebuah sampel dihitung ´x dan s, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai formula berikut:

KV =s

x´× 100 % Kategori tafsiran KV:

No Kategori (%) Interpretasi KV 1

2 3 4 5

45 atau lebih 40 – 44 30 – 39 25 – 29

Kurang dari 25

Sangat heterogen Heterogen Normal Homogen Sangat homogen Contoh:

Menurut sensus pendapatan perbulan di Malaysia setara dengan Rp. 5000000,00 dengan simpangan baku Rp. 3000000,00. Di Indonesia rata-rata Rp. 4000000,00 dengan simpangan baku Rp. 2000000,00. Tunjukkanlah secara statistik negara mana yang lebih merata pendapatannya.

Jawab:

Malaysia: KV =3000000

5000000×100 %=60 % Indonesia : KV =2000000

4000000× 100 %=50 %

Jadi yang lebih merata adalah Indonesia, sebab makin kecil koefisien variasi makin seragam/homogen pendapatan.