1.3. BẢO TOÀN VÀ BIẾN THIÊN NĂNG LƯỢNG TRONG CƠ HỌC Trong quá trình chuyển động của chất điểm có một số đại lượng vật lý không
1.3.1 Biến thiên và bảo toàn động lượng .1 Đối với một chất điểm
1.3.1.3 Bài toán định luật bảo toàn động lượng a) Sự giật lùi của khẩu pháo
Đặt vấn đề: Một khẩu pháo nhả đạn theo phương nằm ngang. Khẩu pháo có khối lượng M, viên đạn có khối lượng m, vận tốc ra khỏi nòng
của viên đạn là v⃗⃗. Vận tốc giật lùi 𝑉⃗⃗ của khẩu pháo?
Động lượng của hệ trước khi bắn bằng không vì cả khẩu pháo và viên đạn đều nằm yên. Vì theo phương nằm ngang động lượng của hệ bảo toàn:
0 MV+mv=
Suy ra:
m ;
V v
M V m v
M
= −
=
[1.3-10a]
Dấu trừ chứng tỏ V ngược chiều v, sau khi bắn khẩu pháo bị giật lùi về phía sau, vận tốc giật lùi V⃗⃗⃗ càng nhỏ nếu khẩu pháo có khối lượng M càng lớn.
Thực ra nếu kể thêm khối lượng và vận tốc của khí thoát ra phái sau là m1 và v⃗⃗1
thì động lượng toàn phần của hệ MV+mv+m v1 1=0. Chọn chiều dương là chiều giật lùi của pháo, ta được:
1 1 0
MV−mv m v+ =
Suy ra: V mv m v1 1
M
= − [1.3-10b]
Điều này có nghĩa là ngoài việc tăng khối lượng của pháo, một giải pháp thứ hai để giảm vận tốc giật lùi của pháo là tăng vận tốc và lượng khí thoát ra phía sau.
Sự bảo toàn động lượng của hệ cũng chính là nguyên tắc chuyển động phản lực của tên lửa, của máy bay phản lực và của tàu vũ trụ.
b) Chuyển động của con tàu vũ trụ
Đặt vấn đề: Con tàu vũ trụ hay tên lửa khi chuyển động phụt một khối nguyên liệu đã cháy ra phía sau còn bản thân con tàu hay tên lửa chịu tác dụng của một phản lực hướng tới phía trước và do đó có vận tốc tăng dần trong khi khối lượng của chúng giảm dần. Sự giảm khối lượng trong trường hợp này chi phối mạnh đến chuyển động của vật vì vậy trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của tên lửa.
Ta giả sử chuyển động của tên lửa là một chuyển động tịnh tiến, vào thời điểm t thì tên lửa có vận tốc và khối lượng lần lượt là V⃗⃗⃗ và m.
Áp dụng phương trình [1.3-2] cho trường hợp khối lượng thay đổi:
( )
F d mV
= dt
Cụ thể là chuyển động của tên lửa khối lượng m (bao gồm cả khối lượng nhiên liệu mang theo) có vận tốc V⃗⃗⃗ so với mặt đất. Ta có:
dV dm
F m V
dt dt
= +
dm/dt là độ giảm nhiên liệu (bị đốt cháy thoát ra) trong một giây của tên lửa và được gọi là lưu lượng khí thoát.
Đối với nhiên liệu thoát ra dm, gọi ulà vận tốc của dm đối với tên lửa (vận tốc tương đối), V⃗⃗⃗ là vận tốc của tên lửa đối với đất (vận tốc kéo theo), v⃗⃗ là vận tốc của dm đối với đất (vận tốc tuyệt đối)
v
⃗⃗ = V⃗⃗⃗ + u⃗⃗
V⃗⃗⃗ = v⃗⃗ - u⃗⃗
Vì V⃗⃗⃗ và u⃗⃗ ngược chiều nhau, trừ khử nhau nên v⃗⃗ có giá trị bé. Do đó độ lớn của
|v⃗⃗| chỉ bé cỡ |dV⃗⃗⃗|. Ta có:
( )
dV dm dV dm dm
F m v u m v u
dt dt dt dt dt
= + − = + −
Vì dV⃗⃗⃗ và dv⃗⃗ nhỏ, nên dV⃗⃗⃗dm càng nhỏ và v⃗⃗dm ≈ dV⃗⃗⃗dm nên ta có thể bỏ qua v⃗⃗dm, vậy:
dV dm
F m u
dt dt
= −
Hay mdV F udm
dt = + dt [1.3-11]
(Đây là phương trình mà Meshersky tìm năm 1897)
Trong phương trình [1.3-11], ngoài lực F⃗⃗ tác dụng còn có lực nữa là lực khí thoát ra
f udm
= dt
Lực này có hình chiếu đại số dương, hướng lên (u⃗⃗ hướng xuống đất có hình chiếu âm, và dm < 0) phát sinh nhờ giảm khối lượng dm và tác dụng trong cả khoảng chân không vũ trụ. Nếu độ giảm khối dm/dt = -200 kg/s. u = 2000 m/s thì lực đẩy cỡ 4.105 N. Tên lửa cở lớn có sức đẩy hơn 10 lần như thế có thể đưa khối lượng mười mấy tấn vào không gian. Lưu lượng thoát khí trong 1 giây không đổi nên ta viết dm/dt = -µ hay dm = -µdt (µ: hằng số dương)
0 0
m t
m
dm= − dt
Sau khi tích phân ta có: m = m0 – µt. Trong đó m0 là khối lượng của tên lửa lúc ban đầu. Bỏ qua sức cản không khí gần mặt đất và chỉ tính đến trọng lực:F =mg
; ta có:
mdV mg u dt = −
Chiếu phương trình này lên chiều dương (hướng lên)
0
dV gdt udt
m t
= − +
−
Với điều kiện ban đầu t = 0, V0 = 0 tích phân biểu thức trên
0 0 0 0
V t t
dV g dt udt
m t
= − +
−0 0
( ) ln m
V t gt u
m t
= − +
− [1.3-12]
Khi thoát khỏi trường trọng lực g = 0, ta có vận tốc tên lửa
lnm0
V u
= m [1.3-13]
(Đây là công thức Tsionkovski)
Ta thấy nếu muốn vận tốc V đạt giá trị lớn hơn 8 km/s ở độ cao 300km để trở thành vệ tinh bay quanh Trái đất thì m0 phải lớn. Như thế không có lợi bằng việc
tăng vận tốc phụt khí u⃗⃗ của động cơ. Tuy nhiên nếu vận tốc quá lớn thí sức cản không khí càng lớn (tỷ lệ bình phương với vận tốc), do đó phải cân đối với m0
và u⃗⃗ lớn vừa đủ để thắng sức cản lớp khí quyển.
1.3.2 Biến thiên và bảo toàn mômen động lượng