LANDASAN TEORI A. Pembelajaran metematika
D. Bangun Ruang Sisi Datar 1. Kubus
indikator yang digunakan untuk menganalisis kemampuan koneksi matematis siswa SMP Kanisius Gayam kelas VIII A pada materi Kubus dan Balok adalah sebagai berikut:
1. memahami hubungan antara topik dalam matematika.
2. Memahami bagaimana gagasan – gagasan dalam matematika saling berhubungan dan mendasari satu sama lain untuk menghasilkan suatu keutuhan koheren.
3. Mampu menggunakan matematika dalam penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari.
4. Menggunakan koneksi antara matematika dengan matematika sendiri maupun dengan ilmu yang lainnya.
D. Bangun Ruang Sisi Datar 1. Kubus
Kubus merupakan benda masif (pejal) beraturan yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang kongruen.
Pemberian nama pada kubus diurutkan menurut titik sudut sisi alas dan sisi atapnya dengan menggunakan huruf kapital ( Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:303).
Gambar 2.1 kubus ABCD.EFGH
18 Gambar 2.2 kubus ABCD.EFGH
a. Unsur-unsur kubus 1) Sisi
Sisi kubus adalah daerah yang membatasi bagian luar dan bagian dalam dari kubus. Kubus terdiri dari enam sisi berbentuk persegi yang kongruen (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:304).
Perhatikan gambar berikut yang merupakan gambar kubus ABCD.EFGH:
Sisi ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF merupakan sisi-sisi dari kubus ABCD.EFGH.
Sisi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian besar yaitu: a) Sisi datar
Sisi datar terdiri atas sisi alas dan sisi atap (tutup). Pada gambar 2.3 alas kubus yaitu sisi ABCD dan atap kubus yaitu sisi EFGH saling sejajar.
19 b) Sisi tegak
Sisi tegak kubus merupakan sisi kubus yang tegak lurus dengan alas. Pada gambar 2.2 sisi tegak kubus terdiri dari sisi ABFE, DCGH, ADHE, dan BCGF.
2) Rusuk
Rusuk kubus adalah ruas garis yang merupakan perpotongan dua sisi kubus (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:304). Perhatikan kembali kubus ABCD.EFGH pada gambar 2.2 pada gambar tersebut , , , , , , , , , , , merupakan 12 rusuk dari kubus ABCD.EFGH.
3) Titik sudut
Titik sudut kubus merupakan titik persekutuan dari tiga rusuk kubus yang berdekatan. Titik sudut pada kubus ada 8 buah. Titik sudut sering disebut juga titik pojok (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:305). Perhatikan kembali kubus ABCD.EFGH pada gambar 2.2 pada gambar tersebut titik A, B, C, D, E, F, G, H merupakan 8 titik sudut dari kubus ABCD.EFGH .
b. Diagonal kubus
Bangun ruang kubus memiliki diagonal sisi, bidang diagonal, dan diagonal ruang.
20 1) Diagonal sisi kubus
Diagonal sisi kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada sisi kubus. Kubus memiliki 6 buah persegi sebagai sisi kubus. Masing-masing sisi kubus mempunyai dua buah diagonal yang disebut diagonal sisi yang jumlahnya 12 buah. Semua diagonal sisi mempunyai panjang yang sama.
Berikut ini adalah gambar kubus ABCD.EFGH:
Dari gambar kubus ABCD.EFGH diatas, merupakan salah satu diagonal sisi kubus. Diagonal sisi lainnya pada kubus ABCD.EFGH yaitu , , .
Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH pada gambar 2.3 adalah s satuan panjang.
Menggunakan teorema Pythagoras maka diperoleh hitungan sebagai berikut:
21 √ √ √ √
Jadi, diagonal sisi kubus ABCD.EFGH adalah √ satuan panjang. 2) Diagonal ruang
Diagonal ruang kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak terletak dalam sisi kubus yang sama. (Marsigit, 2009:187).
Berikut ini adalah gambar kubus ABCD.EFGH:
Dari gambar kubus ABCD.EFGH diatas, ruas garis merupakan salah satu diagonal ruang kubus ABCD.EFGH. Diagonal ruang lainnya dari kubus ABCD.EFGH diatas adalah ruas garis , ,
dan .
22 Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah s satuan panjang. Menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hitungan sebagai berikut:
√
merupakan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH maka panjang adalah √ satuan panjang, maka:
√ √
√
√ √
Jadi, diagonal ruang kubus ABCD.EFGH adalah √ satuan
panjang.
3) Bidang diagonal kubus
Bidang diagonal kubus merupakan bidang yang memuat sepasang diagonal ruang kubus yang saling berpotongan. Bidang diagonal kubus berbentuk persegi panjang dan bidang diagonal kubus dibatasi oleh 4 garis lurus, yaitu dua rusuk kubus dan dua diagonal sisi yang saling sejajar. Sebuah kubus memiliki 6 buah bidang diagonal.
23 Gambar 2.6 balok ABCD.EFGH
Berikut adalah gambar kubus ABCD.EFGH:
Dari gambar kubus ABCD.EFGH diatas, sisi ACGE merupakan salah satu bidang diagonal kubus. Bidang diagonal kubus yang lainnya antara lain sisi ADGF, DCFE, ABGH, dan BCHE.
2. Balok
Balok merupakan benda masif (pejal) yang dibatasi oleh tiga pasang daerah persegi panjang yang saling sejajar dan kongruen.
Pemberian nama pada balok diurutkan menurut nama sisi alas dan sisi atapnya seperti penamaan pada kubus.( Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:308).
Gambar 2.5 Bidang Diagonal pada Kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH
24 Gambar 2.7 balok ABCD.EFGH
a. Unsur-unsur balok 1) Sisi
Sisi balok adalah daerah yang membatasi bagian luar dan bagian dalam dari balok. Balok memiliki tiga pasang sisi yang berbentuk persegi panjang yang saling sejajar dan kongruen (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:308).
Perhatikan gambar berikut yang merupakan gambar balok ABCD.EFGH:
Sisi ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF merupakan sisi-sisi dari balok ABCD.EFGH.
2) Rusuk
Sebuah balok mempunyai 12 rusuk. Rusuk-rusuk tersebut terbagi dalam tiga bagian yang masing-masing terdiri atas empat rusuk yang sejajar dan sama panjang.
Perhatikan kembali balok ABCD.EFGH pada gambar 2.7 pada gambar tersebut , , , , , , , , , , , merupakan 12 rusuk dari balok ABCD.EFGH.
25 Rusuk balok dibagi menjadi tiga bagian yaitu:
1. Rusuk panjang balok yaitu rusuk , , , dan . 2. Rusuk tinggi balok yaitu rusuk tegak , , , dan . 3. Rusuk lebar balok yaitu rusuk , , , dan . 3) Titik sudut
Titik sudut balok merupakan titik persekutuan dari tiga rusuk balok yang berdekatan. Titik sudut pada balok ada 8 buah. Titik sudut sering disebut juga titik pojok (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:309). Perhatikan kembali balok ABCD.EFGH pada gambar 2.7 pada gambar tersebut titik A, B, C, D, E, F, G, H merupakan 8 titik sudut dari balok ABCD.EFGH .
b. Diagonal balok 1) Diaonal sisi
Diagonal sisi balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada sisi balok tersebut. Balok mempunyai 12 buah diagonal sisi. Diagonal sisi pada balok tidak semuanya mempunyai panjang yang sama, bergantung pada ukuran sisi balok tersebut (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:309). Berikut adalah gambar balok ABCD.EFGH :
26 Gambar 2.8 diagonal sisi balok ABCD.EFGH
Pada gambar balok ABCD.EFGH diatas, ruas garis ̅̅̅̅ merupakan diagonal sisi balok. Diagonal sisi balok lainnya yaitu ruas garis ̅̅̅̅,
̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅.
Misalkan panjang, lebar, dan tinggi balok ABCD.EFGH berturut-turut adalah p, l, dan t.
Menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut:
√
√
Jadi, diagonal sisi balok ABCD.EFGH adalah √ satuan panjang.
√
27 Gambar 2.9 diagonal ruang balok ABCD.EFGH
Jadi, diagonal sisi balok ABCD.EFGH adalah √ satuan panjang.
√
√
Jadi, diagonal sisi balok ABCD.EFGH adalah √ satuan panjang.
Panjang diagonal sisi balok tidak sama, tetapi tergantung letak diagonal sisinya.
2) Diagonal ruang
Diagonal ruang balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak terletak dalam sisi balok yang sama. Berikut ini
28 Balok mempunyai 4 diagonal ruang. Dari gambar balok ABCD.EFGH diatas salah satu diagonal ruang balok yaitu ̅̅̅̅. Diagonal ruang balok lain adalah ̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, dan ̅̅̅̅.
Menggunakan teorema Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut:
√
̅̅̅̅ merupakan diagonal sisi balok ABCD.EFGH maka nilai adalah , maka:
√
Jadi, diagonal ruang balok ABCD.EFGH adalah √ dengan
p, l, dan t merupakan panjang, lebar, dan tinggi balok ABCD.EFGH. 3) Bidang diagonal
Bidang diagonal balok merupakan bidang yang memuat sepasang diagonal balok yang saling berpotongan. Dalam balok, bidang diagonal dibatasi oleh dua rusuk balok yang sejajar dan sepasang diagonal sisi yang sejajar. Bidang diagonal balok berbentuk persegi panjang. Keenam diagonal pada satu balok merupakan tiga pasang daerah persegi panjang yang sepasang-sepasang saling kongruen (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:309).
29 Gambar 2.10 bidang diagonal balok ABCD.EFGH
Dari gambar balok ABCD.EFGH diatas, sisi BDHF merupakan salah satu bidang diagonal balok. Bidang diagonal balok lainnya adalah ACGE, ADGF, BCHE, CDEF, dan ABGH.
3. Jaring-jaring kubus dan balok
a. Jaring-jaring kubus
Jaring-jaring kubus merupakan rangkaian 6 buah persegi yang kongruen, tetapi rangkaian 6 buah persegi kongruen belum tentu merupakan jaring-jaring kubus (Cholik Adinawan dan Sugijono, 2013:115).
Jaring-jaring kubus diperoleh dari model kubus yang dipotong pada beberapa rusuknya kemudian direbahkan sedemikian sehingga masing-masing sisi saling bersekutu dengan sisi lain seperti pada gambar berikut ini:
30 Gambar 2.11 jaring-jaring kubus ABCD.EFGH
b. Jaring-jaring balok
Jaring-jaring balok merupakan rangkaian 6 buah persegi panjang yang terdiri dari 3 pasang persegi panjang yang kongruen (Cholik Adinawan dan Sugijono, 2013:115).
Jaring-jaring balok diperoleh dari model balok yang dipotong pada beberapa rusuknya kemudian direbahkan sedemikian sehingga masing-masing sisi saling bersekutu dengan sisi lain seperti pada gambar berikut ini:
31 Gambar 2.11 jaring-jaring kubus ABCD.EFGH
4. Luas permukaan kubus dan balok
a. Luas permukaan kubus
Kubus diatas memiliki panjang rusuk = s
Luas permukaan kubus =
=
b. Luas permukaan balok
Balok diatas berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t.
Luas permukaan balok
32
5. Volume kubus dan balok
Volume adalah isi dari bangun-bangun ruang. Volume diujur dalam satuan kubik ( Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006:307).
a. Volume kubus
Untuk menentukan volume (V) kubus, cari dahulu luas alas (A), lalu dikalikan dengan tinggi (t).
Misalkan panjang rusuk kubus adalah s.
dan , maka rumusan volume kubus adalah
b. Volume balok
Untuk menentukan volume (V) balok, cari dahulu luas alas (A) lalu dikalikan dengan tinngi balok (t).