Kontroler Linear Quadratic Regulator (LQR)

BAB II DASAR TEORI

2.4 Kontroler Linear Quadratic Regulator (LQR)

Sistem optimal adalah sistem yang mempunyai unjuk kerja terbaik (best performance) terhadap suatu acuan tertentu. Sistem kontrol optimal memerlukan adanya suatu kriteria optimasi yang dapat meminimumkan hasil pengukuran dengan deviasi perilaku sistem terhadap perilaku idealnya [9].

Pengukuran tersebut dilakukan dengan menentukan indeks performansi, yang merupakan suatu fungsi dari suatu harga yang dapat dianggap menunjukkan seberapa besar kinerja sistem yang sesungguhnya sesuai dengan kinerja yang diinginkan. Indeks performansi merupakan tolak ukur suatu sistem kontrol optimal.

Sistem akan optimal bila nilai indeks performansinya adalah minimum.

Dalam beberapa proses, variabel yang dikontrol akan mengalami deviasi karena adanya gangguan. Regulator kontrol dirancang untuk melakukan kompensasi terhadap gangguan.

Linear Quadratic Regulator merupakan salah satu metode dalam perancangan sistem kontrol optimal. Keuntungan dari metode kendali kuadratis optimal yaitu bentuk dari sistem kendali ini dapat menyediakan cara yang sistematis untuk menghitung matrik penguat umpan balik keadaan (K) untuk masukan (u) sebanyak m. Bentuk dari sinyal kendali, yaitu :

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = −𝐾𝐾𝑥𝑥(𝑡𝑡) (2.59)

Dengan bentuk indeks kerjanya:

J = ∫ [𝑥𝑥₀^∞ ^𝑇𝑇𝑄𝑄𝑥𝑥 + 𝑢𝑢^𝑇𝑇𝑅𝑅𝑢𝑢]𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.60)

di mana:

Q = matriks simetris, semi definit positif, real (Q > 0) R = matrik simetris, definit positif, real (R > 0)

Matrik Q dan R menentukan nilai kesalahan dan pengeluaran energinya.

Dalam hal ini, diasumsikan bahwa vektor kendali u(t) tidak dibatasi.

Hukum kendali linier yang terdapat pada persamaan (2.59) merupakan hukum kendali optimal. Dengan demikian, jika elemen yang tidak diketahui dari matriks K sudah ditentukan begitu pula indeks kinerja minimum, maka bentuk persamaan (2.59) tersebut optimal untuk keadaan inisial x(0) manapun. Bentuk diagram blok dari konfigurasi optimal dapat dilihat pada Gambar 2.14 berikut.

Gambar 2.14 Sistem kendali LQR

Dengan memasukan persamaan (2.59) ke dalam persamaan bentuk persamaan umum keadaan, maka didapat:

𝑥𝑥̇ = 𝐴𝐴𝑥𝑥 − 𝐵𝐵𝐾𝐾𝑥𝑥 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)𝑥𝑥 (2.61)

Dan dengan memasukkan persamaan (2.59) ke dalam persamaan (2.60) akan diperoleh:

J = ∫ [𝑥𝑥₀^∞ ^𝑇𝑇𝑄𝑄𝑥𝑥 + 𝑥𝑥^𝑇𝑇𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾𝑥𝑥]𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.62) J = ∫ 𝑥𝑥₀^∞ ^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡 (2.63) atau:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 =_{𝑑𝑑𝑡𝑡}^𝑑𝑑 (𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥) (2.64) (superscript T menyatakan transpose matriks)

Dimana P adalah positif-definite Hermitian atau matrik simetris nyata, sehingga akan didapatkan:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 = −𝑥𝑥̇^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥 − 𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥̇ (2.65)

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥 = −𝑥𝑥^𝑇𝑇[(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)]𝑥𝑥 (2.66) Dari persamaan diatas maka didapat bentuk penyederhanaan:

(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾)^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾) = −(𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾) (2.67) Jika sistem dalam kondisi stabil, yaitu nilai eigen yang didapat bernilai negatif, maka akan selalu terdapat satu matrik P yang positif-definite untuk memenuhi persamaan diatas. Apabila tidak didapatkan matrik P yang positif-definite maka sistem tersebut tidak stabil.

Indeks kinerja J, dapat dievaluasi sebagai berikut:

𝐽𝐽 = ∫ 𝑥𝑥₀^∞ ^𝑇𝑇[𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑅𝑅𝐾𝐾]𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡= −𝑥𝑥^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥|₀^∞ (2.68) 𝐽𝐽 = −𝑥𝑥^𝑇𝑇(∞)𝑃𝑃𝑥𝑥(∞) + 𝑥𝑥^𝑇𝑇(0)𝑃𝑃𝑥𝑥(0) (2.69) Karena sistem diasumsikan dalam keadaan stabil dimana seluruh nilai eigen bernilai negatif, maka 𝑥𝑥(∞) → 0, maka akan didapat:

𝐽𝐽 = 𝑥𝑥^𝑇𝑇(0)𝑃𝑃𝑥𝑥(0) (2.70)

Dengan demikian, indeks kinerja akan didapat pada saat kondisi inisial x(0) dan P. Karena R diasumsikan bernilai positif-definite Hermitian atau matriks simetris nyata, maka dapat ditulis sebagai berikut:

𝑅𝑅 = 𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇 (2.71)

Di mana T adalah matriks non singular, sehingga persamaan (2.67) dapat diubah menjadi:

(𝐴𝐴^𝑇𝑇− 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝐵𝐵^𝑇𝑇)𝑃𝑃 + 𝑃𝑃(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐾𝐾) + 𝑄𝑄 + 𝐾𝐾^𝑇𝑇𝑇𝑇^𝑇𝑇𝑇𝑇K = 0 (2.72) Atau:

𝐴𝐴^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝐴𝐴 + [𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃] −

𝑃𝑃𝐵𝐵𝑅𝑅⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑄𝑄 = 0 (2.73)

Minimisasi J terhadap K membutuhkan minimalisasi dari persamaan berikut:

𝑥𝑥^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]^𝑇𝑇[𝑇𝑇𝐾𝐾 − (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃]𝑥𝑥 (2.74) Karena bentuk persamaan di atas tidak negative, nilai minimum timbul saat nol, atau pada saat:

𝑇𝑇𝐾𝐾 = (𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 (2.75)

Sehingga :

𝐾𝐾 = 𝑇𝑇⁻¹(𝑇𝑇^𝑇𝑇)⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 = 𝑅𝑅⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 (2.76) Persamaan (2.76) memberikan matriks optimal K. Dengan demikian, hukum kendali optimal terhadap permasalahan kendali optimal kuadratis ketika indeks kinerja yang diberikan oleh persamaan (2.67) adalah linier yang diberikan oleh:

𝑢𝑢(𝑡𝑡) = −𝐾𝐾𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −𝑅𝑅⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃𝑥𝑥(𝑡𝑡) (2.77) Matrik P pada persamaan (2.76) harus memenuhi persamaan (2.67) atau bentuk penyederhanaan persamaan yaitu:

𝐴𝐴^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝐴𝐴 − 𝑃𝑃𝐵𝐵𝑅𝑅⁻¹𝐵𝐵^𝑇𝑇𝑃𝑃 + 𝑄𝑄 = 0 (2.78) Untuk menentukan nilai pembobotan Q dan R tidak ada yang baku, namun penentuan awal dari nilai bobot Q dan R dapat dilakukan dengan menggunakan aturan Bryson (Bryson’s Rule), yaitu:

𝑄𝑄 = 1 𝑦𝑦� 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚² (2.79)

𝑅𝑅 = 1 𝑢𝑢� _{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚}² (2.80)

dimana :

𝑦𝑦_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚}² = Perubahan maksimum keluaran yang diperbolehkan

𝑢𝑢_{𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚}² = Perubahan maksimum masukan yang diperbolehkan

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat

Penelitian dilaksanakan menggunakan laptop dengan memanfaatkan software MATLAB R2012a. Lama penelitian dilakukan selama 2 bulan.

3.2 Bahan dan Peralatan

Adapun bahan yang digunakan dalam penelitian ini yaitu data spesifikasi motor dc seri yang diambil dari jurnal internasional. Sedangkan peralatan yang digunakan adalah Laptop Asus X455L Intel Core i3 1.9 GHz dan software MATLAB R2012b.

3.3 Variabel- variabel yang Diamati

Variabel-variabel yang diamati antara lain:

1. Konstanta Proportional pada PID (Kp) 2. Konstanta Integral pada PID (Ki)

3.4 Prosedur Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan cara melakukan simulasi dengan kontroler PID selanjutnya menggunakan kontroler LQR untuk motor dc yang sama. Setelah respon keluaran diperoleh maka akan diperoleh perbandingan.

3.4.1 Prosedur dengan Kontroler PID Tahapan-tahapan yang dilakukan:

1. Mengumpulkan data parameter motor dc seri yang diperoleh dari jurnal IEEE.

2. Dari data yang diperoleh, motor dc seri dapat dinyatakan ke dalam suatu model matematik berbentuk fungsi alih.

3. Melakukan tuning parameter PID. Adapun langkah-langkah dalam melakukan tuning parameter PID, yaitu:

a) Mem-plot kurva step response dengan menggunakan matlab.

b) Menampilkan garis tangen pada titik infleksi dengan program matlab.

c) Menghitung nilai waktu tundaan (L) dan waktu konstan (T) dengan persamaan matematika.

d) Menghitung parameter PID (Kp, Ki , Kd) menggunakan metode pertama Ziegler Nichols.

4. Simulasi dengan matlab.

5. Menampilkan kurva respon kecepatan rotor.

6. Mencatat hasil yang diperoleh, meliputi: rise time, settling time, maximum overshoot, dan error steady state.

3.4.2 Prosedur dengan Kontroler LQR Tahapan-tahapan yang dilakukan:

1. Mengumpulkan data parameter motor dc seri yang diperoleh dari jurnal IEEE.

2. Dari data yang diperoleh, motor dc seri dapat dinyatakan ke dalam suatu model matematik berbentuk ruang keadaan.

3. Penentuan matriks bobot Q dan R dengan program matlab yang dilakukan dengan metode trial and error.

4. Setelah diperoleh nilai Q dan R yang memberikan error terkecil maka dapat ditentukan nilai feedback gain (K) dengan bantuan software matlab.

5. Melakukan simulasi dengan matlab.

6. Menampilkan kurva respon kecepatan rotor.

7. Mencatat hasil yang diperoleh, meliputi: rise time, settling time, maximum overshoot, dan error steady state.

3.5 Diagram Alir Penelitian

Diagram alir penelitian ditunjukkan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian

BAB IV

SIMULASI DAN ANALISIS

4.1 Perolehan Data

Untuk keperluan simulasi ini digunakan data parameter motor dc seri yang diambil dari jurnal IEEE yang ditunjukkan pada Tabel 4.1 [17].

Tabel 4.1 Parameter Motor DC Seri

Parameter Simbol Besar dan Satuan

Momen inersia Jm 0.0007046 kg.m²

Koefisien gesekan Bm 0.0004 N.m/(rad/s)

Konstanta torsi Kt 0.1236 N.m/A

Konstanta tegangan balik Kb 0.1236 V/(rad/s)

Tahanan total kumparan Rt 7.2 ohm

Induktansi total kumparan Lt 0.0917 H

4.2 Simulasi Kontrol Motor DC Seri dengan PID

Pada tulisan skripsi ini akan dilakukan terlebih dahulu simulasi kontrol menggunakan PID. Setelah hasil simulasi kontrol dengan PID diperoleh maka akan dilanjutkan simulasi kontrol dengan LQR.

4.2.1 Pemodelan Motor dalam Fungsi Alih

Motor dc seri yang digunakan dinyatakan sebagai model matematik dalam fungsi alih berdasarkan data parameter motor.

Dengan memasukkan data parameter motor dc seri dari Tabel 4.1 ke dalam persamaan (2.43), maka:

Sehingga model matematik motor dinyatakan sebagai:

( )

4.2.2 Perolehan Parameter PID

Untuk memperoleh parameter PID digunakan metode pertama Ziegler-Nichols. Motor dc yang dimodelkan dalam fungsi alih diberi masukan unit-step dengan loop terbuka untuk memperoleh kurva step response seperti yang terlihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Simulasi Motor DC Loop Terbuka Kurva step response yang diperoleh:

Gambar 4.2 Kurva Step Response Motor DC

Setelah kurva step response diperoleh, garis tangent di titik infleksi akan dilukiskan dengan menggunakan script program matlab. Program untuk menentukan garis tangen dapat dilihat pada Lampiran I.

Garis tangen pada titik infleksi ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3 Garis Tangen pada Titik Infleksi

Nilai yang perlu dicari dari kurva adalah nilai waktu tundaan (L) dan nilai waktu konstan (T). Dengan menggunakan persamaan garis lurus akan ditentukan nilai L dan T. Pada Gambar 4.4 terlihat bahwa ada 2 titik dengan koordinat:

X1 = 0.03688, Y1 = 0.5884 dan X2 = 0.3227, Y2 = 6.791

Gambar 4.4 L dan T pada kurva Step Response Bentuk umum persamaan garis lurus:

2 1 ( 2 1) Y − =Y m X −X

di mana m adalah gradient kemiringan garis.

6.791 0.5884− =m(0.3227−0.03688) 6.791 0.5884

0.3227 0.03688

m= −

− 21.701 m=

Garis tangen menyentuh sumbu x di suatu titik dengan koordinat (X,0),

Dari Gambar 4.4 tampak bahwa nilai L bernilai sama dengan X. Dengan demikian T sama dengan X2 – L.

0.009765

L= , maka T =0.3227 0.009765− =0.3130

Setelah nilai L dan T diperoleh, kita dapat menentukan nilai parameter PID dengan formula pada Tabel 2.2 di Bab II.

Konstanta Proportional (K_p ):

p 1.2

Konstanta Derivative (

K

_d):

0.5 T = L

, K_d =T K_d _p, maka:

0.5 ( ) 0.5(0.009765)(38.464) 0.1878

d p

K = L K = =

4.2.3 Rangkaian Simulasi PID

Gambar 4.5 merupakan rangkaian simulink motor dc seri. Sedangkan Gambar 4.6 merupakan rangkaian simulasi sistem keseluruhan. Pada simulasi ini, rangkaian motor dc dibentuk ke dalam sebuah subsistem yang terlihat pada Gambar 4.6.

Untuk menjalankan simulasi, nilai parameter motor pada Tabel 4.1 dimasukkan ke dalam blok Simulink.

Gambar 4.5 Rangkaian Simulink Motor DC Seri dengan PID

Gambar 4.6 Rangkaian Simulasi PID

4.2.4 Simulasi PID

Dalam simulasi ini, motor akan di-set pada kecepatan yang bervariasi yaitu 700 rpm, 1000 rpm, 1300 rpm, 1600 rpm, dan 2000 rpm

4.2.4.1 Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 700 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 700 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.7

Gambar 4.7 Rangkaian Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 700 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 699.9 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 700 rpm ditampilkan pada Gambar 4.8.

Gambar 4.8 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 700 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 7.025 ms

Settling time : 53.7 ms

Max. Overshoot : 21.04 % Error steady state : 0.00014 % Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.9. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 13.368 A dan arus steady sebesar 2.373 A.

Gambar 4.9 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 700 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 0.668 ms

Settling time : 324.3 ms

Max. Overshoot : 463.34 %

4.2.4.2 Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1000 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1000 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.10.

Gambar 4.10 Rangkaian Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1000 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 999.3 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1000 rpm ditampilkan pada Gambar 4.11.

Gambar 4.11 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1000 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 6.910 ms

Settling time : 53.5 ms

Max. Overshoot : 21.08 % Error steady state : 0.0007%

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.12. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 19.106 A dan arus steady sebesar 3.403 A.

Gambar 4.12 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1000 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 1.071 ms

Settling time : 328.9 ms

Max. Overshoot : 461.45 %

4.2.4.3 Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1300 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1300 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.13.

Gambar 4.13 Rangkaian Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1300 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 1300 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1300 rpm ditampilkan pada Gambar 4.14.

Gambar 4.14 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1300 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 6.995 ms

Settling time :53.7 ms

Max. Overshoot : 21.09 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.15. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 24.759 A dan arus steady sebesar 4.454 A.

Gambar 4.15 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1300 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 3.019 ms

Settling time : 432.7 ms

Max. Overshoot : 455.88 %

4.2.4.4 Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1600 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1600 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.16.

Gambar 4.16 Rangkaian Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 1600 rpm

Diperoleh kecepatan steady sebesar 1600 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1600 rpm ditampilkan pada Gambar 4.17.

Gambar 4.17 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1600 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 7.067 ms

Settling time :53.8 ms

Max. Overshoot : 21.05 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.18. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 30.347 A dan arus steady sebesar 5.438 A.

Gambar 4.18 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1600 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 0.848 ms

Settling time : 330.3 ms

Max. Overshoot : 458.05 %

4.2.4.5 Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 2000 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 2000 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.19.

Gambar 4.19 Rangkaian Simulasi PID pada Kecepatan Referensi 2000 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 2000 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 2000 rpm ditampilkan pada Gambar 4.20.

Gambar 4.20 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 2000 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 7.081 ms

Settling time :53.8 ms

Max. Overshoot : 21.07 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.21. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 38.120 A dan arus steady sebesar 6.796 A.

Gambar 4.21 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 2000 rpm dengan Kontrol PID

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 0.745 ms

Settling time : 331.5 ms

Max. Overshoot : 460.92 %

4.3 Simulasi Kontrol Motor DC Seri dengan LQR

Setelah hasil simulasi dengan kontroler PID diperoleh, maka sekarang akan dilakukan simulasi menggunakan kontroler LQR.

4.3.1 Pemodelan Motor dalam Bentuk Ruang Keadaan (State Space)

Pada simulasi LQR, motor dimodelkan dalam bentuk ruang keadaan, yaitu:

( ) ( ) ( ) x t = Ax t +Bu t

( ) ( ) y t =Cx t

di mana matriks A, B, C ditentukan oleh:

Dengan memasukkan data Tabel 4.1 ke dalam persamaan matriks, diperoleh:

4.3.2 Perolehan Parameter LQR

Untuk memperoleh matriks Q dan R digunakan script program matlab dengan metode trial and error yang dapat dilihat pada Lampiran II, di mana syarat matriks Q adalah matriks semidefinit positif real (Q ≥ 0) dan matriks R adalah matriks definit positif real (R > 0).

Kita tetapkan nilai awal 1 0 0 1

Q  

=  

  dan ^R⁼

[ ]

¹ , maka akan diperoleh kurva step respon seperti pada Gambar 4.22.

Gambar 4.22 Step Respon Sistem dengan R=[1]

Pada Gambar 4.22 tampak bahwa respon sistem masih mengalami error, sehingga kita perlu mengatur nilai matriks sehingga diperoleh error mendekati nol.

Setelah dilakukan beberapa kali percobaan maka diperoleh nilai matriks 1 0

0 1

Q  

=  

 dan ^R⁼

[

^1.147

]

memberikan respon sistem dengan error mendekati nol seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.23.

Gambar 4.23 Step Respon Sistem dengan R=[1.147]

Dengan ditentukannya nilai matriks Q dan R kita dapat memperoleh matriks gain feedback K yang dapat kita lihat di command window yaitu :

K=[1.2892 0.6016]

4.3.3 Rangkaian Simulasi LQR

Gambar 4.24 merupakan rangkaian simulink motor dc seri dengan LQR.

Sedangkan Gambar 4.25 merupakan rangkaian simulasi sistem keseluruhan. Pada simulasi ini, rangkaian motor dc dibentuk ke dalam sebuah subsistem yang terlihat pada Gambar 4.25.

Untuk menjalankan simulasi, nilai parameter motor pada Tabel 4.1 dimasukkan ke dalam blok Simulink.

Gambar 4.24 Rangkaian Simulink Motor DC Seri dengan LQR

Gambar 4.25 Rangkaian Simulasi LQR

4.3.4 Simulasi LQR

Dalam melakukan simulasi ini kita masukkan ke dalam blok Simulink nilai matriks feedback gain (K) yang telah diperoleh yaitu K=[1.2892 0.6016].

Motor akan di-set pada kecepatan yang bervariasi yaitu 700 rpm, 1000 rpm, 1300, 1600, dan 2000 rpm.

4.3.4.1 Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 700 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 700 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.26.

Gambar 4.26 Rangkaian Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 700 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 700.1 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 700 rpm ditampilkan pada Gambar 4.27.

Gambar 4.27 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 700 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 91.406 ms

Settling time : 171.2 ms

Max. Overshoot : 0 % Error steady state : 0.00014 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.28. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 6.831 A dan arus steady sebesar 2.372 A.

Gambar 4.28 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 700 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 12.318 ms

Settling time : 213.5 ms

Max. Overshoot : 187.98 %

4.3.4.2 Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1000 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1000 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.29.

Gambar 4.29 Rangkaian Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1000 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 1000 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1000 rpm ditampilkan pada Gambar 4.30.

Gambar 4.30 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1000 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 90.877 ms

Settling time :169.8 ms

Max. Overshoot : 0 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.31. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 9.758 A dan arus steady sebesar 3.389 A.

Gambar 4.31 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1000 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 12.402 ms

Settling time : 213.2 ms

Max. Overshoot : 187.93 %

4.3.4.3 Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1300 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1300 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.32.

Gambar 4.32 Rangkaian Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1300 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 1300 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1300 rpm ditampilkan pada Gambar 4.33.

Gambar 4.33 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1300 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 89.743 ms

Settling time : 166.9 ms

Max. Overshoot : 0 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.34. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 12.686 A dan arus steady sebesar 4.406 A.

Gambar 4.34 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1300 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 12.326 ms

Settling time : 213.0 ms

Max. Overshoot : 187.92 %

4.3.4.4 Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1600 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 1600 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.35.

Gambar 4.35 Rangkaian Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 1600 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 1600 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 1600 rpm ditampilkan pada Gambar 4.36.

Gambar 4.36 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 1600 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 90.340 ms

Settling time : 164.1 ms

Max. Overshoot : 0 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.37. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 15.613 A dan arus steady sebesar 5.423 A.

Gambar 4.37 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 1600 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 12.320 ms

Settling time : 212.9 ms

Max. Overshoot : 187.90 %

4.3.4.5 Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 2000 rpm

Simulasi dilakukan dengan masukkan kecepatan referensi sebesar 2000 rpm seperti yang terlihat pada Gambar 4.38.

Gambar 4.38 Rangkaian Simulasi LQR pada Kecepatan Referensi 2000 rpm Diperoleh kecepatan steady sebesar 2000 rpm. Respon kecepatan rotor pada kecepatan referensi 2000 rpm ditampilkan pada Gambar 4.39.

Gambar 4.39 Respon Kecepatan Rotor pada Kecepatan Referensi 2000 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon kecepatan rotor yang diperoleh : Rise time : 91.155 ms

Settling time : 168.4 ms

Max. Overshoot : 0 % Error steady state : 0 %

Adapun kurva arus jangkar ditunjukkan pada Gambar 4.40. Arus lonjakan maksimum (max. overshoot) sebesar 19.516 A dan arus steady sebesar 6.778 A.

Gambar 4.40 Arus Jangkar pada Kecepatan Referensi 2000 rpm dengan Kontrol LQR

Parameter respon arus jangkar yang diperoleh : Rise time : 12.319 ms

Settling time : 213.2 ms

Max. Overshoot : 187.93 %

4.4 Hasil Perbandingan Simulasi PID dan LQR

Kurva hasil perbandingan respon kecepatan rotor dengan kontroler PID dan LQR pada kecepatan referensi 700 rpm, 1000 rpm, 1300 rpm, 1600 rpm, dan 2000 rpm dapat dilihat pada Gambar 4.41, Gambar 4.42, Gambar 4.43, Gambar 4.44, dan Gambar 4.45.

Gambar 4.41 Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 700 rpm

Gambar 4.42 Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1000 rpm

Gambar 4.43 Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1300 rpm

Gambar 4.44 Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1600 rpm

Gambar 4.45 Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 2000 rpm

Untuk hasil perbandingan respon arus jangkar dengan kontroler PID dan LQR pada kecepatan referensi 700 rpm, 1000 rpm, 1300 rpm, 1600 rpm, dan 2000 rpm dapat dilihat pada Gambar 4.46, Gambar 4.47, Gambar 4.48, Gambar 4.49, dan Gambar 4.50.

Gambar 4.46 Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 700 rpm

Gambar 4.47 Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1000 rpm

Gambar 4.48 Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1300 rpm

Gambar 4.49 Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 1600 rpm

Gambar 4.49 Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR pada Kecepatan Referensi 2000 rpm

Sebagai komparatif, hasil perbandingan simulasi PID dan LQR adalah seperti pada Tabel 4.2 dan Tabel 4.3

Tabel 4.2 Hasil Perbandingan Respon Kecepatan Rotor dengan PID dan LQR

Tabel 4.3 Hasil Perbandingan Respon Arus Jangkar dengan PID dan LQR

Kontroler Kecepatan

Dari Tabel 4.2 dapat kita lihat bahwa rise time dan settling time pada respon kecepatan rotor dengan menggunakan kontrol PID lebih kecil dibandingkan dengan menggunakan kontrol LQR yang berarti bahwa PID memberikan respon lebih cepat. Akan tetapi, PID memberikan overshoot sekitar 20% sedangkan LQR tidak memberikan overshoot sama sekali.

Untuk error steady state, dari lima percobaan dengan variasi kecepatan berbeda, terdapat dua error steady state yang dihasilkan dengan kontrol PID sedangkan pada LQR hanya satu kali.

Dari simulasi tampak bahwa kecepatan tidak terlalu memberi pengaruh yang signifikan tehadap respon kecepatan rotor yang dihasilkan.

Pada Tabel 4.3 dapat kita lihat persentase max.overshoot arus jangkar dengan menggunakan PID lebih besar dibandingkan LQR.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 KESIMPULAN

Dari hasil simulasi yang dilakukan dapat diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu sebagai berikut:

1. Dalam mencapai kecepatan steady, PID memberikan waktu yang lebih singkat dibandingkan LQR seperti yang dapat kita lihat pada hasil simulasi, rise time dan settling time yang diperoleh dengan menggunakan PID lebih kecil dibandingkan dengan menggunakan LQR.

2. Karakteristik respon kecepatan rotor yang diperoleh dengan menggunakan LQR tidak memiliki overshoot sama sekali, sedangkan dengan menggunakan PID overshoot yang dihasilkan cukup besar yaitu sekitar 20%.

3. Dari lima percobaan variasi kecepatan untuk masing-masing kontroler, PID memiliki error steady state sebanyak dua kali sedangkan LQR memiliki error steady state sebanyak satu kali.

4. Hasil simulasi menunjukkan bahwa variasi kecepatan yang diaplikasikan pada motor dc seri dengan kontrol PID dan LQR tidak begitu berpengaruh terhadap respon kecepatan rotor dalam mencapai kecepatan steady.

5. Persentase max. overshoot arus jangkar yang terjadi dengan menggunakan kontroler PID sekitar 460% sedangkan dengan menggunakan kontroler LQR sekitar 188% yang berarti bahwa arus starting dengan menggunakan

Dalam dokumen SKRIPSI PERBANDINGAN PROPORTIONAL INTEGRAL DERIVATIVE (PID) DAN LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR) SEBAGAI SISTEM KONTROL KESTABILAN PADA MOTOR DC (Halaman 42-0)