Các dạng chuyển động của vật rắn .1 Chuyển động tịnh tiến

1.4. CƠ HỌC VẬT RẮN

1.4.1 Các dạng chuyển động của vật rắn .1 Chuyển động tịnh tiến

Q = K – K’

2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 1 1

( )

2 2 2

Q= m v + m v − m +m v [1.3-45]

Ta được năng lượng tiêu hao sau va chạm

1 2 2

1 2

1 2

( )

2( )

Q m m v v

m m

= −

+ [1.3-46]

Với ^{1 2}

1 2

2( )

M m m

m m

= + : khối lượng rút gọn, ta có:

1 2

Q= 2M v

Vậy năng lượng tiêu hao giống động năng của khối lượng rút gọn chuyển động với vận tốc bằng vận tốc tương đối giữa hai vật.

a) Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến là chuyển động trong đó đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn song song với chính nó.

b) Đặc điểm: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của vật rắn có cùng vectơ vận tốc và vectơ gia tốc.

Thật vậy, cho một vật rắn chuyển động trong hệ qui chiếu quán tính Oxyz.

Xét hai điểm A, B trên vật rắn:

r⃗B = r⃗A + AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức trên:

( )

B A

d r d r d AB dt = dt + dt

Vì ^AB luôn luôn song song với chính nó nên d AB^{( )} 0 dt =

Vậy ^{d rB d rA} v_B v_A dt = dt → =

Vì A, B là hai điểm bất kỳ nên ta có thể suy ra:

^{vB=vA=vC =...} [1.4-1]

Nghĩa là mọi điểm trên vật rắn đều có cùng véctơ vận tốc

Đạo hàm [1.4-1]: d v^B d v^A d v^C ...

dt = dt = dt =

Dẫn đến: ^{aB =aA=aC =...} [1.4-2]

Nghĩa là mọi điểm trên vật rắn đều có cùng véctơ gia tốc 1.4.1.2 Khối tâm của vật rắn

a) Định nghĩa khối tâm: Xem vật rắn như một hệ gồm n chất điểm. C được gọi là khối tâm của vật rắn nếu vị trí của C thỏa công thức:

1

1 n

i i i

C n

i i

m r OC r

m

=

=

= =





¹ ₁

n

C i i

i

r m r

m =

=  [1.4-3]

Trong đó:

▪ m_ivà r_i lần lượt là khối lượng và véc tơ vị trí của chất điểm thứ.

▪

1 n

i i

m m

=

= là khối lượng của vật rắn.

Nếu khối lượng của vật rắn là một phân bố liên tục thì [1.4-3] trở thành:

1

C m

r rdm

=m ^[1.4-4]

1

C m

x xdm

= m ^{; C 1}

m

y ydm

= m ^{; C 1}

m

z zdm

= m

Nếu chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm C thì r_C =0và từ (4-3) ta suy ra:

1

0

n i i i

m r

=

 = [1.4-5a]

Hoặc: ⁰

m

rdm=



[1.4-5b]

Trong đó ri là bán kính véctơ nối liền khối tâm với chất điểm mi

b) Đặc điểm của khối tâm:

► Vận tốc của khối tâm

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

C i

C i i i i

i i i

d r d r

v m m v p

dt m = dt m = m =

= =



=



=



Mà

1 n

i i

p P

=



= là động lượng của vật rắn, nên ta có thể viết:

P=mv_C [1.4-6]

Vậy động lượng của vật rắn bằng tích số của khối lượng vật rắn và vận tốc của khối tâm vật rắn đó.

► Gia tốc của khối tâm

1 1 1

1 ⁿ 1 ⁿ 1 ⁿ

C i

C i i i i

i i i

d v d v

a m m a F

dt m = dt m = m =

= =



=



=



với

1 n

i i

F F

=

=



là lực tổng hợp tác dụng lên vật rắn, ta có:

F =ma_C [1.4-7]

Vậy phương trình chuyển động của vật rắn bằng tích số của khối lượng vật rắn với gia tốc của khối tâm vật rắn đó

Từ [1.4-6] và [1.4-7] ta đi đến kết luận như sau:

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn tương đương với chuyển động của khối tâm của nó, với khối lượng bằng khối lượng của vật rắn và ngoại lực bằng hợp lực tác dụng lên vật rắn. Mặt khác khối tâm cũng là một chất điểm, do đó ta có thể xem bài toán chuyển động tịnh tiến của vật rắn như bài toán của chuyển động của chất điểm đặt tại khối tâm và có khối lượng bằng với khối lượng của vật rắn.

1.4.1.3 Chuyển động quay quanh trục của vật rắn a) Định nghĩa

Chuyển động quay quanh trục của vật rắn là chuyển động mà các chất điểm của vật rắn có quỹ đạo là những vòng tròn tâm nằm trên trục quay và bán kính bằng khoảng cách từ chất điểm đến trục quay.

b) Đặc điểm

Khi vật rắn quay quanh một trục thì sau thời gian t như nhau tất cả các chất điểm của vật rắn quay những góc bằng nhau.

θ1 = θ2 = θ3= …

▪Tất cả các chất điểm có cùng vận tốc góc Thật vậy đạo hàm cho ta:

3

1 2

1 2 3

... ...

d

d d

dt dt dt



 =  = = → = = =

Với trục quay cố định thì véctơ vận tốc góc cũng bằng nhau

1 2 3 ...

 = = = [1.4-8]

►Lưu ý: Khi quay thì vận tốc dài của các chất điểm khác nhau vì ^v_i ^=R_i^_i ^=R_i^ chất điểm nào càng xa trục thì vận tốc dài càng lớn, chất điểm trên trục thì vận tốc dài bằng không.

▪Tất cả các chất điểm có cùng gia tốc góc Thật vậy, đạo hàm vận tộc góc ta có:

3

1 2

1 2 3

... ...

d d d

dt dt dt



 =  = = → = = =

Đối với trục quay cố định thì:

1 2 3 ...

 = = = [1.4-9]

Tương tự vận tốc dài, các chất điểm có gia tốc tiếp tuyến khác nhau:

i i i i

a =R =R

Chất điểm nào càng xa trục thì gia tốc tiếp tuyến càng lớn, chất điểm nằm trên trục thì gia tốc tiếp tuyến bằng không.

1.4.1.4 Chuyển động tổng quát của vật rắn

Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động song phẳng bất kỳ của vật rắn. Gọi C là khối tâm của vật rắn và M là một điểm bất kỳ của vật rắn nằm trong tiết diện S.

Gọi O là gốc tọa độ, khi đó r⃗C và r⃗M là hai bán kính véctơ xác định vị trí của C và M.

Theo qui tắc cộng véctơ, ta có: r⃗M = r⃗C + r⃗ (r⃗ là bán kính véctơ nối từ C đến M).

Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên ta có:

C

M d r

d r d r

dt = dt + dt

Vế trái của phương trình trên là vận tốc v⃗⃗M

của điểm M, số hạng đầu tiên ở vế phải là vận tốc v⃗⃗C của khối tâm, số hạng thứ hai ta tính như sau:

Vì rằng trong quá trình chuyển động của vật rắn thì khoảng cách r của hai điểm C và M luôn luôn giữ không đổi nên ta suy ra vectơ r⃗ không thay đổi độ lớn, nói cách khác điểm M chỉ có thể quay quanh khối tâm C của vật rắn. Vậy (d𝑟⃗/dt) là vận tốc dài của điểm M trong chuyển động quay quanh trục quay đi qua khối tâm C của vật rắn. Vận tốc này bằng (𝜔⃗⃗⃗ × r⃗). Vậy ta có thể biểu diễn vận tốc của điểm M trong chuyển động bất kỳ như sau:

( )

M C

v =v + r [1.4-10]

Công thức [1.4-10] chứng tỏ rằng, chuyển động song phẳng bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng có thể phân thành hai chuyển động thành phần:

▪ Chuyển động tịnh tiến của khối tâm của vật rắn

▪ Chuyển động quay của vật rắn quanh trục quay đi qua khối tâm với vận tốc gốc 𝜔⃗⃗⃗ .

►Lưu ý: trục quay trong trường hợp này không đứng yên mà luôn tịnh tiến trong không gian giống như khối tâm. Trục quay như thế gọi là trục quay tức thời. Kết luận trên không chỉ đúng với khối tâm mà còn đúng với một điểm bất kỳ trên vật rắn.