Uitsonderlike getalle 2 - Transendentale getalle, Euler-Mascheroni en gammas Pieta van Deventer
Trefwoorde: transendentale getalle, Liouville se konstante, Euler-Mascheroni konstante, harmoniese reeks, gammafunksie, betafunksie, betaverdelings, vloerfunksie, plafonfunksie.
In hierdie artikel word nog enkele interessante konstantes asook funksies bespreek. Die Euler-Mascheroni konstante, gamma, word aanvanklik beskryf. Dit word gevolg deur ’n beskrywing van die alomteenwoordigende gammafunksie, ook die gamma-integraal genoem, wat nie met die genoemde konstante verwar moet word nie. Daar is egter ’n verwantskap tussen die twee wat kortliks aangedui word. Die res van die bespreking behandel die nut van die gammafunksie wat o.a. na die betafunksie lei.
In hierdie skrywe word afgeskop met ’n kort beskrywing van die transendentale getalle wat Liouville se konstante insluit. Rasionale getalle word gedefinieer as getalle wat as breuke met heeltallige tellers sowel as noemers voorgestel kan word. Indien ’n getal nie rasionaal is nie, word dit ’n irrasionale getal genoem. Daar is egter lank bespiegel of dit alle reële getalle omvat en of daar nie ’n fyner verdeling is nie. Getalle wat nie deur middel van algebraïese vergelykings gevind kan word nie, word transendentale getalle genoem. Sulke getalle is πen die natuurlike getal e1. Om dit te bewys is moeilik en om so ’n getal te skep, ewe lastig.2 Gottfried Leibnitz3 was een van die eerste wiskundiges wat in die sewentiede eeu al oor transendentale getal begin besin het. Aanvanklik was daar groot onsekerheid of daar wel so iets soos transendentale getalle bestaan. Euler het in 1707 aan die gedagte begin werk, maar was nie oortuig van die bestaan daarvan nie. In 1748 stel hy die bestaan daarvan as ’n hipotese. Johann Lambert het in 1768 die hipotese gestel dat e en π beide transendentaal is en terselfdertyd bewys dat π wel irrasionaal is. Hy het ook aanwysings gegee vir die moontlike bewys dat π wel transendentaal is. Joseph Louville het in 1844 Euler se hipotese dat transendentale getalle wel bestaan, bewys. Hy skep die sg. Louville-getalle in 1851. Een van hierdie getalle staan bekend as die Louville-konstante.4 Dis ’n desimale getal wat soos volg lyk5: L=0.a a1 2000 0 0 00 0 00a3 a4 a5 waar ai =1 vir alle 1,2,3,i= met ’n 1 in elke desimale posisie vir i! Alle ander posisies woord met ’n 0 gevul, sodat
0.110 001 000 000 000 000 000 001 0
L= Hierdie getal is amper algebraïes omdat dit byna die vergelyking 10x6−75x3−190x+21 0= bevredig. Amper is egter nie stamper nie.
Hierdie getal kan ook geskryf word as
1 https://proofwiki.org/wiki/Pi_is_Transcendental pi
2 https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number_theory gesk
3 Sommige dokumente soos https://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz verwys na Gottfried Leibniz.
4https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
5 https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/l/l328.htm
! 1
1 2 6 24 120
10
10 10 10 10 10
n n
L ∞ −
=
− − − − −
=
= + + + + +
∑
In 1873 het Charles Hermite bewys dat e transendentaal is. Hierdie hele aangeleentheid bly egter ’n tameletjie. Indien u in nog van hierdie rare getalle belangstel is daar ’n lysie van hulle in Sprott.6 ’n Enkele opmerking is ter sake vir indien u gewonder het: 2, 3,ien soortgelyke getalle is algebraïes, want hulle is die oplossings van x2 =2,x2 =3,x2 =1. Die Euler of Euler-Mascheroni konstante, γ,oftewel gamma7, is ’n getal wat oor baie jare al met groot erns bestudeer word. Ons het in ’n vorige artikel skuinsweg daaraan geraak.8 Daar bestaan ’n direkte verband tussen hierdie konstante en Riemann se zetafunksie.
Hierdie konstante moet nie verwar word met die gammafunksie en gammaverdeling nie.9 Wat hierdie getal so vreemd maak, is dat dit op die onwaarskynlikste plekke onverwags sy verskyning maak. Van die volgende resultate kom onder meer uit die baie leesbare boeke van Dan Rockmore10 en Havil11 asook in voetnota 1 hieronder onder die hofie
“Appearances”. Dit wil nie sê dat hierdie lys volledig is nie. Blaai gerus af in laasgenoemde verwysing en beskou die geweldige lys van verwysings uit ander navorsingsvelde. Die feit dat γ so oral opduik, maak die vraag of dit ’n rasionale of irrasionale getal of selfs
transendentaal is, ’n belangrike kwessie, want dit bepaal of resultate wat daarop gebaseer is self eindigend is of nie, of anders gestel, self rasionaal is, irrasionaal is, of dalk
transendentaal is of nie.
’n Eerste definisie vir Euler se gamma soos dit ook genoem word, bestaan uit die verband tussen die natuurlike logaritme, d.w.s. die logaritme met grondtal e en een van die eenvoudigste vorms van Riemann se zetafunksie, nl. die harmoniese reeks tot n terme, d.w.s. in sy fraksionele vorm, nl.Hn. Die harmoniese reeks is
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 x
H n x
∞
=
= + + + + + + + =
∑
en in fraksionele vorm is dit
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
n
n x
H n = x
= + + + + + + =
∑
Die naam word direk gekoppel aan die harmoniese deeltone in musiek. Dit sluit die fundamenteel plus die betrokke bo-tone in, nl. die golflengtes wat in die verhoudings 1/1
6http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/trans.html
7 https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
8 https://www.litnet.co.za/vir-onderwysers-en-skoolkinders-ter-verryking-gedagtes-oor-priemgetalle/
9https://www.litnet.co.za/wp-content/uploads/2020/07/Waarskynlikhede-3-Kontinue-modelle.pdf
10 Stalking the Riemann Hypothesis, Dan Rockmore, Jonathan Cape, Londen, 2005, bl 185.
11Gamma, Julian Havil, Princeton University Press, Princeton en Oxford, 2003, bl 28.
(die fundamenteel) en die res van die deeltone 1/2, 1/3, 1/4, …, bekend as die bo-tone is.
Daar is nog die subharmoniese deeltone ook, maar hulle vorm nie deel van die basiese definisie van die wiskundige harmoniese funksie nie. Euler se gamma kan nou soos volg gedefinieer word:
( )
1
lim ln
1 1 1 1 1
lim 1 ln
2 3 4 5
lim 1 ln 0.5772156649
n n
n n
n x
H n
n n x n
→∞
→∞
→∞ =
γ = −
= + + + + + −
= −
∑
Gamma kan egter ook soos volg bereken word:
1
1 1 dx x x
∞
γ =
∫
+ − Waar x die sg. vloerfunksie is, m.a.w. vir xas reële getal, is x die grootste integer kleiner of gelyk aan x, sodat ’n grafiese voorstelling daarvan die vorm van ’n trap aanneem en dus ook bekend staan as die vloer-trapfunksie. (Daar is natuurlik ook die plafon-
trapfunksie, x wat die kleinste heelgetal groter as x is.) Hierbenewens is daar nog ’n magdom van berekeningsmetodes vir γ, die een so ingewikkeld soos die ander, wat almal uitloop op dieselfde waarde. Tans het ons geen belang in al hierdie berekeningsmetodes nie, maar slegs in die voorkoms daarvan.
Euler het in 1743 hierdie konstante uitgewys en Mascheroni het in 1790 spesifiek daaraan begin aandag gee.12 Die notasieγ is nie deur enige van hierdie twee wiskundiges gebruik nie, maar dit kom in latere geskrifte voor, waarskynlik oor die verband wat dit met die gammafunksie het wat hieronder bespreek word. Ten spyte van die baie aandag wat γ tot op hede ontvang het, is daar steeds nie uitsluitsel oor of dit ’n algebraïese, transendentale, of selfs irrasionale getal is nie. Dis ’n belangrike vraag, aangesien soveel ander resultate op
γ se waarde berus en dus ’n vraag laat ontstaan oor die (ir)rasionaliteit en/of
transendentaliteit van die resultate. ’n Mens sou wel kon vra hoe ’n mens ’n getal as nie- algebraïes, as transendentaal of selfs as irrasionaal bewys. Dis ’n ander verhaal en hoegenaamd nie ’n maklike vraag om te beantwoord nie. Papanikolaou het in 1997 aangetoon dat indien γ ’n rasionale getal is, die noemer groter as 10244663 moet wees.13 Gamma is al by geleentheid tot meer as een miljoen syfers bereken, maar geen patroon of herhalings van enige aard kon gevind word nie. Die vermoede bestaan dat γ transendentaal is, maar niemand kon dit nog bewys nie.
Die herkoms van die gammabenaming kan waarskynlik gevind word in die waarde van die afgeleide van die gammafunksie wanneer die argument gelyk is aan 1. Daar is nog veel meer
12 https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Mascheroni_constant
13https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
van hierdie uitdrukkings, maar dit gaan ons nie nou aan nie. Die gammafunksie of gamma- integraal van x is14
( )
10
x t
x ∞t e dt− − Γ =
∫
.’n Aantal verskillende verskynings van γ word kortliks uitgewys:
Let nou op hoe die waarde van γ ook in die volgende uitdrukking vir Γ
( )
x in die noemer na vore tree en sodoende indirek gedefinieer word:( )
10
1
1 1
x t
x n x n
t e dt x
xe ex n
∞ − −
∞ γ =
Γ =
= +
∫
∏
Hierdie uitdrukking is nogal lastig om af te lei, dus laat ons dit daar.
Om ’n idee te kry van Γ
( )
x se gedrag, word enkele voorbeelde gegee (onderskei duidelik tussen Γ( )
x en γ):Indien ek hierdie integraal met behulp van die tegniek van deelwyse integrale probeer oplos, volg die volgende resultaat:
( )
1( )
0
1 !
x t
x ∞t e dt− − x
Γ =
∫
= −Indien u nie met die tegniek bekend is nie, is dit in orde om dit net so as ’n definisie te aanvaar. Dit het egter tot gevolg dat
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
7 6! 720
6 5! 120, wat 7 =120 is. Dus 7 6 6 6
5 4! 24, wat 6 =24 is. Dus 6 5 5 5
4 3! 6, wat 5 6 is. Dus 5 4 4 44
3 2! 2, wat 2 is. Dus 4 3 3 3
2 1! 1, wat 3 1 is. Dus 3 2 2 2
1 0! 1, wat 2 1 i 1 Γ = =
Γ = = Γ Γ = Γ
Γ = = Γ Γ = Γ
Γ = = Γ = Γ = Γ
Γ = = Γ = Γ = Γ
Γ = = Γ = Γ = Γ
Γ = = Γ = s. Dus 2 1 1Γ
( )
= Γ( )
Wat is die waarde vanΓ
( )
1 ?14Let op dat die integraal ’n funksie van x is sowel as die grense is. Aangesien die grense konstantes is, verdwyn die draer, “u” uit die uitdrukking en slegs x bly oor.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 0
0
0 0
1
0 1 1
t
t
t
t e dt
e dt
e e e
∞ − −
∞ −
− ∞ −∞ −
Γ =
=
= − = − − −
= − − − =
∫
∫
Veralgemeen nou die vorige resultate, dan kan dit soos volg opgesom word:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )
1 1
1 2 2
1 2 3 3
1 2 3 2 1
1 !
x x x
x x x
x x x x
x x x
x
Γ = − Γ −
= − − Γ −
= − − − Γ −
=
= − − − ⋅
= −
.
’n Mens kan dit ook direk uit die “definisie” sien. Dit is egter duidelik dat as xnie ’n
positiewe heelgetal is nie, dinge lastig kan raak en die resultaat ontwikkel asimptote soos in die grafiese voorstelling gesien kan word. Dit is ook die rede vir die ingewikkelde resultaat met die produk daarin hierbo waarin γ voorkom. In die normale gang van sake word xas heelgetalle groter of gelyk aan 1 gebruik, maar x kan in werklikheid enige reële getal wees.
Grafies lyk dit nogal interessant en kan gesien word deur die volgende skakel te gebruik:
https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Die volgende kan ook redelik maklik aangetoon word:
1 .
2 Γ = π
Die Euler-Mascheroni γ is ook in die sg. digammafunksie Ψ
( )
x te sien waar lg. eintlik direk verwant is aan die afgeleide van die natuurlike logaritme van die gammafunksie. Dit kan aangetoon word dat15( ) ( ) ( )
ln
( )
xx d x
dx x
Γ′
Ψ = Γ =
Γ , sodat wanneer x=1 is
( ) ( )
( )
1( )
0.57721566491 1
1 Γ′
Ψ = = Γ′ = −γ
Γ
’n Verdere verskyning van γvind ’n mens in die zetafunksie soos volg
15https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
( ) ( )
2
1 m
m
m m
∞
=
γ =
∑
− ζwaar
( )
1
1
k m
m k
∞
=
ζ =
∑
, en verder in die geval wat s ’n komplekse getal is, is1
( )
lim 1
1
s s
s γ = → ζ −
−
Meer inligting oor die gebruik van die gammafunksie volg.
By ’n vorige geleentheid het ons reeds gesien dat die gammafunksie tot die sg. Erlang of gammaverdeling, nl. die wagtydverdeling tot r-ste sukses lei, nl.16
( ) ( )
1, 00, andersins
r x r
X
e x x
r f x
− −
>
= Γ
λ λ
Die gamma-integraal kom ook voor in die Snedecor se F-verdeling, Student se T-verdeling, die
2-verdeling
χ en nog meer statistiese digtheidsfunksies.
’n Belangrike voorbeeld hiervan is die betaverdelings wat gebaseer is op die betafunksie wat bestaan uit ’n samevoeging van gammafunksies, nl.
( ) ( ) ( )
( )
;
B Γ Γ
= Γ + α β α β α β
Daar is drie tipes betaverdelings, nl. die tipe-1, tipe-2 asook die veralgemeende beta1- en beta2- verdelings wat dit vir ’n mens moontlik maak om kontinue data daarop te pas, oor enige definisiegebied wat jou hart sou kon begeer.
Sonder om op die detail in te gaan word slegs die veralgemeende beta1-verdeling gegee, omdat die ander direk as spesiale gevalle daarvan afgelei kan word. Gebruik nou die feit dat
( ) ( )
(
1)
b x1 1(
;)
x a dx B
b a
β β−
α+β−
α
α− −
= α β
−
∫
−Hieruit is dit duidelik dat
( ) ( )
( )( )
1 1 1
; 1
x b x dx
B b a
a β−
β
α+
α−
β−
α
− =
α β
−
∫
− .Indien X be~ alg 1−
(
a b; ; ;α β)
, is( ) ( )
( )( )
1 1
( 1
) ; ,
X
b x a x b
B a
f x x a
b
− −
+ −
− <
= − − β <
α α
α β β
Wat grafies rofweg soos volg lyk:
16https://www.litnet.co.za/wp-content/uploads/2020/07/Waarskynlikhede-3-Kontinue-modelle.pdf
Let op die rolle wat a en b in die funksie speel. Deur α en βte manipuleer kan hierdie kurwe na links of regs, so ver as wat ’n mens wil, oorhel. Nou is dit redelik maklik om aan te toon dat die verwagte waarde en variansie vanXgelyk is aan
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
, var 2
E X = +a b a− X = b a− 1
+ + + +
α αβ
α β α β α β
As die parameters van die gepaste data nou bekend is, is hierdie waardes dus onmiddellik bekend.
Die gebruike van die gammafunksie is uitgebreid. Daar kon ook nog na die vele gebruike daarvan in die velde van betroubaarheid en toustaanteorie, veral m.b.v. die
Weibullverdeling, verwys word. Om hierdie verdelings in besonderhede te bestudeer behels
’n nuwe en geweldige groot en interessante veld, maar die ruimte en tyd is hier te beperk daarvoor.
f(x)
0 x
a b
