HÖ thøc Sa-l¬

VËy

3. HÖ thøc Sa-l¬

mót ®Çu (®iÓm ®Çu) U, mót cuèi (®iÓm cuèi) V, t−¬ng øng víi gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov). VËy hai ®iÓm U vµ V trªn ®−êng trßn ®Þnh h−íng x¸c ®Þnh v« sè cung l−îng gi¸c (hä cung l−îng gi¸c) mót ®Çu U, mót cuèi V, cïng ®−îc kÝ hiÖu lµ UV.

 Ta coi sè ®o cña gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) lµ sè ®o cña cung l−îng gi¸c UV t−¬ng øng. Tõ ®ã :

Trªn ®−êng trßn ®Þnh h−íng, mçi cung l−îng gi¸c ®−îc x¸c ®Þnh bëi mót ®Çu, mót cuèi vµ sè ®o cña nã. NÕu mét cung l−îng gi¸c UV cã sè ®o th× mäi cung l−îng gi¸c cïng mót ®Çu U, mót cuèi V cã sè ®o d¹ng   k2 (k  ) ; mçi cung øng víi mét gi¸ trÞ cña k.

NÕu lµ sè ®o cña cung l−îng gi¸c UV v¹ch nªn bëi ®iÓm M ch¹y trªn ®−êng trßn theo chiÒu d−¬ng tõ U ®Õn gÆp V lÇn ®Çu tiªn th× 0   < 2vµ  chÝnh lµ sè ®o cña cung trßn (h×nh häc) UV (h.6.7). 

VÝ dô 4. NÕu mét gãc l−îng gi¸c (Ox, Ou) cã sè ®o ¹¹ 4

  vµ mét gãc l−îng gi¸c (Ox, Ov) cã sè ®o ³

4

 th× mäi gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) cã sè ®o 3

2 k2

(k  ). 

 §èi víi c¸c cung l−îng gi¸c, ta còng cã hÖ thøc Sa-l¬ :

Víi ba ®iÓm tuú ý U, V, W trªn ®−êng trßn ®Þnh h−íng, ta cã s® UV  s® VW  s® UW  k2 (k  ).

C©u hái vμ bμi tËp

1. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau, kh¼ng ®Þnh nµo ®óng, kh¼ng ®Þnh nµo sai ? a) Sè ®o cña cung trßn phô thuéc vµo b¸n kÝnh cña nã.

b) §é dµi cung trßn tØ lÖ víi sè ®o cña cung ®ã.

c) §é dµi cung trßn tØ lÖ víi b¸n kÝnh cña nã.

d) NÕu Ou, Ov lµ hai tia ®èi nhau th× sè ®o cña c¸c gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) lµ (2k  1), k  .

2. Kim phót vµ kim giê cña ®ång hå lín nhµ B−u ®iÖn TP. Hµ Néi theo thø tù dµi 1,75 m vµ 1,26 m. Hái trong 15 phót, mòi kim phót v¹ch nªn cung trßn cã ®é dµi bao nhiªu mÐt ? Còng c©u hái ®ã cho mòi kim giê.

3. §iÒn vµo c¸c « trèng trong b¶ng

Sè ®o ®é 60^o 240^o 3100^o

Sè ®o ra®ian

3 4

  16

3

  68

5



4. a) §æi sè ®o ®é cña c¸c cung trßn sau thµnh sè ®o ra®ian (chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn ngh×n) 21^o30' vµ 75^o54'.

b) §æi sè ®o ra®ian cña c¸c cung trßn sau ra sè ®o ®é (chÝnh x¸c ®Õn phót) : 2,5 rad vµ 2

 rad (cã thÓ dïng m¸y tÝnh bá tói, xem bµi ®äc thªm).

5. Coi kim giê ®ång hå lµ tia Ou, kim phót lµ tia Ov. H·y t×m sè ®o cña c¸c gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) khi ®ång hå chØ 3 giê, chØ 4 giê, chØ 9 giê, chØ 10 giê.

6. Chøng minh r»ng :

a) Hai gãc l−îng gi¸c cã cïng tia ®Çu vµ cã sè ®o lµ 10 3

 vµ 22 3

 th× cã cïng tia cuèi ;

b) Hai gãc l−îng gi¸c cã cïng tia ®Çu vµ cã sè ®o lµ 645^o vµ 435^o th× cã cïng tia cuèi.

7. T×m sè ®o a^o, 180 < a  180, cña gãc l−îng gi¸c cã cïng tia ®Çu vµ tia cuèi víi gãc trªn mçi h×nh sau (h.6.8) :

H×nh 6.8

LuyÖn tËp

8. Cho ngò gi¸c ®Òu A₀A₁A₂A₃A₄ néi tiÕp ®−êng trßn t©m O (c¸c ®Ønh ®−îc s¾p xÕp theo chiÒu ng−îc chiÒu quay cña kim ®ång hå). TÝnh sè ®o (®é vµ ra®ian) cña c¸c cung l−îng gi¸c A A_{0 i}, A A_{i j} (i, j  0, 1, 2, 3, 4, i  j).

9. T×m gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) cã sè ®o d−¬ng nhá nhÊt, biÕt mét gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) cã sè ®o :

a) 90^o ; b) 1000^o ; c) 30 7

 ; d) 15 . 11

 

10. T×m sè ®o ra®ian α,   < α  , cña gãc l−îng gi¸c cã cïng tia ®Çu, tia cuèi víi gãc trªn mçi h×nh sau (h.6.9) :

H×nh 6.9

11. Chøng minh r»ng hai tia Ou vµ Ov vu«ng gãc víi nhau khi vµ chØ khi gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) cã sè ®o (2k  1) ,

2

 k .

12. Kim giê vµ kim phót ®ång hå b¾t ®Çu cïng ch¹y tõ vÞ trÝ tia Ox chØ sè 12 (tøc lóc 0 giê). Sau kho¶ng thêi gian t giê (t lÊy gi¸ trÞ thùc kh«ng ©m tuú ý), kim giê ®Õn vÞ trÝ tia Ou, kim phót ®Õn vÞ trÝ tia Ov.

a) Chøng minh r»ng khi quay nh− thÕ, kim giê quÐt gãc l−îng gi¸c (Ox, Ou) cã sè ®o ,

6

 t kim phót quÐt gãc l−îng gi¸c (Ox, Ov) cã sè ®o 2t. H·y t×m sè ®o cña gãc l−îng gi¸c (Ou, Ov) theo t.

b) Chøng minh r»ng hai tia Ou vµ Ov trïng nhau khi vµ chØ khi t  12 11

k víi k  0, 1, 2, 3, ...

c) Chøng minh r»ng trong vßng 12 giê (0  t  12), hai tia Ou vµ Ov ë vÞ trÝ hai tia ®èi nhau khi vµ chØ khi 6

(2 1)

t11 k víi k  0, 1, ..., 10.

13. Hái hai gãc l−îng gi¸c cã sè ®o ra®ian 35 3

 vµ 5



m (m lµ sè nguyªn) cã thÓ cã cïng tia ®Çu, tia cuèi kh«ng ?

Gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc (cung) l−îng gi¸c

Trong môc nµy, ta sÏ më réng c¸c gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc h×nh häc thµnh gi¸ trÞ l−îng gi¸c cña gãc l−îng gi¸c. §ã lµ c¬ së ®Ó x©y dùng c¸c hµm sè l−îng gi¸c, nh÷ng hµm sè quan träng trong to¸n häc, khoa häc vµ kÜ thuËt, liªn quan mËt thiÕt ®Õn thùc tiÔn.

1. §−êng trßn l−îng gi¸c a) §Þnh nghÜa

§−êng trßn l−îng gi¸c lµ mét ®−êng trßn ®¬n vÞ (b¸n kÝnh b»ng 1), ®Þnh h−íng, trªn ®ã cã mét ®iÓm A gäi lµ ®iÓm gèc.

Nh¾c l¹i r»ng ng−êi ta lu«n quy −íc trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c, chiÒu ng−îc chiÒu quay cña kim ®ång hå lµ chiÒu d−¬ng vµ chiÒu quay cña kim ®ång hå lµ chiÒu ©m.

22

§

b) T−¬ng øng gi÷a sè thùc vµ ®iÓm trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c

Cho ®−êng trßn l−îng gi¸c t©m O, gèc A. Víi mçi sè thùc , hiÓn nhiªn cã mét cung l−îng gi¸c duy nhÊt AM cã sè ®o  (rad), còng cã nghÜa lµ cã mét gãc l−îng gi¸c duy nhÊt (OA, OM) cã sè ®o . Cung vµ gãc l−îng gi¸c ®ã gäi t¾t lµ cung  vµ gãc  ; ®«i khi ta còng viÕt AM   vµ (OA, OM)  .

§iÓm M thuéc ®−êng trßn l−îng gi¸c sao cho (OA, OM)   gäi lµ ®iÓm x¸c ®Þnh bëi sè  (hay bëi cung , hay bëi gãc ).

§iÓm M cßn ®−îc gäi lµ ®iÓm trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c biÓu diÔn cung (gãc) l−îng gi¸c cã sè ®o .

Ta nhËn xÐt ngay r»ng :

øng víi mçi sè thùc  cã mét ®iÓm trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c (®iÓm x¸c ®Þnh bëi sè ®ã) t−¬ng tù nh− trªn trôc sè. Tuy nhiªn, mçi

®iÓm trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c øng víi v« sè sè thùc. C¸c sè thùc

®ã cã d¹ng   k2, k  .

H1 §Ó thÊy râ h¬n t−¬ng øng gi÷a sè thùc vμ ®iÓm trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c, h·y xÐt trôc sè At (gèc A) lμ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn l−îng gi¸c t¹i A, h×nh dung At lμ mét sîi d©y vμ quÊn d©y ®ã quanh ®−êng trßn l−îng gi¸c nh− ë h×nh 6.10 : §iÓm M₁ trªn trôc At cã to¹ ®é 

®Õn trïng víi ®iÓm M trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c tho¶

m·n s® AM  , tøc M x¸c ®Þnh bëi . Hái :

a) C¸c ®iÓm nμo trªn trôc sè At ®Õn trïng víi ®iÓm A trªn

®−êng trßn l−îng gi¸c ?

b) C¸c ®iÓm nμo trªn trôc sè At ®Õn trïng víi ®iÓm A' trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c (A' lμ ®iÓm ®èi xøng cña A qua t©m O cña ®−êng trßn) ? Hai ®iÓm tuú ý trong sè c¸c

®iÓm ®ã c¸ch nhau bao nhiªu ?

c) HÖ to¹ ®é vu«ng gãc g¾n víi ®−êng trßn l−îng gi¸c

Cho ®−êng trßn l−îng gi¸c t©m O, ®iÓm gèc A. XÐt hÖ to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho tia Ox trïng víi tia OA, gãc l−îng gi¸c (Ox, Oy) lµ gãc

2

  k2, k   (h.6.11). HÖ to¹ ®é ®ã ®−îc gäi lµ hÖ to¹ ®é vu«ng gãc g¾n víi ®−êng trßn l−îng gi¸c ®· cho.

H×nh 6.10

Sau nµy, ta lu«n xÐt ®−êng trßn l−îng gi¸c trong hÖ to¹ ®é vu«ng gãc g¾n víi nã.

H2 T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c sao cho cung l−îng gi¸c AM cã sè ®o 3

4

 (h.6.11).

2. Gi¸ trÞ l−îng gi¸c sin vµ c«sin