Kh¸i niÖm bÊt ph−¬ng tr×nh mét Èn

§Þnh nghÜa

Cho hai hµm sè y  f(x) vµ y  g(x) cã tËp x¸c ®Þnh lÇn l−ît lµ

D

f

vµ

D

g. §Æt

D

^

D

f 

D

g.

MÖnh ®Ò chøa biÕn cã mét trong c¸c d¹ng f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) ≥ g(x) ®−îc gäi lµ bÊt ph−¬ng tr×nh mét Èn ; x gäi lµ Èn sè (hay Èn) vµ

D

gäi lµ tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®ã.

Sè x₀ 

D

gäi lµ mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh f(x) < g(x) nÕu f(x₀) < g(x₀) lµ mÖnh ®Ò ®óng.

Kh¸i niÖm "nghiÖm" còng ®−îc ®Þnh nghÜa t−¬ng tù cho c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x) vµ f(x) ≥ g(x).

Gi¶i mét bÊt ph−¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (hay t×m tËp nghiÖm) cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®ã.

Chó ý

Trong thùc hµnh, ta kh«ng cÇn viÕt râ tËp x¸c ®Þnh

D

^{cña bÊt}

ph−¬ng tr×nh mµ chØ cÇn nªu ®iÒu kiÖn ®Ó x 

D

. §iÒu kiÖn ®ã gäi lµ ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh, gäi t¾t lµ ®iÒu kiÖn cña bÊt ph−¬ng tr×nh.

H1 BiÓu diÔn tËp nghiÖm cña mçi bÊt ph−¬ng tr×nh sau bëi c¸c kÝ hiÖu kho¶ng hoÆc ®o¹n :

a)  0,5x > 2 ; b) x  1.

22

§

D−íi ®©y, chóng ta chØ nãi tíi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) < g(x). §èi víi c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) > g(x), f(x)  g(x) vµ f(x)  g(x), ta còng cã c¸c kÕt qu¶

t−¬ng tù.

2. BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng

§Þnh nghÜa

Hai bÊt ph−¬ng tr×nh (cïng Èn) ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm.

NÕu f₁(x) < g₁(x) t−¬ng ®−¬ng víi f₂(x) < g₂(x) th× ta viÕt f₁(x) < g₁(x)  f₂(x) < g₂(x).

H2 C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai ? V× sao ? a) x  x2 > x2  x > 0 ;

b) ( x1)²1  x  1  1.

Chó ý

Khi muèn nhÊn m¹nh hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp x¸c ®Þnh

D

(hay cã cïng ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh mµ ta còng kÝ hiÖu lµ

D

) vµ t−¬ng

®−¬ng víi nhau, ta nãi :

 Hai bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng trªn

D

^{, hoÆc}

 Víi ®iÒu kiÖn

D

, hai bÊt ph−¬ng tr×nh lµ t−¬ng ®−¬ng víi nhau.

VÝ dô 1. Víi ®iÒu kiÖn x > 2, ta cã 1 2 1

x 

  1 > x  2. 

3. BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh

Còng nh− víi ph−¬ng tr×nh, ë ®©y chóng ta quan t©m ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi kh«ng lµm thay ®æi tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. Ta gäi chóng lµ c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. PhÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng biÕn mét bÊt ph−¬ng tr×nh thµnh mét bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi nã. Ch¼ng h¹n, viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt ë mçi vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh vµ gi÷ nguyªn tËp x¸c ®Þnh cña nã lµ mét phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng.

D−íi ®©y lµ ®Þnh lÝ vÒ mét sè phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng th−êng dïng. C¸c hµm sè nãi trong ®Þnh lÝ nµy ®Òu ®−îc cho bëi biÓu thøc.

§Þnh lÝ

Cho bÊt ph−¬ng tr×nh f(x) < g(x) cã tËp x¸c ®Þnh D, y  h(x) lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªnD^.

Khi ®ã, trªn D, bÊt ph−¬ng tr×nh f(x) < g(x) t−¬ng ®−¬ng víi mçi bÊt ph−¬ng tr×nh :

1) f(x)  h(x) < g(x)  h(x) ;

2) f(x)h(x) < g(x)h(x) nÕu h(x) > 0 víi mäi x D ^; 3) f(x)h(x) > g(x)h(x) nÕu h(x) < 0 víi mäi x D^.

Chøng minh. Sau ®©y, ta chØ chøng minh kÕt luËn 3). C¸c kÕt luËn kh¸c còng

®−îc chøng minh t−¬ng tù.

NÕu x₀ thuéc D

^th× f x( 0), g x( ₀) vµ h x( ₀) lµ c¸c gi¸ trÞ x¸c ®Þnh b»ng sè, h¬n n÷a, v× h(x) lu«n ©m nªn h x( ₀) < 0. Do ®ã, ¸p dông tÝnh chÊt cña bÊt

®¼ng thøc sè, ta cã

0 0

( ) ( )

f x g x  f x h x( ₀) ( ₀)g x h x( ₀) ( ₀).

Tõ ®ã suy ra r»ng hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm, nghÜa lµ chóng

t−¬ng ®−¬ng víi nhau. 

VÝ dô 2

a) BÊt ph−¬ng tr×nh x  2 t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh

2 .

x x    x

b) BÊt ph−¬ng tr×nh x > 2 kh«ng t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh

x x   2 x. 

H3 Chøng minh c¸c kh¼ng ®Þnh trong vÝ dô 2.

H4 C¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai ? V× sao ? a) x  ¹

x < 1  ¹

x  x < 1 ; b) ^{( 1)} 2 1 x x

x

 

  x  2.

HÖ qu¶

Cho bÊt ph−¬ng tr×nh f x( )  g x( ) cã tËp x¸c ®Þnh D^. 1) Quy t¾c n©ng lªn luü thõa bËc ba

f(x) < g(x)  [f(x)]³ < [g(x)]³. 2) Quy t¾c n©ng lªn luü thõa bËc hai

NÕu f(x) vµ g(x) kh«ng ©m víi mäi x thuéc D ^th×

f(x) < g(x)  [f(x)]² < [g(x)]².

T−¬ng tù, ta còng cã quy t¾c n©ng lªn luü thõa bËc lÎ vµ n©ng lªn luü thõa bËc ch½n.

H5 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®©y (b»ng c¸ch b×nh ph−¬ng hai vÕ), gi¶i thÝch râ c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ®· thùc hiÖn :

x  1  x.

C©u hái vμ bμi tËp

21. Mét b¹n lËp luËn nh− sau : Do hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh x 1 < x lu«n kh«ng ©m nªn b×nh ph−¬ng hai vÕ, ta ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng x  1 < x². Theo em, lËp luËn trªn cã ®óng kh«ng ? V× sao ?

22. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh råi suy ra tËp nghiÖm cña mçi bÊt ph−¬ng tr×nh sau : a) x  x ; b) x   3 1 x 3 ;

c) 1 1

3 2 3

x x   x

  ; d) 2

.

2 2

x

x  x

 

23. Trong hai bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®©y, bÊt ph−¬ng tr×nh nµo t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh 2x  1  0 :

2x  1  1 3

x   1 3

x  vµ 2x  1  1 1 .

3 3

x  x

 

24. Trong bèn cÆp bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®©y, h·y chän ra c¸c cÆp bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng (nÕu cã) :

a) x  2 > 0 vµ x²(x  2) < 0 ; b) x  2 < 0 vµ x²(x  2) > 0 ; c) x  2  0 vµ x²(x  2)  0 ; d) x  2 ≥ 0 vµ x²(x  2)  0.

BÊt ph−¬ng tr×nh vμ hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

Tr−íc ®©y, chóng ta ®· lµm quen víi bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn. §ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã mét trong c¸c d¹ng ax  b < 0, ax  b  0, ax  b > 0, ax  b  0, trong ®ã a vµ b lµ hai sè cho tr−íc víi a  0, x lµ Èn.

H1 Cho bÊt ph−¬ng tr×nh mx  m(m  1).

a) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh víi m  2.

b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh víi m  2.

Nh− vËy, nÕu a vµ b lµ nh÷ng biÓu thøc chøa tham sè th× tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh phô thuéc vµo tham sè ®ã. ViÖc t×m tËp nghiÖm cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh tuú theo c¸c gi¸ trÞ cña tham sè gäi lµ gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh ®ã.

D−íi ®©y, chóng ta chñ yÕu nãi vÒ c¸ch gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax  b < 0. §èi víi c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng cßn l¹i, c¸ch gi¶i còng t−¬ng tù.

1. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax  b < 0 KÕt qu¶ gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh

ax b 0 (1)

®−îc nªu trong b¶ng sau ®©y.

1) NÕu a > 0 th× (1)  x < b

a. VËy tËp nghiÖm cña (1) lµ ; b .

S a

 

    2) NÕu a < 0 th× (1)  x > b

a. VËy tËp nghiÖm cña (1) lµ b ; .

S a

 

   

 

3) NÕu a  0 th× (1)  0x < b. Do ®ã :

  BÊt ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm (S  ) nÕu b  0 ;

  BÊt ph−¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi x (S  ) nÕu b < 0.

33

§

Chó ý

ViÖc biÓu diÔn c¸c tËp nghiÖm trªn trôc sè sÏ rÊt cã Ých sau nµy.

Ch¼ng h¹n, phÇn kh«ng bÞ g¹ch ë trªn h×nh 4.2 biÓu diÔn tËp nghiÖm cña (1) víi a > 0.

H×nh 4.2

VÝ dô 1. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh

mx  1 > x  m². (2)

Gi¶i. BÊt ph−¬ng tr×nh (2) t−¬ng ®−¬ng víi

(m  1)x > m²  1. (3)

Ta cã

1) NÕu m > 1 th× m  1 > 0 nªn (3)  x > ² 1 1 m

m



  x > m  1.

2) NÕu m < 1 th× m  1 < 0 nªn (3)  x < ² 1 1 m

m



  x < m  1.

3) NÕu m  1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh 0x > 0 nªn nã v« nghiÖm.

KÕt luËn :  NÕu m > 1 th× tËp nghiÖm cña (2) lµ S  (m  1 ; ).

 NÕu m < 1 th× tËp nghiÖm cña (2) lµ S ( ; m  1).

 NÕu m  1 th× tËp nghiÖm cña (2) lµ S  . 

H2 Tõ kÕt qu¶ trªn, h·y suy ra tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh mx  1  x  m².

VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh

2mx  x  4m  3. (4) Gi¶i. BÊt ph−¬ng tr×nh (4) t−¬ng ®−¬ng víi

(2m  1)x  4m  3. (5)

1) NÕu m > ¹

2 th× 2m  1 > 0 nªn (5)  x  4 3 .

2 1

m m



 2) NÕu m < ¹

2 th× 2m  1 < 0 nªn (5)  x  4 3.

2 1

m m



 3) NÕu m  ¹

2 th× (5) trë thµnh 0x  1, bëi vËy nã nghiÖm ®óng víi mäi x.

KÕt luËn :  NÕu m > ¹

2 th× tËp nghiÖm cña (4) lµ S  4 3

; .

2 1

m m

  

   

 

 NÕu m < ¹

2 th× tËp nghiÖm cña (4) lµ S  4 3

; .

2 1

m m

  

  

 

 NÕu m  ¹

2 th× tËp nghiÖm cña (4) lµ S  . 