BÊt ®¼ng thøc vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

NÕu A, B lµ nh÷ng biÓu thøc chøa biÕn th× "A > B" lµ mét mÖnh ®Ò chøa biÕn.

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B (víi ®iÒu kiÖn nµo ®ã cña c¸c biÕn), nghÜa lµ chøng minh mÖnh ®Ò chøa biÕn A > B ®óng víi tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña c¸c biÕn (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ã).

Tõ nay, ta quy −íc : Khi nãi ta cã bÊt ®¼ng thøc A > B (trong ®ã A vµ B lµ nh÷ng biÓu thøc chøa biÕn) mµ kh«ng nªu ®iÒu kiÖn ®èi víi c¸c biÕn th× ta hiÓu r»ng bÊt ®¼ng thøc ®ã x¶y ra víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn thuéc .

VÝ dô 2. Chøng minh r»ng x² 2(x1).

Gi¶i. x² 2(x1)  x² 2x2  x²2x 2 0

 x²2x  1 1 0  (x1)² 1 0.

HiÓn nhiªn (x 1)²  1 0 víi mäi x nªn ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. 

VÝ dô 3. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×

(b  c – a)(c  a – b)(a  b – c) ≤ abc.

Gi¶i. Ta cã c¸c bÊt ®¼ng thøc hiÓn nhiªn sau :

a² ≥ a² – (b – c)²  (a – b  c)(a  b  c) b² ≥ b² – (c – a)²  (b – c  a)(b  c  a) c² ≥ c² – (a – b)²  (c – a  b)(c  a  b).

Do a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn tÊt c¶ c¸c vÕ cña c¸c bÊt

®¼ng thøc trªn ®Òu d−¬ng. Nh©n c¸c vÕ t−¬ng øng cña ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®−îc

a²b²c² ≥ (b  c  a)²(c  a  b)²(a  b  c)².

LÊy c¨n bËc hai cña hai vÕ, ta ®−îc bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. 

Sau ®©y lµ hai bÊt ®¼ng thøc quan träng kh¸c vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi (viÕt d−íi d¹ng bÊt ®¼ng thøc kÐp).

a|  b  a  b  a  b (víi mäi a, b  ).

Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc a b ≤ a  b . ThËt vËy a b ≤ a  b  (a  b)² ≤ a²  2ab  b²

 a²  2ab  b²≤ a² 2ab  b²  ab ≤ ab . BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lu«n ®óng nªn ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh.

H1 Sö dông bÊt ®¼ng thøc võa chøng minh vμ ®¼ng thøc a  a  b ( b) ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc a  b  a b .

3. BÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n⁽¹⁾ a) §èi víi hai sè kh«ng ©m

Ta ®· biÕt 2 a b

lµ trung b×nh céng cña hai sè a vµ b. Khi a vµ b kh«ng ©m th× ab gäi lµ trung b×nh nh©n cña chóng. Ta cã ®Þnh lÝ sau ®©y.

®Þnh lÝ

Víi mäi a  0, b  0 ta cã

2

a b

 ab.

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a  b.

Nãi c¸ch kh¸c, trung b×nh céng cña hai sè kh«ng ©m lín h¬n hoÆc b»ng trung b×nh nh©n cña chóng. Trung b×nh céng cña hai sè kh«ng ©m b»ng trung b×nh nh©n cña chóng khi vµ chØ khi hai sè ®ã b»ng nhau.

(1) Ng−êi ta cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«-si (Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857).

Chøng minh. Víi a  0, b  0, ta cã 2

a b  ab  1

2(a  b  2 ab)  1

2 ( a  b)² ≥ 0.

Do ®ã

2 a b

≥ ab.

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ( a  b)²  0, tøc lµ a  b. 

H2 Trong h×nh 4.1, cho AH  a, BH  b. H·y tÝnh c¸c ®o¹n OD vμ HC theo a vμ b. Tõ ®ã suy ra bÊt

®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vμ trung b×nh nh©n cña a vμ b.

VÝ dô 4. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba sè d−¬ng bÊt k× th×

a b c

  b c a

  c a b

 ≥ 6.

Gi¶i. Ta cã H×nh 4.1

a b c

  b c a

  c a b

  a c  b

c  b a  c

a c b  a

b  a b

b a

  

 

  b c c b

  

 

   c a a c

  

 

 

≥ 2 ^{a b.}

b a  2 ^{b c.}

c b  2 ^{c a.}

a c  6. 

HÖ qu¶

NÕu hai sè d−¬ng thay ®æi nh−ng cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín nhÊt khi vµ chØ khi hai sè ®ã b»ng nhau.

NÕu hai sè d−¬ng thay ®æi nh−ng cã tÝch kh«ng ®æi th× tæng cña chóng nhá nhÊt khi vµ chØ khi hai sè ®ã b»ng nhau.

Chøng minh. Gi¶ sö hai sè d−¬ng x vµ y cã tæng x  y  S kh«ng ®æi. Khi ®ã, 2

S  2 x y

≥ xy nªn xy ≤

2

4

S . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x  y.

Do ®ã, tÝch xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng

2

4

S khi vµ chØ khi x  y.

Gi¶ sö hai sè d−¬ng x vµ y cã tÝch xy  P kh«ng ®æi. Khi ®ã 2

x y

≥ xy  P nªn x  y ≥ 2 P.

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x  y. Do ®ã, tæng x  y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

b»ng 2 P khi vµ chØ khi x  y. 

øng dông

Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng chu vi, h×nh vu«ng cã diÖn tÝch lín nhÊt.

Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã cïng diÖn tÝch, h×nh vu«ng cã chu vi nhá nhÊt.

VÝ dô 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x)  x  3

x víi x > 0.

Gi¶i. Do x > 0 nªn ta cã f(x)  x  3

x ≥ 2 x.³

x  2 3 vµ f(x)  2 3  x  3

x  x  3. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x)  x  3

x víi x > 0 lµ f( 3)  2 3.

b) §èi víi ba sè kh«ng ©m Ta ®· biÕt

3 a b c 

lµ trung b×nh céng cña ba sè a, b, c. Ta gäi ³abc lµ trung b×nh nh©n cña ba sè ®ã. Ng−êi ta còng chøng minh ®−îc kÕt qu¶ t−¬ng tù ®Þnh lÝ trªn cho tr−êng hîp ba sè kh«ng ©m.

Víi mäi a  0, b  0, c  0, ta cã

3

  a b c

 ³abc.

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a  b  c.

Nãi c¸ch kh¸c, trung b×nh céng cña ba sè kh«ng ©m lín h¬n hoÆc b»ng trung b×nh nh©n cña chóng. Trung b×nh céng cña ba sè kh«ng ©m b»ng trung b×nh nh©n cña chóng khi vµ chØ khi ba sè ®ã b»ng nhau.

VÝ dô 6. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba sè d−¬ng th×

(a  b  c) 1 1 1 a b c

   

 

  ≥ 9.

Khi nµo x¶y ra ®¼ng thøc ?

Gi¶i. V× a, b, c lµ ba sè d−¬ng nªn

a  b  c ≥ 3³abc (®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a  b  c) vµ 1 1 1

a b c  ≥ 3^{3 1} abc

1 1 1 .

a b c

   

 

àùnè g thûác xaãy ra khi vaâ chó khi  Do ®ã (a  b  c) 1 1 1

a b c

   

 

  ≥ 3³abc.3^{3 1}

abc  9.

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 1 1 1 .

  

  



a b c a b c

VËy ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a  b  c. 

H3 Ph¸t biÓu kÕt qu¶ t−¬ng tù hÖ qu¶ ë phÇn a) cho tr−êng hîp ba sè d−¬ng.

C©u hái vμ bμi tËp

1. Chøng minh r»ng, nÕu a  b vµ ab 0 th× 1 1 a  b.

2. Chøng minh r»ng nöa chu vi cña mét tam gi¸c lín h¬n ®é dµi mçi c¹nh cña tam gi¸c ®ã.

3. Chøng minh r»ng a² b² c²  abbc ca víi mäi sè thùc a b c, , .

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a  b c. 4. H·y so s¸nh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y :

a) 2000  2005 vµ 2002  2003 (kh«ng dïng b¶ng sè hoÆc m¸y tÝnh) ; b) a 2 a 4 vµ a  a 6 (a  0).

5. Chøng minh r»ng, nÕu a > 0 vµ b > 0 th× 1 1 4 a  b  a b.



6. Chøng minh r»ng, nÕu a 0 vµ b 0 th× a³  b³  ab a( b). §¼ng thøc x¶y ra khi nµo ?

7. a) Chøng minh r»ng a²  abb²  0 víi mäi sè thùc a, b.

b) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc a, b tuú ý, ta cã a⁴ b⁴  a b³ ab³. 8. Chøng minh r»ng, nÕu a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c th×

2 2 2

2( ).

a  b c  abbc ca 9. Chøng minh r»ng, nÕu a  0 vµ b  0 th×

2 2 3 3

2 2 2 .

  

 

a b a b a b

10. a) Chøng minh r»ng, nÕu x  y  0 th× .

1 1

x y

x  y

 

b) Chøng minh r»ng ®èi víi hai sè tuú ý a, b, ta cã | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | |.

  

   

a b a b

a b a b