Batasan Masalah

BAB I PENDAHULUAN

1.5 Batasan Masalah

Batasan masalah pada skripsi ini yaitu:

1. Pengujian sistem dalam penelitian ini menggunakan software MATLAB R2012b.

2. Pembahasan hanya mengenai penerapan sistem kontrol PID dan LQR pada motor dc seri.

3. Metodi tuning yang digunakan dalam penentuan parameter PID adalah metode Ziegler-Nichols.

4. Penelitian ini tidak membahas motor dc yang dibebani.

5. Penelitian ini tidak membahas aliran daya dan efisiensi motor.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Motor DC

Mesin yang mengonversi energi listrik arus searah (direct current) menjadi energi mekanik dikenal sebagai motor dc. Pengoperasiannya berdasarkan prinsip ketika konduktor pembawa arus ditempatkan di suatu medan magnet, konduktor akan mengalami gaya mekanis [1].

2.1.1 Konstruksi Motor DC

Secara umum motor dc memiliki konstruksi yang sama, terbagi atas dua bagian, yaitu : bagian yang diam dan bagian yang bergerak. Bagian yang diam disebut stator dan bagian yang berputar/bergerak disebut rotor [2]. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.1 yaitu konstruksi dari motor dc bagian stator dan pada Gambar 2.2 yaitu konstruksi motor dc bagian rotor.

Gambar 2.1 Konstruksi Motor DC Bagian Stator

Gambar 2.2 Konstruksi motor dc bagian rotor Keterangan dari gambar tersebut adalah:

1. Rangka

Rangka motor dc adalah tempat meletakkan sebagian besar komponen mesin dan melindungi bagian mesin. Untuk itu rangka harus dirancang memiliki kekuatan mekanis yang tinggi untuk mendukung komponen-komponen mesin tersebut.

Rangka juga berfungsi sebagai tempat mengalirkan fluksi magnet yang dihasilkan oleh kutub-kutub medan. Rangka dibuat dengan menggunakan bahan ferromagnetik yang memiliki permeabilitas tinggi. Rangka biasanya terbuat dari baja tuang (cast steel) atau baja lembaran (rolled steel) yang berfungsi sebagai penopang mekanis dan juga sebagai bagian dari rangkaian magnet [3].

2. Kutub Medan

Kutub medan terdiri atas inti kutub dan sepatu kutub. Sepatu kutub yang berdekatan dengan celah udara dibuat lebih besar dari badan inti. Dimana fungsinya adalah untuk menahan kumparan medan di tempatnya dan menghasilkan distribusi

fluksi yang lebih baik yang tersebar di seluruh jangkar dengan menggunakan permukaan yang melengkung.Pada inti kutub ini dibelitkan kumparan medan yang terbuat dari kawat tembaga yang berfungsi ntuk menghasilkan fluksi magnetik [4].

3. Sikat

Sikat adalah jembatan bagi aliran arus ke kumparan jangkar. Dimana permukaan sikat ditekan ke permukaan segmen komutator untuk menyalurkan arus listrik. Sikat memegang peranan penting untuk terjadinya komutasi. Sikat terbuat dari bahan karbon dengan tingkat kekerasan yang bermacam-macam dan dalam beberapa hal dibuat dari campuran karbon dan logam tembaga. Sikat harus lebih lunak daripada segmen-segmen komutator supaya gesekan yang terjadi antara segmen-segmen komutator dan sikat tidak mengakibatkan ausnya komutator [12].

4. Kumparan Medan

Kumparan medan adalah susunan konduktor yang dibelitkan pada inti kutub. Dimana konduktor tersebut terbuat dari kawat tembaga yang berbentuk bulat atapun persegi.Rangkaian medan yang berfungsi untuk menghasilkan fluksi utama dibentuk dari kumparan pada setiap kutub.Pada aplikasinya rangkaian medan dapat dihubungkan dengan kumparan jangkar baik seri maupun parallel dan juga dihubungkan tersendiri langsung kepada sumber tegangan sesuai dengan jenis penguatan pada motor.

5. Kumparan Jangkar

Kumparan jangkar pada motor arus searah merupakan tempat dibangkitkannya ggl induksi.

6. Inti Jangkar

Inti jangkar yang umumnya digunakan dalam motor arus searah adalah berbentuk silinder yang diberi alur-alur pada permukaannya untuk tempat melilitkan kumparan jangkar tempat terbentuknya ggl induksi.

7. Komutator

Fungsi komutator untuk fasilitas penghubung arus dari konduktor jangkar,sebagai penyearah mekanik, yang bersama-sama dengan sikat membuat sesuatu kerjasama yang disebut komutasi.

8. Celah Udara

Celah udara merupakan ruang atau celah antara permukaan jangkar dengan permukaan sepatu kutub yang menyebabkan jangkar tidak bergesekan dengan sepatu kutub

2.1.2 Prinsip Kerja Motor DC

Setiap konduktor yang mengalirkan arus mempunyai medan magnet di sekelilingnya. Arahnya dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan. Kuat medan tergantung pada besarnya arus yang mengalir dalam konduktor [3].

Arus mengalir melalui kumparan jangkar dari sumber tegangan dc, menyebabkan jangkar beraksi sebagai magnet. Gambar 2.3 menjelaskan prinsip kerja motor dc magnet permanen.

1. Pada posisi 1 arah arus mengalir dari sikat positif menuju ke sikat negatif.

Akan timbul torsi yang menyebabkan jangkar berputar berlawanan arah jarum jam.

2. Ketika jangkar pada posisi 2, sikat terhubung dengan kedua segmen komutator. Aliran arus pada jangkar terputus sehingga tidak ada torsi yang dihasilkan. Tetapi, kelembaman menyebabkan jangkar tetap berputar melewati titik netral.

3. Pada posisi 3, letak sisi jangkar berkebalikan dari letak sisi jangkar pada posisi 1. Segmen komutator membalik arah arus elektron yang mengalir pada kumparan jangkar. Oleh karena itu arah arus yang mengalir pada kumparan jangkar sama dengan posisi 1. Torsi akan timbul yang menyebabkan jangkar tetap berputar berlawanan arah jarum jam.

4. Jangkar berada pada titik netral. Karena adanya kelembaman pada poros jangkar, maka jangkar berputar terus-menerus.

Gambar 2.3 Prisip Kerja Motor DC

2.1.3 Jenis-jenis Motor DC

Pada dasarnya, motor dc diklasifikasikan menjadi 2 jenis utama berdasarkan sumber arus penguat magnetnya, yaitu motor dc penguat terpisah (separately excited dc motor) dan motor dc penguat sendiri (self exited dc motor). Motor dc penguat sendiri ini dapat dibedakan lagi menjadi tiga jenis yaitu motor dc shunt (shunt wound dc motor), motor dc seri (series wound dc motor), dan motor dc kompon (compound wound dc motor).

2.1.3.1 Motor DC Penguat Terpisah

Pada motor dc jenis sumber daya terpisah ini, sumber arus listrik untuk kumparan medan (field winding) terpisah dengan sumber arus listrik untuk kumparan jangkar (armature coil) pada rotor seperti terlihat pada Gambar 2.4 di bawah ini. Karena adanya rangkaian tambahan dan kebutuhan sumber daya tambahan untuk pasokan arus listrik, motor dc jenis ini menjadi lebih mahal sehingga jarang digunakan. Motor ini umumnya digunakan di laboratorium untuk penelitian dan peralatan-peralatan khusus.

Gambar 2.4 Rangkaian Ekivalen Motor DC Penguat Terpisah

Persamaan umum motor dc penguat terpisah yaitu:

2.1.3.2 Motor DC Penguat Sendiri

Motor dc penguat sendiri terbagi menjadi tiga, yaitu : 1. Motor DC Shunt

Motor dc jenis shunt pada motor shunt, kumparan medan shunt dibuat dengan banyak lilitan kawat kecil sehingga mempunyai tahanan yang tinggi. Motor shunt mempunyai rangkaian jangkar dan medan yang dihubungkan parallel yang memberikan kekuatan medan dan kecepatan motor yang sangat konstan. Kecepatan motor dapat dikontrol di atas kecepatan dasar. Kecepatan motor akan menjadi berbanding terbalik dengan arus medan. Ini berarti motor shunt berputar cepat dengan arus medan

rendah dan berputar lambat pada saat arus medan ditambah. Motor shunt dapat melaju pada kecepatan tinggi jika arus kumparan medan hilang [15].

Rangkaian ekivalen motor dc shunt dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Rangkaian Ekivalen Motor DC Shunt Persamaan umum motor dc shunt yaitu:

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝐸𝐸_𝑏𝑏+ 𝐼𝐼_𝑎𝑎𝑅𝑅_𝑎𝑎 (2.3)

𝑉𝑉𝑠𝑠ℎ = 𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝐼𝐼𝑠𝑠ℎ𝑅𝑅𝑠𝑠ℎ (2.4)

𝐼𝐼𝐿𝐿 = 𝐼𝐼𝑎𝑎+ 𝐼𝐼𝑠𝑠ℎ (2.5)

di mana:

𝐼𝐼_𝑠𝑠ℎ = arus kumparan penguat medan shunt (ampere) 𝑉𝑉𝑠𝑠ℎ = tegangan terminal penguat medan shunt (volt) 𝑅𝑅𝑠𝑠ℎ = tahanan kumparan penguat medan shunt (ohm) 𝐼𝐼_𝐿𝐿 = arus beban (ampere)

2. Motor DC Seri

Pada motor dc seri, medan dihubungkan secara seri dengan jangkar.

Oleh karena medan seri harus mengalirkan seluruh arus jangkar, maka lilitannya sedikit dan kawatnya relatif besar. Setiap perubahan beban

menyebabkan perubahan arus jangkar dan juga perubahan fluksi medan.

Oleh sebab itu, ketika beban berubah, kepesatan juga berubah [3].

Motor dc seri memiliki torka awal yang tinggi tetapi kecepatannya bervariasi dengan beban. Secara teori motor akan meningkat kecepatannya sampai rusak sendiri, terbatasi hanya oleh hambatan angin dari rotasi angker dan gesekan bila beban sama sekali dilepaskan. Untuk alasan ini motor hanya cocok untuk kopel langsung ke suatu beban, kecuali pada motor yang sangat kecil, seperti pada pembersih debu dan bor tangan, dan sangat ideal untuk aplikasi seperti pada kereta listrik, derek, dan kerekan [13].

Rangkaian ekivalen motor dc seri ditunjukkan pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6 Rangkaian Ekivalen Motor DC Seri

Pada motor dc seri, arus jangkar, arus kumparan penguat medan, dan arus beban besarnya sama [5]. Persamaan Kirchoff untuk motor ini yaitu :

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑏𝑏+ 𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑅𝑅𝑎𝑎+ 𝑅𝑅𝑠𝑠) (2.6)

3. Motor DC Kompon (Compound)

Motor dc jenis kompon ini menggunakan lilitan seri dan lilitan shunt, yang umumnya digabung sehingga medan-medannya bertambah secara komulatif. Hubungan dua lilitan ini menghasilkan karakteristik pada motor medan shunt dan motor medan seri. Kecepatan motor tersebut bervariasi lebih sedikit dibandingkan motor shunt, tetapi tidak sebayak motor seri. Motor dc jenis kompon juga mempinyai torsi starting yang agak besar, jauh lebih besar daripada motor jenis shunt, tapi lebih kecil dibandingkan jenis seri. Keistimewaan gabungan ini membuat motor kompon memberikan variasi penggunaan yang luas.

Motor dc kompon terbagi menjadi dua jenis, yaitu:

a) Motor DC Kompon Pendek

Rangkaian ekivalen motor dc kompon pendek ditunjukkan oleh Gambar 2.7.

Gambar 2.7 Rangkaian Ekivalen Motor DC Kompon Pendek Persamaan umum motor dc kompon pendek yaitu:

𝐼𝐼_𝐿𝐿 = 𝐼𝐼_𝑎𝑎+ 𝐼𝐼_𝑠𝑠ℎ (2.9)

𝑉𝑉_𝑠𝑠 = 𝐸𝐸_𝑏𝑏+ 𝐼𝐼_𝑎𝑎𝑅𝑅_𝑎𝑎+ 𝐼𝐼_𝐿𝐿𝑅𝑅_𝑠𝑠 (2.10)

𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝑉𝑉𝑠𝑠𝐼𝐼𝐿𝐿 (2.11)

b) Motor DC Kompon Panjang

Rangkaian ekivalen motor dc kompon pendek ditunjukkan oleh Gambar 2.8.

Gambar 2.8 Rangkaian Ekivalen Motor DC Kompon Panjang Persamaan umum motor arus searah penguatan Kompon panjang:

𝐼𝐼𝐿𝐿 = 𝐼𝐼𝑎𝑎+ 𝐼𝐼𝑠𝑠ℎ (2.12)

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑏𝑏+ 𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑅𝑅𝑎𝑎+ 𝑅𝑅𝑠𝑠) (2.13)

𝑃𝑃_{𝑖𝑖𝑖𝑖}= 𝑉𝑉_𝑠𝑠𝐼𝐼_𝐿𝐿 (2.14)

𝑉𝑉_𝑡𝑡 = 𝑉𝑉_𝑠𝑠ℎ (2.15)

2.2 Sistem Kontrol

Sistem kontrol adalah proses pengaturan ataupun pengendalian terhadap satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga berada pada suatu nilai atau dalam suatu harga (range) tertentu sesuai dengan yang dibutuhkan.

2.2.1 Respon Sistem

Dalam berbicara mengenai sistem kontrol, masalah yang menjadi pokok perhatian adalah:

a. Kestabilan dan kemampuan sistem meredam gangguan.

b. Waktu tunda (delay time), t

d : waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk mencapai setengah harga akhir pada saat lonjakan pertama.

c. Waktu naik (rise time), t

r : waktu yang dibutuhkan oleh respon untuk naik atau 0% menjadi 100% dari nilai akhir.

d. Waktu turun (settling time), t

s : Waktu turun adalah waktu yang diperlukan oleh respon agar dapat mencapai dan tetap berada dalam gugus nilai akhir, ukuran yang disederhanakan dengan persentase mutlak harga akhirnya (biasanya 2% atau 5%).

e. Lonjakan maksimum (maximum overshoot), 𝑀𝑀_𝑝𝑝 : harga puncak maksimum dari kurva respon yang diukur dari nilai akhir.

f. Waktu puncak (peak time), t

p : waktu yang diperlukan sistem untuk mencapai lonjakan maksimum.

g. Steady state error : sinyal kesalahan yang merupakan selisih dari nilai reference dengan nilai sebenarnya pada waktu tak terhingga.

Contoh respon sistem dapat dilihat pada Gambar 2.9 [11]. Adapun respon sistem c(t) merupakan respon dengan masukan unit-step (step response).

Gambar 2.9 Respon Sistem dengan Masukan Unit-Step (Step Response)

dengan:

Mp = overshoot maximum

tp = peak time td = delay time ts = settling time tr = rise time

2.2.2 Fungsi Alih

Dalam teori kontrol, fungsi yang disebut “fungsi alih” seringkali digunakan untuk mencirikan hubungan masukan-keluaran dari sistem linier parameter

konstan. Konsep fungsi alih hanya digunakan pada sistem linier parameter konstan, walaupun dapat diperluas untuk suatu sistem kontrol nonlinier [11].

Fungsi alih dari sistem linear invariant waktu diartikan sebagai transfromasi Laplace dari respons impuls, dengan seluruh kondisi awal nol. Misalkan 𝐺𝐺(𝑠𝑠) menyatakan fungsi alih dari sistem masukan tunggal keluaran tunggal, dengan masukan r(t) dan keluaran c(t) serta respon impuls g(t). Kemudian fungsi alih 𝐺𝐺(𝑠𝑠) didefenisikan sebagai [7]:

Sifat-sifat fungsi alih dapat dirangkum sebagai berikut:

1. Fungsi alih dari sistem adalah model matematika yang merupakan metode operasional dari pernyataan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel keluaran dengan variabel masukan.

2. Fungsi alih adalah sifat dari sistem tersebut sendiri, tidak tergantung dari besaran dan sifat dari masukan atau fungsi penggerak.

3. Fungsi alih termasuk unit yang diperlukan untuk menghubungkan masukan dengan keluaran; namun, ia tidak memberikan informasi apapun mengenai struktur fisik dari sistem tersebut. (Fungsi alih dari banyak sistem yang secara fisik berbeda dapat identik).

4. Jika fungsi alih dari sistem diketahui, keluaran atau tanggapan dapat ditelaah untuk berbagai macam bentuk masukan dengan pandangan terhadap pengertian akan sifat dari sistem tersebut.

5. Jika fungsi alih dari sistem tidak diketahui, ia mungkin dapat diadakan secara percobaan dengan menggunakan masukan yang diketahui dan menelaah keluaran dari sistem tersebut. Sekali diadakan, fungsi alih memberikan penjelasan penuh dan karakteristik dinamika dari sistem, yang berbeda dan penjelasan fisiknya.

2.2.3 Sistem Kontrol Loop Tertutup

Sistem merupakan kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-sama dan mempunyai suatu tujuan tertentu [10]. Sistem kontrol merupakan suatu sistem yang terdiri dari beberapa sub sistem yang berfungsi mengendalikan suatu plant/proses. Sistem kontrol sudah berkembang sejak awal abad ke-20, yaitu dengan diketemukannya kontroler proporsional, integral dan differensial. Dalam perkembangannya, ketiga sistem tersebut digabung menjadi kontroler PID. Dalam prakteknya, sistem kontrol itu sendiri mengalami gangguan.

Gangguan (disturbance) adalah sinyal yang tidak diinginkan tetapi mempunyai pengaruh keluaran yang merugikan pada keluaran sistem [10]. Bentuk diagram blok tertutup dapat dilihat pada Gambar 2.10, dengan Gc(s) adalah fungsi alih kontroler, Gp(s) adalah fungsi alih plant (yang ingin dikendalikan), H(s) adalah fungsi alih umpan balik, dan G(s) adalah fungsi alih dari sistem keseluruhan.

Gambar 2.10 Diagram Blok Sistem Loop Tertutup

2.2.4 Persamaan Ruang Keadaan

Persamaan ruang keadaan (state-space equation) dari sistem dinamik mengandung tiga hal, yaitu variabel input (input variable), variabel output (output variable) dan variabel keadaan (state variable).

Persamaan ruang keadaan dari suatu sistem dapat bervariasi, sesuai dengan definisi awal dari variabel-variabel suatu sistem. Misalkan suatu sistem memiliki state sejumlah n (persamaan diferensial biasa berdimensi n), input sebanyak r, dan output sebanyak m. Misalkan pula 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑖𝑖) dan 𝑢𝑢 = (𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, … , 𝑢𝑢𝑟𝑟), maka sistem tersebut dapat dituliskan sebagai:

𝑥𝑥̇₁ = 𝑓𝑓₁(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, 𝑡𝑡), 𝑥𝑥̇₂ = 𝑓𝑓₂(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, 𝑡𝑡),

.

.

.

.

𝑥𝑥̇_𝑖𝑖 = 𝑓𝑓_𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, 𝑡𝑡) (2.19)

Sedangkan output diberikan sebagai berikut :

Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:

𝑥𝑥̇(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, 𝑡𝑡) (2.21)

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, 𝑡𝑡) (2.22)

(Disebut sistem time-varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t).

Jika vektor fungsi f, g bergantung kepada variabel t, maka persamaan (2.21) dan (2.22) disebut sistem time-variying. Jika sistem tersebut dilinearkan, maka persamaan linear ruang keadaan dalam persamaan outputnya dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑥𝑥̇(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴(𝑡𝑡)𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡) (2.23)

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝐷𝐷(𝑡𝑡)𝑢𝑢(𝑡𝑡) (2.24)

Dengan A(𝑡𝑡) disebut matriks keadaan, B(𝑡𝑡) matriks masukan, C(𝑡𝑡) matriks keluaran, dan D(𝑡𝑡) matriks transmisi langsung.

Bila fungsi vektor f dan g tidak bergantung terhadap waktu t, maka sistem disebut sistem time-invariant. Dalam hal ini, Persamaan (2.21) dan (2.22) dapat disederhanakan menjadi:

𝑥𝑥̇(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑢𝑢) (2.25)

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑢𝑢) (2.26)

Persamaan (2.23) dan (2.24) dapat dilinearkan di sekitar titik operasi sebagai berikut:

𝑥𝑥̇(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑡𝑡) (2.27)

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝐷𝐷𝑢𝑢(𝑡𝑡) (2.28)

2.2.5 Pengaturan Kecepatan dan Pemodelan Matematik Motor DC Seri Sebelumnya telah dipaparkan penjelasan tentang motor dc seri yang menggambarkan rangkaian motor dc seri jika ditinjau pada keadaan steady. Pada kasus penelitian ini, yang diamati adalah perilaku motor dc seri mulai dari keadaan start hingga keadaan steady yang tentunya dalam proses menuju keadaan steady akan melewati masa transien sehingga timbul induktansi pada kumparan.

Model rangkaian motor dc seri dapat dilihat pada Gambar 2.11.

Gambar 2.11 Model Rangkaian Motor DC Seri

Dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada rangkaian, diperoleh persamaan listrik dari motor:

( ) ( )

Besar arus jangkar (𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡)) sama dengan besar arus pada kumparan medan (𝑖𝑖𝑠𝑠(𝑡𝑡)), sehingga:

( ) ( ) ( ) ( ) ^a( ) ( )

s a s a a s b

v t R R i t L L di t e t

= + + + dt + (2.30)

Adapun ggl lawan (

e

_b(t)) berbanding lurus dengan kecepatan angular motor (ω( )t ) yang dinyatakan dengan:

( ) ( )

b b

e t =K ω t (2.31)

Jika motor dalam kondisi steady state maka tegangan suplai konstan yang besarnya yaitu:

( )

s a s a b

V = R +R I + E (2.32)

Kita substitusikan persamaan (2.31) ke dalam persamaan (2.32) sehingga diperoleh:

( )

s a s a b

V = R +R I +K ω (2.33)

Dari persamaan (2.33) dapat kita peroleh kecepatan motor yang dinyatakan dengan persamaan:

L = Induktansi kumparan penguat medan (henry) s

I = Arus jangkar (ampere) a

E = Gaya gerak listrik lawan motor (volt) b

ω = kecepatan angular (rad/s)

K = Konstanta tegangan balik (V.s/rad) b

Untuk memperoleh model matematik motor dc, kita perlu menggunakan persamaan listrik dari motor dan persamaan mekanik dari motor.

Sekarang kita perhatikan persamaan mekanik dari motor dc seri yang terkopel dengan torsi beban dinyatakan oleh:

( ) ( ) ( ) ( )

Pada motor dc berlaku persamaan:

( ) ( )

Substitusikan persamaan (2.31) ke dalam persamaan (2.30), maka:

( ) ( ) ( ) ( ) ^a( ) ( )

s a s a a s b

v t R R i t L L di t K t

dt ω

= + + + + (2.37)

Kita totalkan nilai tahanan jangkar dan tahanan kumparan medan menjadi suatu nilai yang dinyatakan sebagai Rt . Demikian juga total nilai induktansi jangkar dan induktansi kumparan medan dinyatakan sebagai Lt , sehingga:

( ) ( ) ^a( ) ( )

s t a t b

v t R i t L di t K t

dt ω

= + + (2.38)

Jika motor diaplikasikan tanpa terkopel dengan beban, maka dari persamaan (2.36):

Transformasi Laplace dari persamaan (2.38) dan (2.39) adalah:

( ) ( ) ( ) ( )

Jika arus ditentukan dari persamaan (2.41) lalu disubstitusikan ke dalam persamaan (2.40) maka diperoleh:

1 2

sehingga fungsi alih (fungsi transfer) antara kecepatan rotor dan tegangan yang diberikan dinyatakan sebagai:

Sekarang, akan kita modelkan motor dc ke dalam bentuk persamaan ruang keadaan. Pertama, kita perhatikan bahwa kecepatan motor dc yang dibutuhkan adalah konstan. Maka, output kita nyatakan sebagai kecepatan angular.

( ) ( )

y t =ω t (2.44)

Dari persamaan (2.38) dan (2.39), kita tetapkan variabel keadaan (state

Kita susun kembali persamaan (2.45) dan (2.46) menjadi:

1 1 2

dan persamaan outputnya adalah:

( ) 2( )

y t =x t (2.49)

Oleh karena itu, ruang keadaan (state-space) dinyatakan sebagai

Persamaan keadaan: x t( )= Ax t( )+Bu t( ) (2.50)

Persamaan output: y t( )=Cx t( ) (2.51)

dengan sistem matriksnya adalah:

t b

2.3 Kontroler Proporsional – Integral – Derivative (PID)

Kombinasi dari aksi kontrol proporsional, aksi kontrol integral, dan aksi kontrol turunan disebut aksi kontrol proporsional ditambah integral ditambah turunan. Persamaan dengan tiga kombinasi ini diberikan oleh:

u(t) = K e tp

( )

+

( )

dengan Kp penguatan proporsional, Ti waktu integral, dan Td waktu turunan.

Kontrol PID ditunjukkan pada Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Diagram Blok Kontrol PID

Efek dari setiap controller (K_{p, 𝐾𝐾𝑖𝑖, 𝐾𝐾𝑑𝑑}) dalam sistem loop tertutup diperlihatkan pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Karakterisitik Parameter Pengendali PID

Tanggapan Loop Tertutup

Waktu Naik Overshoot Waktu Turun

Kesalahan keadaan tunak Proporsional (Kp) Menurun Meningkat Perubahan kecil Menurun

Integral (Ki) Menurun Meningkat Meningkat Hilang

Derivatif (Kd) Perubahan kecil Menurun Menurun Perubahan kecil

Metode Tuning Ziegler-Nichols

Aspek yang sangat penting dalam desain kontroler PID adalah penentuan parameter kontroler PID supaya sistem loop tertutup memenuhi kriteria

performansi yang diinginkan. Hal ini disebut juga dengan tuning kontroler. Ziegler-Nichols memperkenalkan dua metode tuning yaitu metode pertama dan metode kedua.

a. Metode Pertama :

Pada metode pertama kita memperoleh respon dari plant terhadap masukan unit-step secara eksperimen. Metode ini diaplikasikan jika respon terhadap step-input menunjukkan kurva berbentuk S seperti pada Gambar 2.13. Responnya dinyatakan oleh dua parameter, L yaitu waktu tundaan dan T yaitu waktu konstan.

Parameter ini diperoleh dengan menggambarkan sebuah tangen terhadap respon step pada titik infleksinya dan tidak ada perpotongan dengan sumbu waktu dan nilai keadaan tunak.

Parameter kontrol Ziegler-Nichols diturunkan berdasarkan formula yang ditunjukkan pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Formula Metode Pertama Ziegler-Nichols

Tipe Kontrol Kp Ti=Kp/Ki Td=Kd/Kp

P T/L ∞ 0

PI 0.9T/L L/0.3 0

PID 1.2T/L 2L 0.5L

Kontroler PID yang di-tune menggunakan metode pertama memberikan:

( )

^{(1 1 )}

( )

Gambar 2.13 Kurva Respon untuk Metode Pertama Ziegler-Nichols

b. Metode Kedua :

Teknik ini didesain untuk memberi hasil pada sistem loop tertutup dengan 25% max-overshoot. Langkah-langkah tuning dengan metode kedua Ziegler-Nichols yaitu sebagai berikut.

Hanya menggunakan kontrol proportional feedback:

1. Kurangi gain integrator dan derivative sampai nol.

2. Naikkan Kp dari 0 sampai nilai kritis (critical value) Kp=Kcr di mana terjadi osilasi berkelanjutan. Jika tidak terjadi maka dapat diterapkan metode lain.

3. Catat nilai Kcr dan periode osilasi berkelanjutan yang sesuai, Pcr.

Gain kontroler untuk metode kedua Ziegler-Nichols ditunjukkan ditunjukkan pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3 Formula Metode Kedua Ziegler-Nichols

Tipe Kontrol Kp Ti Td

P 0.5 Kcr ∞ 0

PI 0.45 Kcr Pcr/1.2 0

PID 0.6 Kcr Pcr/2 Pcr/8

Jika kita substitusikan formula pada Tabel 2.3 ke dalam persamaan 2.54 memberikan:

2.4 Kontroler Linear Quadratic Regulator (LQR)

Sistem optimal adalah sistem yang mempunyai unjuk kerja terbaik (best performance) terhadap suatu acuan tertentu. Sistem kontrol optimal memerlukan adanya suatu kriteria optimasi yang dapat meminimumkan hasil pengukuran dengan deviasi perilaku sistem terhadap perilaku idealnya [9].

Pengukuran tersebut dilakukan dengan menentukan indeks performansi, yang merupakan suatu fungsi dari suatu harga yang dapat dianggap menunjukkan seberapa besar kinerja sistem yang sesungguhnya sesuai dengan kinerja yang diinginkan. Indeks performansi merupakan tolak ukur suatu sistem kontrol optimal.

Sistem akan optimal bila nilai indeks performansinya adalah minimum.

Dalam beberapa proses, variabel yang dikontrol akan mengalami deviasi karena adanya gangguan. Regulator kontrol dirancang untuk melakukan kompensasi terhadap gangguan.

Linear Quadratic Regulator merupakan salah satu metode dalam perancangan sistem kontrol optimal. Keuntungan dari metode kendali kuadratis optimal yaitu bentuk dari sistem kendali ini dapat menyediakan cara yang sistematis untuk menghitung matrik penguat umpan balik keadaan (K) untuk masukan (u) sebanyak m. Bentuk dari sinyal kendali, yaitu :

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = −𝐾𝐾𝑥𝑥(𝑡𝑡) (2.59)

Dengan bentuk indeks kerjanya:

J = ∫ [𝑥𝑥₀^{∞ 𝑇𝑇}𝑄𝑄𝑥𝑥 + 𝑢𝑢^𝑇𝑇𝑅𝑅𝑢𝑢]𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.60)

di mana:

Q = matriks simetris, semi definit positif, real (Q > 0) R = matrik simetris, definit positif, real (R > 0)

Matrik Q dan R menentukan nilai kesalahan dan pengeluaran energinya.

Dalam hal ini, diasumsikan bahwa vektor kendali u(t) tidak dibatasi.

Hukum kendali linier yang terdapat pada persamaan (2.59) merupakan hukum kendali optimal. Dengan demikian, jika elemen yang tidak diketahui dari matriks K sudah ditentukan begitu pula indeks kinerja minimum, maka bentuk persamaan (2.59) tersebut optimal untuk keadaan inisial x(0) manapun. Bentuk diagram blok dari konfigurasi optimal dapat dilihat pada Gambar 2.14 berikut.

Gambar 2.14 Sistem kendali LQR

Dengan memasukan persamaan (2.59) ke dalam persamaan bentuk persamaan umum keadaan, maka didapat:

𝑥𝑥̇ = 𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝐵𝐵𝐾𝐾𝑥𝑥 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)𝑥𝑥 (2.61)

Dan dengan memasukkan persamaan (2.59) ke dalam persamaan (2.60) akan diperoleh:

J = ∫ [𝑥𝑥₀^{∞ 𝑇𝑇}𝑄𝑄𝑥𝑥 + 𝑥𝑥^𝑇𝑇𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾𝑥𝑥]𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.62) J = ∫ 𝑥𝑥₀^{∞ 𝑇𝑇}[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.63) atau:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 =_{𝑑𝑑𝑡𝑡}^𝑑𝑑 (𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥) (2.64) (superscript T menyatakan transpose matriks)

Dimana P adalah positif-definite Hermitian atau matrik simetris nyata, sehingga akan didapatkan:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 = −𝑥𝑥̇^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥 − 𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥̇ (2.65)

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 = −𝑥𝑥^𝑇𝑇[(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)]𝑥𝑥 (2.66) Dari persamaan diatas maka didapat bentuk penyederhanaan:

(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾) = −(𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾) (2.67) Jika sistem dalam kondisi stabil, yaitu nilai eigen yang didapat bernilai negatif, maka akan selalu terdapat satu matrik P yang positif-definite untuk memenuhi persamaan diatas. Apabila tidak didapatkan matrik P yang positif-definite maka sistem tersebut tidak stabil.

Indeks kinerja J, dapat dievaluasi sebagai berikut:

𝐽𝐽 = ∫ 𝑥𝑥₀^{∞ 𝑇𝑇}[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡= −𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥|₀^∞ (2.68) 𝐽𝐽 = −𝑥𝑥^𝑇𝑇(∞)𝑃𝑃𝑥𝑥(∞) + 𝑥𝑥^𝑇𝑇(0)𝑃𝑃𝑥𝑥(0) (2.69) Karena sistem diasumsikan dalam keadaan stabil dimana seluruh nilai eigen bernilai negatif, maka 𝑥𝑥(∞) → 0, maka akan didapat:

𝐽𝐽 = 𝑥𝑥^𝑇𝑇(0)𝑃𝑃𝑥𝑥(0) (2.70)

Dengan demikian, indeks kinerja akan didapat pada saat kondisi inisial x(0) dan P. Karena R diasumsikan bernilai positif-definite Hermitian atau matriks simetris nyata, maka dapat ditulis sebagai berikut:

𝑅𝑅 = 𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇 (2.71)

Di mana T adalah matriks non singular, sehingga persamaan (2.67) dapat diubah menjadi:

(𝐴𝐴^𝑇𝑇− 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝐵𝐵^𝑇𝑇)𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾) + 𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇K = 0 (2.72) Atau:

𝐴𝐴^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝐴𝐴 + [𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃] −

𝑃𝑃𝐵𝐵𝑅𝑅⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑄𝑄 = 0 (2.73)

Minimisasi J terhadap K membutuhkan minimalisasi dari persamaan berikut:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]𝑥𝑥 (2.74) Karena bentuk persamaan di atas tidak negative, nilai minimum timbul saat

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]𝑥𝑥 (2.74) Karena bentuk persamaan di atas tidak negative, nilai minimum timbul saat